“点差法”在解析几何题中的应用

1、“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为 X1,y1、X2,y2，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”,此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.1 求弦中点的轨迹方程求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程21已知椭圆v21 ,2设弦的两个端点分别为P Xi，y1PQ的中点为M x,y .2X122V12X21, (1)一2V221(2)2得:22X1X2222y1y20,X1X22y1 y2XiX2yiy20 .又X1X22x,

2、y1y22V»x 4yQ弦中点轨迹在已知椭圆内,X1X2所求弦中点的轨迹方程为4y（在已知椭圆内）1 2的相交弦是AB ,则弦例2直线l : ax y a 50 （ a是参数）与抛物线AB的中点轨迹方程是设 A x,y1、B X2,y2AB中点M x, y ,则XiX22x.l :a x 1l过定点N 1,kABkMNy1x1(1)V2X2(2)2得:Viy2X1X2X1X2X1X2y1y2X1X22.x1x22x2,即y2x2 7.Q弦中点轨迹在已知抛物线内,所求弦中点的轨迹方程为 V 2x2 7 （在已知抛物线内）2 求曲线方程例3已知 ABC的三个顶点都在抛物线 y2 32x上

3、，其中A 2,8，且ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线 BC的方程.解由已知抛物线方程得G 8,0.设BC的中点为Mx),y0 ，则 a、G、M三点共线，且2 2xoAG 2 GM解得XoV。又V12uuuu, G分AM所成比为2,于曰 12ZE8 2y°11432xi, (1)_22 得：y1M 11, 4 .Xi,yi贝 u V1V28.2V22y2BC所在直线方程为y2 X例4已知椭圆-2 a2 v b232X2,(2)32X1X2kBCV1V2X1X232V1V2324.811，即 4x y400.的一条准线方程是，有一条倾斜角为一的直线交椭4圆于AB两点，若AB的中点为,

4、求椭圆方程A X1,y1、B X2,y2X1X21，V1V22 X1 -2 a2 X22a2V2b21, (2)12得:2X12X22V2V1V2b2X1X2b2 aX1X2V1V2bj2a2又a- 1V1y2X1X22b22a(4)2b2(3)2,22a b c ,由(3), (4)(5)可得21 ,2a , b22x所求椭圆方程为12匕1.13 求直线的斜率例5已知椭圆251上不同的三点Ar9 一A xd ,B 4,- ,C5成等差数列.(1)求证:X18 ； (2)若线段AC的垂直平分线与x2,y2与焦点F 4,0的距离x轴的交点为T ,求直线BT的斜率k.(1)证略.(2)解Q x1

5、x2设线段AC的中点为D 4,% .C在椭圆上,2x1252y191, (1)2X225(2)2得:2x12*2252y29V29 x1x2x1x225 y1y292582y。3625yO直线DT的斜率kDT25 y。36直线DT的方程为y25y0 y。366425,64即T ,025直线BT的斜率4确定参数的范围6若抛物线C:y2x上存在不同的两点关于直线l :范围.0时,显然满足.设抛物线C上关于直线l:yP x-y、x2,y2,且PQ的中点为M Xo, y° ,则y16425对称，求实数m的取值x，(1)对称的两点分别为2y2x2,(2)2一 212 得：y12.y2X1X2

6、, kpQV1V2XiX2y1y22 yo又kpQm yo2Q中点Xo, y0在直线l : y m x 3上,V。5x。2Q中点在抛物线y2x区域内2 y。2X。，即 m 5,解得22、,10 m综上可知，所求实数m的取值范围是5证明定值问题例7已知AB是椭圆22Xy-r 1 a abb 0不垂直于x轴的任意一条弦,P是AB的中点，O为椭圆的中心.求证：直线 AB和直线OP的斜率之积是定值.证明设 A。yi , B X2, 丫2 且 XiX2 ，2 y1 b221, (1) x22a2红1 b2(2)2得:22X1X2-2a22yy2b2yiV2X1X2b22aX1X2y1y2V2又 koP”

7、，X1X2b21a kop6处理存在性问题例8已知双曲线1 2y且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在,y1y2XiX2b22aX1X2y1y2kABkop号（定值）.a1,1能否作直线l ,使l与双曲线交于P , Q两点,求出它的方程；如果不存在，说明理由解 假设这样的直线存在，设P,Q的坐标分别为,y1 , x2,y2则 x1x22212212yiy22,又 x2yi1 , (1) X22y21, (2)2 得： x1 x2 X| x21八一y1y2y1y20,22 X1X2V1y20y1 y2PQ的斜率k - 2x1 x2又直线l过P,Q, B三点,l的方程为 y 1 2 x 1 ,即

8、y 2x 1.1 oo但若将y 2x 1代入x2 -y2 1整理得方程2x224x 3 0 ,而此方程无实数解,所以满足题设的直线不存在以定点为中点的弦所在直线的方程22例1、过椭圆 L 1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被 M点平分，求这条弦所在直线的方程。 164解：设直线与椭圆的交点为A(x1, y1)> B(x2,y2)M (2,1)为AB的中点x x24y1y22又A、B两点在椭圆上，则22 一 22 一x1 4y116, x2 4y2 16 .22、,22、_两式相减得(x1x2 ) 4( y1y2 )0于是(x x2)(x1 x2) 4(y1y2)(y1 y2) 0yy2

9、x1 x2411，rr(x 2),即 x 2y 4 0。2x1x24( y1y2)4 22r -1即kAB1,故所求直线的方程为y 122例2、已知双曲线x2 乙 1 ,经过点M (1,1)能否作一条直线l ,使l与双曲线交于 A、B ,且点M 2是线段AB的中点。若存在这样的直线l ,求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点 M平分的弦AB ,且A（xi，y）、B（x2,y2）则 x1 x22 y1y222 xi2yi21 , 两式相减，得(x x2)(x

10、1x2)(y12y2)(yiy2)0yiy2xix2故直线 AB:y 1 2(x 1)y 1 2(x 1)由 2 y2消去y ,得2x2 4x 3 0x 122一 一一(4)4 2 380这说明直线 AB与双曲线不相交，故被点 M平分的弦不存在，即不存在这样的直线I。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的 M位置非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点 M平分的弦可能不存在。过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹1的一条弦的斜率为 3,它与直线x1 ,、，的交点恰为这条弦的中点2

11、22例3、已知椭圆L 75 25点M的坐标。1解：设弦端点 P（x1，y1）、Q（x2,y2）,弦 PQ 的中点 M（x0,y0）,则 x0 一 2x1x2 2x01,2 y1 y1 y2 2 y0又75222整 1y2 x2125' 7525两式相减得 25(y1 y2)(y1 y2) 75(x1 x2)(x1 x2) 0即 2y0(y y2) 3(x x2)0yy2xX22 y03yi y2k xix22 yo3,即 y°点M的坐标为2)2例4、已知椭圆L752x251 ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点P(x1,y1)、弦PQ的中点M (x, y),则xi

12、x22xyiy22y2又包752xi两式相减得即 y(yi252 红752乂22525(yiy2)(yiy2)75(xi X2)(xiX2)y2)3x( x1x2)yiy2即x一在xix23x3xyi y2xiX225i/p(x由y275在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为x y0(5235一3、 x V)求与中点弦有关的圆锥曲线的方程3x 2截得的弦的中点的横坐标为例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,J50)的椭圆被直线l : y1,，、土-,求椭圆的方程。225 1 ,则 a2 b2 50 -d b22解：设椭圆的方程为 与a设弦端点 P(xi，y)、Q(X2,y2),弦 PQ 的中

13、点 M(Xo,y0),则iX02yo3xoXi X2 2X0 i , yiy22yo2 又与 ai,2 y2 -2 a两式相减得b2(yiy2)(yiy2)a2(Xi X2)(Xi X2)即 b2(y1y2)a2(XiX2)02yiy2axix2b联立解得a2 75b225所求椭圆的方程是2 y7525四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题22例6、已知椭圆 L 匕 i ,试确定的43m取值范围，使得对于直线4x m ,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设P(Xi，yi), P2(X2,y2)为椭圆上关于直线 y 4xm的对称两点,P(x, y)为弦PP2的中点,则 382 4yl2 i2, 3x22 4y22 i2两式相减得，3(xi2 x22) 4(yi2 y22) 0即3(XiX2)(XiX2) 4(yiy2)(yi12yi y2XiX22x, yi y2 2y,Xi X2y 3