（整理版）福州市10月高中数学学科会议专题讲座高考应用题

1、福建省福州市10月高中数学学科会议专题讲座 高考应用题专题复习 我们先来看看近几年来我省高考应用题的考查情况1福建理科16。 本小题总分值13分 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下： 将频率视为概率，解答以下问题：i从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；ii假设该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；iii该厂预计今后这两种品牌轿车

2、销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，假设从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。本小题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等根底知识，考查数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想。解答：i首次出现故障发生在保修期内的概率为ii随机变量的分布列为 随机变量的分布列为 iii(万元) (万元) 所以应该生产甲品牌汽车。2。福建理科18.本小题总分值13分某商场销售某种商品的经验说明，该商品每日的销售量y：千克与销售价格x：元/千克满足关系式，其中3<x<6，a为常数，销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。i

3、求a的值ii假设该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。本小题主要考查函数、导数等根底知识，考查运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。解：i因为x=5时，y=11，所以ii由i可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润从而，于是，当x变化时，的变化情况如下表：3，444，6+0-单调递增极大值42单调递减由上表可得，x=4是函数在区间3，6内的极大值点，也是最大值点；所以，当x=4时，函数取得最大值，且最大值等于42。答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。3。 福建理科

4、19.本小题总分值13分某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数x依次为1,2，8，其中x5为标准a，x3为标准b，甲厂执行标准a生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准b生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准i甲厂产品的等级系数x1的概率分布列如下所示：5678p04ab01且x1的数字期望ex1=6，求a，b的值；ii为分析乙厂产品的等级系数x2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样

5、本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数x2的数学期望.在i、ii的条件下，假设以“性价比为判断标准，那么哪个工厂的产品更具可购置性？说明理由.注：1产品的“性价比=； 2“性价比大的产品更具可购置性.本小题主要考查概率、统计等根底知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，总分值13分。解：i因为又由x1的概率分布列得由ii由得，样本的频率分布表如下：345678030202010101用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数x2的概率分布列如下：345678p030202010101所以即乙厂产品的等

6、级系数的数学期望等于4.8.iii乙厂的产品更具可购置性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为据此，乙厂的产品更具可购置性。4. 。福建理科19文科21本小题总分值13分。，轮船位于港口o北偏西且与该港口相距20海里的a处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。1假设希望相遇时小艇的航行距离最小，那么小艇航行速度的大小应为多少？2假设小艇的最高航行速度只能到达30海里/小时，试设计航行方案即确定航行

7、方向与航行速度的大小，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。本小题主要考查解三角形、二次函数等根底知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、运用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等。【解析】如图，由1得而小艇的最高航行速度只能到达30海里/小时，故轮船与小艇不可能在a、c包含c的任意位置相遇，设，od=，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，所以，解得，从而值，且最小值为，于是当取得最小值，且最小值为。此时，在中，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。福建理科18、本小题总分值13分如图，某

8、市拟在长为8km的道路op的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一局部为曲线段osm，该曲线段为函数y=asinx(a>0, >0) x0,4的图象，且图象的最高点为s(3，2)；赛道的后一局部为折线段mnp，为保证参赛运发动的平安，限定mnp=120i求a , 的值和m，p两点间的距离；ii应如何设计，才能使折线段赛道mnp最长？ 18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等根底知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，解法一依题意，有，又，。当 是， 又在mnp中mnp=120°，mp=5，设pmn=，那么0&

9、#176;<<60°由正弦定理得,故0°<<60°，当=30°时，折线段赛道mnp最长亦即，将pmn设计为30°时，折线段道mnp最长解法二：同解法一在mnp中，mnp=120°，mp=5，由余弦定理得mnp=即故从而，即当且仅当时，折线段道mnp最长注：此题第问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：；点n在线段mp的垂直平分线上等福建省高考数学考试说明指出：五、强化应用意识，关注应用能力加强应用意识的培养与考查是时代的需要，是教育改革的需要，同时也是数学科的特点所决定的

10、。应用性问题主要是考查数学知识的实际应用。应用题的设计应贴近生活，联系实际，具有强烈的现实意义。“贴近生活，背景公平，控制难度的原那么，要把握好提出问题以上内容均选自福建高考数学考试说明数学应用题是指能利用数学知识解决的非数学领域中的问题，数学应用是数学最终价值的表达。数学应用题在数学教育中有其重要的地位，数学应用题是高考中必考的题型。国家考试中心评价报告对应用题给予了充分的关注，要求试题要表达数学的应用价值，要真正使数学效劳于生产生活实际，就必须具有建立数学模型的能力。数学教育目标也要求学生从实际问题中抽象出数学问题，并解决问题。自1995年数学应用题进入高考以来，每年不管数学应用题的题目难

11、或易，其得分率都是比拟低的。究其原因，一是考生对数学应用题有一种恐惧感；二是考生没有掌握数学应用题求解的一般分析方法；三是考生的应试策略与表述方面还存在一些问题。在高考复习与冲刺阶段如何能在数学应用题方面有所突破呢？下面谈谈我个人的看法，供参考。一学会数学建模分析的步骤 一、数学建模分析的步骤： 1. 读懂题目。应包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。 “整体理解就是弄清题目所述的事件和研究对象；明白问题说了什么事，学会数学应用的建模分析。“分析关系就是根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；题设材料呈现的文字语言、图形语言转化为符号语言。“领悟实质是指抓住题目中的主要问题、正

12、确识别其类型；用恰当的数学方法去解数学模型。 2、建立数学模型，将实际问题抽象为数学问题，从各种关系中找出最关键的数量关系，将这些关系用有关的量及数字、符号表示出来。3、求解数学模型，根据建立的数学模型，选择适宜的方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解。4、检验，既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求。二、注意具体的建模分析法：1、关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法。2、列表分析法：对于数据较多，较复杂的应用性问题通过列表的方式探索问题的数学模型的方法。3、图象分析法：通过图象中的数量关系分析建立数学模型

13、的方法。三、注意语言表达的完整性数学应用题的求解不同于一般的数学运算题，有人比喻它是数学中的小作文，因此解数学应用题要做到“有头有尾，把问题中的普通语言转化为数学语言，引入变量与字母，画出图形，将数学建模的过程详细地写出来，建立数学模型后，要准确地求解，并注意计量的一致，最后对于所得数据不仅要思考或检验是否与实际吻合，而且要给出完整的答案。 二全国各地高考应用题考查的典型试题一、排列组合应用题：1、安徽106位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，6位同学之间共进行了13次交换，那么收到份纪念品的同学人数为 或 或 或 或【解析】

14、选设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，那么收到份纪念品的同学人数为人设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，那么收到份纪念品的同学人数为人2、福建文科16.某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，假设城市间可铺设道路的线路图如图1，那么最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，那么铺设道路的最小总费用为_3、江西文科5. 观察以下事实|x|+|y|=1的不同整数解x,y的个数

15、为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解x，,y的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解x,y的个数为12 ，.，那么|x|+|y|=20的不同整数解x，y的个数为a.76 b.80 c二、解析几何应用题：全国理科卷12正方形abcd的边长为1，点e在边ab上，点f在边bc上，aebf。动点p从e出发沿直线喜爱那个f运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点p第一次碰到e时，p与正方形的边碰撞的次数为a16b14c12(d)10湖北文科5.过点p1,1的直线，将圆形区域x，y|x2+y24分两局部，使得这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为 a.x+y-2=0 b

16、.y-1=0 c.x-y=0 d.x+3y-4=0三、概率统计应用题：1、福建理科16.本小题总分值13分受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答以下问题：i从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；(ii)假设该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为x1，生产一辆乙品牌轿车的利润为x2，分别求x1，x2的分布列；iii该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制

17、，只能生产其中一种品牌轿车，假设从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。2、北京理科17本小题共13分近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下：吨：“厨余垃圾箱“可回收物箱“其他垃圾箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060试估计厨余垃圾投放正确的概率；试估计生活垃圾投放错误额概率；假设厨余垃圾在“厨余垃圾箱、“可回收物箱、“其他垃圾箱的投放量分别为其中a0，=600。当数据

18、的方差最大时，写出的值结论不要求证明，并求此时的值。注：，其中为数据的平均数解：1由题意可知：。2由题意可知：。3由题意可知：，因此有当，时，有3、福建文科18.(此题总分值12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：i求回归直线方程=bx+a，其中b=-20，a=-b；ii预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从i中的关系，且该产品的本钱是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？利润=销售收入-本钱4、辽宁文科19(本小题总分值12分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调

19、查，其中女性有55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷，“体育迷中有10名女性。 ()根据条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计 ()将日均收看该体育工程不低于50分钟的观众称为“超级体育迷，“超级体育迷中有2名女性，假设从“超级体育迷中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。附5江西文科6.小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，那么小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为四、三角函数应用题：1、福建理科17文科20本小题总分值

20、13分某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。1sin213°+cos217°-sin13°cos17°2sin215°+cos215°-sin15°cos15°3sin218°+cos212°-sin18°cos12°4sin2-18°+cos248°- sin2-18°cos248°5sin2-25°+cos255°- sin2-25°cos255° 试从上述五个式子中

21、选择一个，求出这个常数 根据的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。2、上海理科21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系以1海里为长度，那么救援船恰在失事船的正南方向12海xoypa里a处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. 1当时，写出失事船所在位置p的纵坐标. 假设此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；6分 2问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？8分解1时，p的横坐标xp=，代入抛物线方程 中，得p的纵坐

22、标yp=3. 2分 由|ap|=，得救援船速度的大小为海里/时. 4分 由tanoap=，得oap=arctan，故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. 6分 2设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. 由，整理得.10分 因为，当且仅当=1时等号成立， 所以，即. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 14分五、立体几何应用题：湖北理科10.我国古代数学名著九章算术中“开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术相当于给出了球的体积v，求其直径d的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据x=3.14159.判断，以下

23、近似公式中最精确的一个是六、数列应用题：1、湖北理科13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33，99。 3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999。那么4位回文数有_个；2n1nn+位回文数有_个。2、湖南理科16.设n=2nnn*，n2，将n个数x1,x2,，xn依次放入编号为1,2，n的n个位置，得到排列p0=x1x2xn。将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前个数和后个位置，得到排列p1=x1x3xn-1x2x4xn，将此操作称为c变换，将p1分成

24、两段，每段个数，并对每段作c变换，得到p2当2in-2时，将pi分成2i段，每段个数，并对每段c变换，得到pi+1，例如，当n=8时，p2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于p2中的第4个位置。1当n=16时，x7位于p2中的第_个位置；2当n=2nn8时，x173位于p4中的第_个位置。3、湖南文科20.本小题总分值13分某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产。该企业第一年年初有资金万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50。预计以后每年资金年增长率与第一年的相同。公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产。设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元。用d表示a1，a2，并写出an1与an