（整理版）第四十二讲　抛物线

1、第四十二讲抛物线一、选择题：(本大题共6小题，每题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f，且和y轴交于点a，假设oaf(o为坐标原点)的面积为4，那么抛物线方程为()ay2±4by2±8xcy24x dy28x解析：y2ax的焦点坐标为.过焦点且斜率为2的直线方程为y2，令x0得：y.×·4，a264，a±8，应选b.答案：b2直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()a2 b3c. d.解析：如下图，动点p到l2：

2、x1的距离可转化为p到f的距离，由图可知，距离和的最小值即f到直线l1的距离d2，应选a.答案：a3抛物线y24x的焦点为f，准线为l，经过f且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的局部相交于点a，akl，垂足为k，那么akf的面积是()a4 b3c4 d8解析：抛物线y24x的焦点为f(1,0)，准线为l：x1，经过f且斜率为的直线y(x1)与抛物线在x轴上方的局部相交于点a(3,2)，akl，垂足为k(1,2)，akf的面积是4.应选c.答案：c4假设抛物线y24x的焦点是f，准线是l，那么经过点f、m(4,4)且与l相切的圆共有()a0个 b1个c2个 d4个解析：经过f、m的圆的圆心在线段f

3、m的垂直平分线上，设圆心为c，那么|cf|cm|，又圆c与l相切，所以c到l距离等于|cf|，从而c在抛物线y24x上故圆心为fm的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆，应选c.答案：c5设f为抛物线y24x的焦点，a、b、c为该抛物线上三点，假设0，那么等于()a9 b6c4 d3解析：设a、b、c三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，f(1,0)0，x1x2x33.又由抛物线定义知x11x21x316，应选b.答案：b6设抛物线y22x的焦点为f，过点m(，0)的直线与抛物线相交于a，b两点，与抛物线的准线相交于点c，|bf|2，那么bcf与a

4、cf的面积之比等于()a. b.c. d.解析：由|bf|2小于点m到准线的距离知点b在a、c之间，由抛物线的定义知点b的横坐标为，代入得y23，那么b，另一种可能是，那么此时直线ac的方程为，即y，把y代入y22x，可得2x27x60，可得x2，那么有y2，即a(2,2)，那么sbcfsacf|bc|ac|45，应选a.答案：a二、填空题：(本大题共4小题，每题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是_解析：设抛物线方程为x22py，将(4，2)代入方程得162p·(2)，解得2p8，故方程为x28

5、y，水面上升米，那么y，代入方程，得x28×12，x±2.故水面宽4米答案：4米8点p到a(1,0)和直线x1的距离相等，且点p到直线l：yx的距离等于，那么这样的点p的个数为_解析：由抛物线定义，知点p的轨迹为抛物线，其方程为y24x，设点p的坐标为，由点到直线的距离公式，知，即y4y0±40，易知y0有三个解，故点p个数有三个答案：39f为抛物线c：y24x的焦点，过f且斜率为1的直线交c于a、b两点设|fa|>|fb|，那么|fa|与|fb|的比值等于_解析：抛物线c：y24x的焦点f(1,0)，准线方程：x1，如图，那么直线ab的方程为yx1，由得x

6、26x10，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么x1，x2是方程的两根，x1x21，x132.根据抛物线定义，得|fa|x11，|fb|x21(x1>x2)，x132.答案：3210设x1、x2r，常数a0，定义运算“*：x1x*a)的轨迹方程是_解析：由y，得y2x*a(xa)2(xa)24ax(y0)答案：y24ax(y0)三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11a、b是抛物线y22px(p>0)上的两点，且oaob.(1)求a、b两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线ab过定点；(3)求弦ab中点p的轨迹方程；

7、(4)求aob面积的最小值解：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，中点p(x0，y0)(1)koa，kob.oaob，koa·kob1，x1x2y1y20.y2px1，y2px2，·y1y20.y10，y20，y1y24p2，x1x24p2.(2)y2px1，y2px2，(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，kab.直线ab：yy1(xx1)yy1.y.y2px1，y1y24p2，y.y(x2p)ab过定点(2p,0)(3)如图，设oa：ykx，代入y22px得：x0或x，a.同理，以代k得b(2pk2，2pk)设中点坐标p(x0，y0)，.k222，22，即ypx0

8、2p2.中点p的轨迹方程为y2px2p2.(4)设m(2p,0)，saobsaomsbom|om|(|y1|y2|)p(|y1|y2|)2p4p2，当且仅当|y1|y2|2p时，等号成立评析：解决直线与抛物线的有关问题时要注意以下几点：设抛物线上的点为(x1，y1)，(x2，y2)；因为(x1，y1)，(x2，y2)都在抛物线上，故满足y2px1，y2px2；利用yy4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.12是否存在同时满足以下条件的抛物线：准线是y轴；顶点在x轴上；点a(3,0)到该抛物线上的动点p的距离的最小值为2？如果存在，求出抛物线方程；如果不存在，说明理由解：设满足条件的抛物

9、线存在，顶点b在x轴上设b(a,0)，以y轴为准线的抛物线方程为y24a(xa)，由条件知a>0.设p是抛物线上的点，其坐标为.那么|ap|22m2m212(aa2)212a8a2，当aa20，即0a1，且m212(aa2)时，|ap|min.2，解得a1或a.此时抛物线方程为y24(x1)或y22.当aa2<0，即a>1，且m0时，|ap|min|a3|2.a5，此时抛物线方程为y220(x5)，存在满足条件的抛物线，其方程为y24(x1)或y22或y220(x5)13(精选考题·福建)抛物线c：y22px(p>0)过点a(1，2)(1)求抛物线c的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于oa(o为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线c有公共点，且直线oa与l的距离等于？假设存在，求直线l的方程；假设不存在，说明理由解：(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p·