模糊关系-模糊数学

1、3 模糊关系模糊关系o3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念o3.2 模糊矩阵模糊矩阵o3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵模糊等价矩阵与模糊相似矩阵3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念3.1.1 3.1.1 模糊关系的定义模糊关系的定义普通关系定义为直积 普通 子集，很自然地把模糊关系定义为 的模糊子集。 VU VU 的一个模糊关系，记为到称为从的一个模糊子集直积定义VURVU 1-3VUR的相关程度。关于则称为而隶属度RVUvuvuR),(),(3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念元模糊关系。称为则个集合的直积的论域为上的二元模糊关系；若称为时，特别的，当nRUUUnRURVUn, 21。相等

2、，记为与称为时，当的模糊关系，对到都是从、若SRSRvuSvuRVUvuVUSR),(),(,),( 3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念内的值。，其余取）（，若相差甚远则规定）（则令技术水平完全一样，若，对于任意的上的一个模糊关系就是建立在技术水平相当”体人员组成的集合，“为某工厂同一工种的全设例0,10,1, 1-3 vuRvuRvuUvuRUU，其隶属函数可定义为关系就是平面中的一个模糊”远远大于“即为整个平面，则关系为纵轴，直积为横轴，设例RyxYXYX 2-3 yxyxyxyxR,)/(10011, 0),(23.1 模糊关系的概念模糊关系的概念3.1.2 3.1.2 模糊关系的运算

3、及其性质模糊关系的运算及其性质 模糊关系的并、交、余运算模糊关系的并、交、余运算，若对隶属函数分别为上的模糊关系，它们的到都是、设定义VUvuVUvuvuSvuRVUSR),(),),)(,(),( 2-3 ),(),(),)(vuSvuRvuSR),(),(),)(vuSvuRvuSR),(1),(vuRvuRC的余关系。称为模糊关系的并与交，而与分别称为模糊关系则RRSRSRSRC ,3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念若（对、设定义),(),),( 3-3 VUvuVUFSR),),vuSvuR（。，记为包含则称为模糊关系SRSR，若定义模糊关系（）对特别地

4、，（VUvu),1),),vuRuvRT（称为模糊对称关系。时，且“倒置关系”，而当的“倒逆关系”，也叫称为则RRRVUFRRRTT)(3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念有（的模糊关系，且对）若（,),到为2UUuuUUIuuuuuuI, 0, 1),（上的恒等关系。称为则UI3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念恒有（的模糊关系，且对到均为及）若（),3vuVUEO1), 0),vuEvuO（及（的零关系及全称关系。到分别称为，则VUEO3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念 模糊关系的性质模糊关系的性质RRRRTTCC)( ,)1 ）（REREER,)2(ROR

5、OOR,)3(EROR有对,)4(CCSRSR则有）若（,5TiniTiniTiniTiniRRRR1111,)6(3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念 模糊关系的合成模糊关系的合成它具有隶属函数的一个模糊关系，记作到是指从的合成，对所谓设定义,),(),( 4-3 RQWURQWVFRVUFQ),(),(),)(wvRvuQwuRQVv（的复合模糊关系。与也称为其中RQRQWvUu, 时，记特别地当)( UUFRRRRRRRnn1 -2,3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念普通关系上的模糊关系，对为设定义0,1, 5-3 UR)(| )(u,vRu,vR截关系。

6、的称为模糊关系-R3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念的模糊关系到为设定义UUR 6-3 称为模糊自反关系；，则若）对（R1),(,),(1uuRUUuu，有及、）对（,10)()(),(2UUu,wv,wvu，)()(),(u,wRv,wRvuR称为模糊传递关系。则R3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念为对任意的为传递关系的充要条件设定理RUUFR),( 1-3 ，有、Uwvu）（）（3.1 ),(),(),(wvRvuRwuRUv3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念令为模糊传递关系，任取（必要性）设证, 0UvR),(),(00wvRvuR，从而为传递的，故，但，由此得),(),(),(0

7、0wuRRwvRvuR),(),(),(00wvRvuRwuR的任意性，得由Uv 0）（),(),(),(wvRvuRwuR3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念）成立，令式（、（充分性）设对3.1 Uwvu),(),(wvRvuR即故）成立，式（，但对任意，从而,),(3.1),(),(wuRvwvRvuR),(),(),(wvRwvRvuR，为传递关系。所以R3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念条件为是模糊传递关系的充要定理R 2-3 )(2RRRRR即3.1 模糊关系的概念模糊关系的概念模糊关系，是自反、对称、传递的若设定义RUUFR),( 7-3 。上的一个模糊等价关系称为则UR条件是：

8、为模糊等价关系的充要定理)( 3-3 UUFR上的普通等价关系。都是，对UR0,13.1.4 3.1.4 两类特殊的模糊关系两类特殊的模糊关系系，是自反、对称的模糊关若设定义RUUFR),( 8-3 。上的一个模糊相似关系称为则UR3.2 模糊矩阵模糊矩阵称为模糊矩阵。）（nmijrR矩阵设定义), 2 , 1;,1,2,0,1( 9-3 njmirijcm),0,180,10,160,17140 4-3 （单位：，设身高的论域为例U所示的），则由统计可得表（单位：体重的论域为1-3kg70,8040,50,60,V体重之间的相互关系。，它表示了人的身高与模糊关系R3.2.1 3.2.1 模糊

9、矩阵及其运算模糊矩阵及其运算3.2 模糊矩阵模糊矩阵o表3-1 身高-体重模糊关系),(jiyuR405060708014001500.81600.20.810.80.217010.818001iujv3.2 模糊矩阵模糊矩阵用矩阵表示则有00.80.20.80.20.810.801R3.2 模糊矩阵模糊矩阵),(),(, 10-3 TijTijnmTrRrRUSRR其中、设定义,)(jisSij、，对的转置矩阵。称为，则）若（；，记为包含，

10、则称为）若（；相等，记为与则称为）若（RRrrRSRSsrSRSRsrTjiTijijijijij32,13.2 模糊矩阵模糊矩阵定义其中、设定义),(),(, 11-3 ijijnmsSrRUSR)1 (ijcijijijijrRsrSRsrSR）（）（的余矩阵。的并、交及与分别称为RSR3.2 模糊矩阵模糊矩阵设有模糊矩阵例 5-3 0.8 0.5SR。及、求TcSRSRSR3.2 模糊矩阵模糊矩阵解0.5 0.8SRSR0.8 0.5TcSR3.2 模糊矩阵模糊矩阵 )()( )(

11、)( 3)( )( 2, 1TSTRTSRTSTRTSRTSRTSRTSRTSRRSSRRSSR）（）（）分配律（）（）（）结合律（）交换律（3.2.2 3.2.2 模糊矩阵的运算性质模糊矩阵的运算性质3.2 模糊矩阵模糊矩阵cccCccccSRSRSRSRRSRSSRSRERORR EEREORORRORRSSSRSSSRRRRRRR)( ,)( 98, ,7) 6)( ,)( 5, 4）（）（）（）复原律（）吸收律（）幂等律（3.2 模糊矩阵模糊矩阵 41, 31)( 1211 10212121212211TTTTTTTTTTccSRSRSRSRSRSRRRSRSRSSRRSSRRSRSR

12、）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（，则，）若（3.2 模糊矩阵模糊矩阵定义，设有任意指标集),()(TtRTnmt)()()()(tijTttTttijTttTtrRrR)()()()(1615tTttTttTttTtRSRSRSRS）（）（于是有3.2 模糊矩阵模糊矩阵中称为模糊自反矩阵，其则若设定义RIRRnn, 12-3 100010001I叫做幺矩阵。反矩阵，的自反矩阵所包含的自而又被任何包含包含RR ).(RrR的自反闭包，记作称为3.2 模糊矩阵模糊矩阵.)(, 4-3 IRRrRnn则设定理IIOIRIIORIR所以为自反矩阵，因为先证证, 为自反矩阵。这表明IR的自反矩

13、阵，为任一包含，设的自反矩阵必包含再证任意包含RQIRR，从而故有且即QIRQIQR,IRRr)(3.2 模糊矩阵模糊矩阵称为模糊对称矩阵。，则若设定义RRRRTnn, 13-3 称矩阵，的对称矩阵所包含的对而又被任何包含包含RR）。（的对称闭包，记作叫做RsR3.2 模糊矩阵模糊矩阵., 5-3 TnnRRRsR）（则设定理为对称矩阵，因为先证证TRR )(,RsRRQRRQQRRTTTrr故从而是对称矩阵。所以TRRRQRRRT为任意包含，设的对称矩阵包含再证任意包含由此得于是且的对称矩阵，即,QQRQQQRTTTTTTTTTTRRRRRRRR)()(3.2 模糊矩阵模糊矩阵, 14-3

14、2121mnvvvVuuuU设定义定义,)(,)(,21lmkjmniklrRqQwwwWlnijsSRQ)(.).(1的合成）对的模糊乘积（或称为对称为其中RQRQSrqskjikmkij3.2.3 3.2.3 模糊矩阵的乘积模糊矩阵的乘积3.2 模糊矩阵模糊矩阵设有模糊矩阵例 6-3 10.500.40 RQ.RQ求3.2 模糊矩阵模糊矩阵解0.70.610.500.40RQ3.2 模糊矩阵模糊矩阵模糊矩阵

15、乘积的性质nmnmRRRSRQSRQ )()( 1推论）（)()()( )()( 2RSQSRQSSRSQSRQ）（）（3.2 模糊矩阵模糊矩阵此性质可推广为)()()()()()(tTttTttTttTtQRQRRQRQ但注意)()()( )(RSQSRQSSRSQSRQ）（）（3.2 模糊矩阵模糊矩阵)()()( )()( 3RSQSRQSSRSQSRQ）（）（RIRRIOORRO, 4 ）（nnRQRSQSSRSQRQ, 5，则若）（nTTnTTTRRQRRQ) ( ( , 6）（）（3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵模糊等价矩阵与模糊相似矩阵其中，记对设定义),( 1 , 0),(,

16、15-3 ijijnnrRrRRijijijrrr，01截距阵。的称为则-)(RrRij3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵模糊等价矩阵与模糊相似矩阵截距阵的性质SRSR0,1 1对）（SRSRSRSR)( ,)( 2 ）（RQRQ)( 3 ）（TTRR)()( 4）（3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵模糊等价矩阵与模糊相似矩阵称为模糊传递矩阵。则若设定义RRRRnn, 16-3 2总有对任意定理, 6-3 nnRkkmRRRRRt12)(mnmnnRRtR1)(, 7-3 则设定理3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵模糊等价矩阵与模糊相似矩阵称为模糊等价矩阵。则模糊矩阵，是自反、对称、传递的若设

17、定义RRRnn, 17-3 为上的模糊关系，可表示是设例URuuuuuU, 8-3 54320.50.60.50.50.40.40.80.41R3.3.3 3.3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵模糊等价矩阵与模糊相似矩阵3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵模糊等价矩阵与模糊相似矩阵上的模糊等价矩阵。是求证UR计算知是自反、对称的，又经显然证R RRRR2都是等价的普通矩阵。是：对是等价矩阵的充要条件定义RRnn0,1, 8-3 所分出的子类。所分出的每一个类必是则若定理RR1,0 9-3 3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵模糊等价矩阵与模糊相似矩阵分类中的试把例例U8-3 9-3 的矩阵为上的模糊关系中例解RU8-3 0.50.60.50.50.40.40.80.41R3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵模糊等价矩阵与模糊相似矩阵，则令）（1 1 10000010000010000010000011R，则令）（0.8 2 10000010000010100010001010.8R3.3 模糊等价矩阵与模糊相似矩阵模糊等价矩阵与模糊相似矩阵，则令）