【龙门亮剑】2011高三数学一轮理数 第十四章 第二节 导数的应用(课时提能精练) 全国版

1、(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为()A1 B2C3 D4【解析】从f(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增减增减，在(a，b)内只有一个极小值点【答案】A2(2008年广东高考)设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1 Ba1Ca Da【解析】yexax，yexa.又函数yexax有大于零的极值点，即方程yexa0有大于零的解，即aex(x0)x0时，ex1，a1

2、.【答案】A3已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值是()A37 B29C5 D以上都不对【解析】f(x)6x212x6x(x2)，f(x)在(2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，当x0时，f(x)m最大，m3，从而f(2)37，f(2)5.最小值为37.【答案】A4若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A(2,2) B2,2C(，1) D(1，)【解析】f(x)3x233(x1)(x1)，且当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0，当x1时f(x)有极大值当x1时，f(x)有极小值

3、，要使f(x)有3个不同的零点只需，解得2a2.【答案】A5设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f(x)，g(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axb时，有()Af(x)g(b)f(b)g(x) Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(x)f(b)g(b) Df(x)g(x)f(b)g(a)【解析】令yf(x)·g(x)，则yf(x)·g(x)f(x)·g(x)，由于f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以y在R上单调递减，又xb，故f(x)g(x)f(b)g(b)，【答案】C6已知函数f(x)满足f(x

4、)f(x)，且当x(，)时，f(x)xsinx，则()Af(1)f(2)f(3) Bf(2)f(3)f(1)Cf(3)f(2)f(1) Df(3)f(1)f(2)【解析】由f(x)f(x)，得函数f(x)的图象关于直线x对称，又当x(，)时，f(x)1cos x0恒成立，所以f(x)在(，)上为增函数，f(2)f(2)，f(3)f(3)，且0312，所以f(3)f(1)f(2)，即f(3)f(1)f(2)【答案】D二、填空题(每小题6分，共18分)7函数yx2ex的单调递增区间为_【解析】yx2ex，y2xexx2exexx(2x)0.解得x0或x2.yx2ex的递增区间为(，2和0，)【答案

5、】(，2和0，)8给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x).若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是_(把你认为正确的序号都填上)f(x)sin xcos x；f(x)ln x2x；f(x)x32x1；f(x)xex.【解析】对于，f(x)(sin xcos x)，x(0，)时，f(x)0恒成立；对于，f(x)，在x(0，)时，f(x)0恒成立；对于，f(x)6x，在x(0，)时，f(x)0恒成立；对于，f(x)(2x)·ex在x(0，)时

6、f(x)0恒成立，所以f(x)xex不是凸函数【答案】9将长为52 cm的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为21及32的矩形，那么面积之和的最小值为_【解析】设剪成2段中其中一段为x cm，另一段为(52x) cm，依题意知：S··x2(52x)2，Sx(52x)，令S0，则x27.另一段为522725.此时Smin78.【答案】78三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10(2010年福州模拟)甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是Pv4v

7、315v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值【解析】(1)QP·(v4v315v)·(v3v215)·400v26 000(0v100)(2)Q5v，令Q0，则v0(舍去)或v80，当0v80时，Q0.当80v100时，Q0.v80时，全程运输成本取得极小值，即最小值从而QminQ(80)元11(2010年济南模拟)设函数yf(x)在(a，b)上的导数为f(x)，f(x)在(a，b)上的导数为f(x)，若在(a，b)上，f(x)0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸

8、函数”，若函数f(x)x4mx3x2为区间(1,3)上的“凸函数”，试确定实数m的值【解析】由函数f(x)x4mx3x2得，f(x)x3mx23x，f(x)x2mx3.若f(x)为区间(1,3)上的“凸函数”，则有f(x)x2mx30在区间(1,3)上恒成立，由二次函数的图象知，当且仅当，即，得m2.12(2010天津高考，20)已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，其中aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)当a时，求函数f(x)的单调区间与极值【解析】(1)当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为3e.(2)f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a，或xa2.由a知，2aa2.以下分两种情况讨论若a，则2aa2，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)内是增函数，在(2a，a2)内是减函数函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a.函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.若a，则2aa2，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，a2