（整理版）第三章直线与方程

1、第三章 直线与方程1直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°180°2直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，； 当时，； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与p1、p2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾

2、斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。3直线方程点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：直线两点，截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式：a，b不全为0注意：各式的适用范围 特殊的方程如：平行于x轴的直线：b为常数； 平行于y轴的直线：a为常数； 4直线系方程：即具有某一共同性质的直线一平行直线系平行于直线是不全为0的常数的

3、直线系：c为常数二过定点的直线系斜率为k的直线系：，直线过定点；过两条直线，的交点的直线系方程为为参数，其中直线不在直线系中。5两直线平行与垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。6两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解与重合7两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点那么 8点到直线距离公式：一点到直线的距离9两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。例1、在abc中，a(5，2)、b(7,3)，且ac边的中点m在y轴上，bc边的中点n在x轴上，求：(1)顶点c的坐标；(2)直线mn的方程

4、解：(1)设点c的坐标为(x，y)，那么有0，0，x5，yc的坐标为(5，3)(2)由题意知，m(0，)，n(1,0)，直线mn的方程为x1，即5x2y50.例2、两点a(1,2)，b(m,3)(1)求直线ab的方程；(2)实数m1，1，求直线ab的倾斜角的取值范围解：(1)当m1时，直线ab的方程为x1，当m1时，直线ab的方程为y2(x1)(2)当m1时，；当m1时，m1，0)(0，k(，)，)(，综合知，直线ab的倾斜角的取值范围为，例3、为了绿化城市，拟在矩形区域abcd内建一个矩形草坪(如下图)，另外，aef内部有一文物保护区不能占用，经测量ab100 m，bc80 m，ae30 m，af20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？解：建立如下图直角坐标系，那么e(30,0)，f(0,20)，于是，线段ef的方程是1(0x30)，在线段ef上取点p(m，n)，作pqbc于点q，prcd于点r，设矩形pqcr的面积为s，那么：s|pq|·|pr|(100m)(80n)，因为1，所以n20(1)，所以s(100m)(8020m)(m5)2