【创新设计】2011届高三数学一轮复习 坐标系与曲线的极坐标方程课件 理 苏教版选修4-4-1

1、选修选修44坐标系与参数方程坐标系与参数方程第第1 1课时坐标系与曲线的极坐标方程课时坐标系与曲线的极坐标方程了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况，能在极坐标系了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化能在极坐标系中给出简单图形的方程，了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置中给出简单图形的方程，了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法的方法【命题预测】【命题预测】本部分属选考内容，主要对极坐标的概念，点的极坐标及简单曲线的极

2、坐标本部分属选考内容，主要对极坐标的概念，点的极坐标及简单曲线的极坐标方程进行考查方程进行考查【应试对策】【应试对策】 1会会用数形结合方法进行点的极坐标与直角坐标的互化直角坐标方程化为极坐标用数形结合方法进行点的极坐标与直角坐标的互化直角坐标方程化为极坐标 程时，只要运用公式程时，只要运用公式xcos 及及ysin 直接代入并化简即可，而极坐标方程直接代入并化简即可，而极坐标方程 化为直角坐标方程则相对困难一些化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如解此类问题常通过变形，构造形如cos ， sin ，2的形式，进行整体代换的形式，进行整体代换2根据极坐标中的图形来求其极

3、坐标方程，并把极坐标方程化为直角坐标方程来解根据极坐标中的图形来求其极坐标方程，并把极坐标方程化为直角坐标方程来解， 这是今后高考的重点内容这是今后高考的重点内容 【知识拓展】【知识拓展】 圆圆锥曲线的极坐标方程锥曲线的极坐标方程 以圆锥曲线的焦点为极点，以圆锥曲线的轴以圆锥曲线的焦点为极点，以圆锥曲线的轴(与准线垂直的轴与准线垂直的轴)为极轴建立极坐标为极轴建立极坐标 系，设圆锥曲线的焦点到对应准线的距离为系，设圆锥曲线的焦点到对应准线的距离为p，离心率为，离心率为e，则圆锥曲线的极坐标方则圆锥曲线的极坐标方 程为程为1直角坐标系直角坐标系任意一点都有确定的任意一点都有确定的 与它对应；反之

4、，依据一个点的与它对应；反之，依据一个点的 就能确定这个点就能确定这个点的位置的位置2极坐标系极坐标系(1)基基本概念本概念在平面上取一个定点在平面上取一个定点O，自点，自点O引一条射线引一条射线OX，同时确定一个，同时确定一个 和和 的正方向的正方向(通常取逆时针方向为正方向通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，这样就建立了一个极坐标系，其中，其中， 称为极点，称为极点， 称为极轴称为极轴(2)极极径与极角径与极角设设M是平面上任一点，是平面上任一点，表示表示 ，表示以表示以 为始边，为始边， 为终边所成的角，那么，有序数对为终边所成的角，那么，有序数对(，)称为点称为点M的

5、极坐标，其中，的极坐标，其中， 称为点称为点M的极径，的极径， 称为点称为点M的极角的极角思考：思考：在极坐标系中，极径在极坐标系中，极径的取值范围对平面上的点与极坐标的对应关系有何的取值范围对平面上的点与极坐标的对应关系有何影响？影响？提示：提示：极径极径可正、可负可为零，当可正、可负可为零，当0且极角且极角的取值范围是的取值范围是0,2)时，平面上的时，平面上的点点(除去极点除去极点)就与极坐标就与极坐标(，)建立一一对应的关系建立一一对应的关系坐标坐标坐标坐标长度单位长度单位计算角度计算角度点点O射线射线OXOM的长度的长度射线射线OX射线射线OM (3)极坐标与直角坐标的互化极坐标与直

6、角坐标的互化3球坐标系与柱坐标系球坐标系与柱坐标系(1)球球坐标系坐标系在空间任取一点在空间任取一点O作为极点，从作为极点，从O引两条引两条 的射线的射线OX和和OZ作为作为 再规定一个单位长度和射线再规定一个单位长度和射线OX绕绕OZ轴旋转所成的角的轴旋转所成的角的 ，这样，这样 就建立了一个球坐标系就建立了一个球坐标系设设P是空间一点，用是空间一点，用r表示表示OP的长度，的长度，表示以表示以OZ为始边，为始边，OP为终边的为终边的角，角，表示半平面表示半平面XOZ到半平面到半平面POZ的角那么，有序数组的角那么，有序数组 就称为点就称为点P的球坐标的球坐标(2)球坐标与直角坐标的互化球坐

7、标与直角坐标的互化.互相垂直互相垂直正方向正方向极极轴轴(r，)(3)柱坐标系柱坐标系在平面极坐标系的基础上，增加垂直于此平面的在平面极坐标系的基础上，增加垂直于此平面的 ，可得空间柱坐标系，可得空间柱坐标系设设P是空间一点，是空间一点，P在过在过O且垂直于且垂直于OZ轴的平面上的射影为轴的平面上的射影为Q，取，取OQ，xOQ，QPz，那么，点，那么，点P的柱坐标为有序数组的柱坐标为有序数组 (4)柱坐标与直角坐标的互化柱坐标与直角坐标的互化 OZ轴轴(，z)4曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程(1)曲曲线的极坐标方程的意义线的极坐标方程的意义如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程如果一条

8、曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(，)0；并且，极坐标适合并且，极坐标适合方程方程f(，)0的点都在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的的点都在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的 方程，这方程，这条曲线称为这个条曲线称为这个 的曲线的曲线(2)求曲线的极坐标方程的基本步骤求曲线的极坐标方程的基本步骤第一步建立适当的极坐标系；第一步建立适当的极坐标系；第二步在曲线上任取一点第二步在曲线上任取一点P(，)；第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步用极坐标第四步用极坐标，表示上述等式，并化简得极坐标方程表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步证明

9、所得的方程是曲线的极坐标方程第五步证明所得的方程是曲线的极坐标方程极坐标极坐标极坐标方程极坐标方程1把极坐标把极坐标 转化成直角坐标为转化成直角坐标为_解析：解析：x2cos ，y2sin ，即，即x ，y1.答案：答案：( ，1)2球球坐标坐标 转化成直角坐标为转化成直角坐标为_解析：解析：x4sin cos 3，y4sin sin ， z4cos 2.答案：答案：(3， ，2)3将将柱坐标化柱坐标化 成直角坐标为成直角坐标为_解析：解析：x6cos 3，y6sin 3 ，z1.答案：答案：(3, 3 ，1)4极坐标方程极坐标方程2cos 表示的图形的面积为表示的图形的面积为_解析：解析：极

10、坐标方程极坐标方程2cos 表示半径为表示半径为1的圆，所以其面积为的圆，所以其面积为.答案：答案：5圆圆心的极坐标为心的极坐标为 ，半径为，半径为1的圆的极坐标方程为的圆的极坐标方程为_解析：解析：圆的极坐标方程为圆的极坐标方程为222cos 2210，即，即24cos 30.答案：答案：24cos 30点的坐标之间的互化，主要是利用其公式进行互化，在平面内极坐标与直点的坐标之间的互化，主要是利用其公式进行互化，在平面内极坐标与直角坐标的互化公式角坐标的互化公式 在空间，球坐标与直角坐在空间，球坐标与直角坐标之间的关系为标之间的关系为 柱坐标与直角坐标之间的关系为柱坐标与直角坐标之间的关系为

11、【例【例1】 已已知长方体知长方体ABCDA1B1C1D1的边长为的边长为AB14，AD6，AA110，以，以这个长方体的顶点这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线为坐标原点，以射线AB，AD，AA1分别为分别为Ox，Oy，Oz轴的正半轴建立空间直角坐标系，求长方体顶点轴的正半轴建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标、球坐的空间直角坐标、球坐标、柱坐标标、柱坐标思路点拨：思路点拨：如图所示，由图可知：如图所示，由图可知：C1点的点的(x，y，z)分别对应着分别对应着CD，BC，CC1，C1点的点的(，z)分别对应着分别对应着CA，BAC，CC1，C1点的点的(r，) 分别对应着分别对

12、应着AC1，A1AC1，BAC.解：解：C1点点的空间直角坐标为的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为点的柱坐标为( ，10)，C1 点点的球坐标为的球坐标为( ，)其中，其中， 且且tan ， 且且cos 变式变式1：(1)柱坐标柱坐标 的直角坐标为的直角坐标为_解析：解析：所求直角坐标为所求直角坐标为 即即答案：答案：(2)直角坐标直角坐标(6,2 ，4)的球坐标为的球坐标为_解析：解析：由由(r0,0，00，sin 0及及知知sin 0， .可写成可写成4rsin ， 22得得64r2，r8，代入，代入可得可得cos ， .所求球所求球 坐标为坐标为 .答案：答案：已知直线

13、过点已知直线过点M(0，0)且倾斜角为且倾斜角为的直线方程，可以直接由公式的直线方程，可以直接由公式sin()P0sin(0)写出，过极点且已知倾斜角的直线、与极轴平行、与极轴写出，过极点且已知倾斜角的直线、与极轴平行、与极轴垂直的直线，这些特殊直线可以直接写出或先写直角坐标方程再转化成极垂直的直线，这些特殊直线可以直接写出或先写直角坐标方程再转化成极坐标方程，圆的极坐标方程为坐标方程，圆的极坐标方程为220cos(0)2 r20，其圆心为其圆心为(0，0)，半径为半径为r. 【例【例2】 按按下列条件写出直线或圆的极坐标方程：下列条件写出直线或圆的极坐标方程：(1)过极点且倾斜角为过极点且倾

14、斜角为 的直线；的直线；(2)经过点经过点 ，且平行于极轴的直线；，且平行于极轴的直线；(3)经过点经过点 ，且倾斜角为，且倾斜角为 的直线；的直线；(4)圆心为圆心为 ，半径为，半径为2的圆的方程的圆的方程思路点拨：思路点拨：(1)由直线上任一点的极角等于倾斜角写直线的方程由直线上任一点的极角等于倾斜角写直线的方程(2)把极坐标转化成直角坐标，观察点的位置便可写出直线的方程把极坐标转化成直角坐标，观察点的位置便可写出直线的方程(3)由公式由公式sin()0sin(0)写出写出(4)用圆的极坐标方程公式用圆的极坐标方程公式解：解：(1)由由题知直线上每一点的极角题知直线上每一点的极角 ，R，所

15、以直线极坐标方程是，所以直线极坐标方程是 ，R.(2)点点 的坐标写成直角坐标为的坐标写成直角坐标为(0,3)，因为直线平行于极轴，所以直线的极坐标，因为直线平行于极轴，所以直线的极坐标方程是方程是sin 3.(3)所求直线的极坐标方程为所求直线的极坐标方程为sin 2sin .即即sin 1.(4)所求圆的方程为所求圆的方程为221cos 12220，即，即22sin 30.变式变式2：按按下列条件写出直线或圆的极坐标方程：下列条件写出直线或圆的极坐标方程：(1)经经过点过点(2，)且与极轴垂直的直线；且与极轴垂直的直线；(2)过点过点 且倾斜角为的直线；且倾斜角为的直线；(3)过点过点 ，

16、半径为，半径为1的圆的圆解：解：(1)直线的极坐标方程为直线的极坐标方程为cos 2.(2)直线的极坐标方程为直线的极坐标方程为sin 4 sin ，即，即sin 2 .(3)所求圆的极坐标方程为所求圆的极坐标方程为22 3 cos 3210，即，即26cos 80.直直线线、圆的极坐标方程与直角坐标系方程的互化和点的极坐标与直角坐标圆的极坐标方程与直角坐标系方程的互化和点的极坐标与直角坐标的互化类似，都是利用互化公式的互化类似，都是利用互化公式 【例【例3】 O1和和 O2的极坐标方程分别为的极坐标方程分别为4cos ，4sin .(1)把把 O1和和 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；的极

17、坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过求经过 O1， O2交点的直线的直角坐标方程交点的直线的直角坐标方程思路点拨：思路点拨：(1)利用利用2x2y2，cos x，sin y；(2)求两圆的交点坐求两圆的交点坐标，由交点坐标写方程标，由交点坐标写方程解：解：以以极点为原点，极轴为极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位中取相同的长度单位(1)xcos ，ysin ，由，由4cos 得得24cos .所以所以x2y24x.即即x2y24x0为为 O1的直角坐标方程的直角坐标方程同理同理x2y24y0为为 O2的直角坐标方程

18、的直角坐标方程(2)由由 解得解得即即 O1， O2交于点交于点(0,0)和和(2，2)过交点的直线的直角坐标方程为过交点的直线的直角坐标方程为yx.变式变式3：求经过极点求经过极点O(0,0)，A，B三点的圆的极坐标方程三点的圆的极坐标方程解：解：点点O，A，B的直角坐标分别为的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故，故OAB是以是以OB为斜边为斜边的等腰直角三角形，进而易知圆心为的等腰直角三角形，进而易知圆心为(3,3)，半径为，半径为3 ，圆的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为 (x3)2(y3)218，即，即x2y26x6y0，将将xcos ，ysin 代入上述方程，得代

19、入上述方程，得26(cos sin )0，即，即6cos .【规律方法总结规律方法总结】1求曲线的极坐标方程的方法和步骤，和求直角坐标方程的步骤求曲线的极坐标方程的方法和步骤，和求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹；将已类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹；将已知条件用曲线上点的极坐标知条件用曲线上点的极坐标、的关系式的关系式f(，)0或或F(，)0表示出来，就得到曲线的极坐标方程表示出来，就得到曲线的极坐标方程2平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么这两种坐标之间有什么关

20、系呢？我们要理解极坐标的概念，那么这两种坐标之间有什么关系呢？我们要理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，利用两种坐标的互会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题(1)互化的前提条件：互化的前提条件：极坐标系中的极点与直角坐标系中的原极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；点重合；极轴与极轴与x轴的非负半轴重合；轴的非负半轴重合；两种坐标系中取相同两种坐标系中取相同的长度单位的长度单位(2)互化公式互化公式 【例【例4】 (2009辽宁卷辽宁卷)在在直角坐标系直角坐标系xOy中，以中，

21、以O为极点，为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐轴非负半轴为极轴建立极坐标系曲线标系曲线C的极坐标方程为的极坐标方程为cos 1，M，N分别为分别为C与与x轴，轴，y轴的交点轴的交点(1)写出写出C的直角坐标方程，并求的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；的极坐标；(2)设设MN的中点为的中点为P，求直线，求直线OP的极坐标方程的极坐标方程分析：分析：(1)按照余弦的和差公式把按照余弦的和差公式把cos 展开，用展开，用x，y分别代替方程中的分别代替方程中的cos ，sin 即可，把极坐标方程化为直角坐标方程，然后求出点即可，把极坐标方程化为直角坐标方程，然后求出点M，N的坐标；的坐标；(2)所求

22、的所求的直线过极点，直线的一个极坐标方程是直线过极点，直线的一个极坐标方程是(R)，其中，其中为直线的倾斜角，只要为直线的倾斜角，只要根据直线过点根据直线过点O，P，求出该直线的倾斜角即可，求出该直线的倾斜角即可【高考真题高考真题】规范解答：规范解答：(1)由由cos 1，得得 1，从而从而C的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x y1，即即xy2.0时，时，2，所以，所以M(2,0) 时，时， ，所以所以 N .(2)M点的直角坐标为点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为点的直角坐标为 .所以所以P点的直角坐标为点的直角坐标为 ，则，则P点的极坐标为点的极坐标为 ，所以直线，所以直线OP的

23、极的极坐坐 标方程为标方程为 ，(，)【命题探究】【命题探究】 本题的命题立意是全面考查直线的极坐标方程的基础知识，先由本题的命题立意是全面考查直线的极坐标方程的基础知识，先由极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直角坐标方程求直线的极坐标方程，一极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直角坐标方程求直线的极坐标方程，一正一反，有效检测考生对直线的极坐标方程知识的掌握程度正一反，有效检测考生对直线的极坐标方程知识的掌握程度【课本探源课本探源】本题中给出的直线的极坐标方程与教材上很多题目类似，如人教本题中给出的直线的极坐标方程与教材上很多题目类似，如人教A版版坐标系与参数方程坐标系与参数方程中的习题中的习题“已知直线的极坐标方程是已知直线的极坐标方程是sin ，求点，求点A 到这条直线的距离到这条直线的距离”，本题第，本题第(2)问中直线问中直线的极坐标方程是教材讲解直线极坐标方程的引例，本题是教材上考查不同知识的极坐标方程是教材讲解直线极坐标方程的引例，本题是教材上考查不同知识点的基础题目的一个交汇点的基础题目的一个交汇【全解密全解密】【知识链接】【知识链接】 直线的极坐标方程直线的极坐标方程一般地，极坐标方程一般地，极坐标方程sin()a，cos()a，(，a是常数是常数)都表示直都表示直线，将它们化