【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第3知识块第1讲角的概念的推广和弧度制课件 北师大版

1、【考纲下载考纲下载】1. 了解任意角的概念、弧度的意义了解任意角的概念、弧度的意义2能正确地进行弧度与角度的换算能正确地进行弧度与角度的换算3理解任意角的正弦、余弦、正切的定义理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.第第1讲讲 角的概念的推广和弧度制及任角的概念的推广和弧度制及任 意角的三角函数意角的三角函数第三知识块第三知识块 角的概念的推广和弧度制角的概念的推广和弧度制 及任意角的三角函数及任意角的三角函数1角的概念角的概念 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着定义：角可以看成平面内一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个从一个位置旋转到另一个 位置所成位置所成 的图形的图形 (2)分类：按旋

2、转方向分：分类：按旋转方向分： 角、角、 角、角、 角角正正负负零零端点端点2终边相同的角的集合终边相同的角的集合 所有与角所有与角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集在内，可构成一个集 合合 . 或或 ，前者，前者用用 角度制表示，后者角度制表示，后者用弧度制表示用弧度制表示 提示：提示：相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角 有无数个，它们之间相差有无数个，它们之间相差360的整数倍的整数倍r|rk k360，k kZ|2k k，kZ3弧度制弧度制 (1)角度与弧度的换算关系角度与弧

3、度的换算关系 360 rad；1 rad；1 rad . (2)设扇形的弧长为设扇形的弧长为l，圆心角大小为，圆心角大小为(rad)，半径为，半径为r，则，则l 扇形的面积为扇形的面积为 S . 提示：提示：在表示角的同一个表达式中，角度制和弧度制两种制度不能混用，如与在表示角的同一个表达式中，角度制和弧度制两种制度不能混用，如与30 角终边相同的角的集合不能表示为角终边相同的角的集合不能表示为|k k360 ，k kZ或或|2k k 30，k kZ|r24任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义 设设是一个任意角，是一个任意角，的终边上任意一点的终边上任意一点P(除端点外除端点外)的坐标

4、是的坐标是(x，y)，它与，它与 原点的距离是原点的距离是|OP|r (r0) 则则sin ；cos ；tan .5三角函数在各象限的符号规律三角函数在各象限的符号规律sin cos tan 函数函数符号符号象限象限三角函数线三角函数线设设角角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P如下图所示，则图中的有向线段如下图所示，则图中的有向线段 MP，OM，AT的数量分别等于角的数量分别等于角的正弦、余弦、正切的值，这些有向线段叫的正弦、余弦、正切的值，这些有向线段叫做角做角的的 线线、 线线、 线线正弦正弦余弦余弦正切正切提示：提示：三角函数线是有向线段，字母顺序不能

5、随意调换当角三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换当角的终边与的终边与x轴重合轴重合 时，正弦线、正切线分别变成一个点，角时，正弦线、正切线分别变成一个点，角的正弦值和正切值都为的正弦值和正切值都为0；当角；当角的终的终边与边与y轴重合时，余弦线变成一个点，余弦值为轴重合时，余弦线变成一个点，余弦值为0，正切值不存在，正切值不存在6.1已知已知cos tan 0，那么角，那么角是是() A第一或第二象限角第一或第二象限角 B第二或第三象限角第二或第三象限角 C第三或第四象限角第三或第四象限角 D第一或第四象限角第一或第四象限角 解析：解析：cos tan 0，当当cos 0时，时，为第三象

6、限的为第三象限的 角；当角；当cos 0，tan cos x成立的成立的x取值范围是取值范围是() A. B. C. D. 解析：解析：如右图所示，用单位圆内正弦线和余弦线来解，如右图所示，用单位圆内正弦线和余弦线来解， 要使要使sin xcosx，只只 要要x取阴影部分的角即可取阴影部分的角即可答案：答案：C弧长为弧长为3，圆心角为，圆心角为135的扇形半径为的扇形半径为_，面积为，面积为_解析：解析：l|r，r 4，S lr 346.答案：答案：464利用终边相同角的表示，可以由角利用终边相同角的表示，可以由角所在的象限，判断所在的象限，判断 ， 等所在的象限，其等所在的象限，其方法有：方

7、法有：1范围限定法：将范围限定法：将的范围用式子表示出来，然后求出的范围用式子表示出来，然后求出 ， 等角的范围，根等角的范围，根 据此范围进行判断此时需要进行分类讨论据此范围进行判断此时需要进行分类讨论2图示法：把直角坐标系中的各个象限依次进行二等分、三等分，从图示法：把直角坐标系中的各个象限依次进行二等分、三等分，从x轴右上轴右上 方开始按逆时针将各区域依次标上方开始按逆时针将各区域依次标上1,2,3；1,2,3；是第几象限角就找数是第几象限角就找数 字几，其对应的位置就是字几，其对应的位置就是 ， 等所在的象限等所在的象限 若若是第二象限的角，试分别确定是第二象限的角，试分别确定2， 的

8、终边所在位置的终边所在位置 思维点拨：思维点拨：判断角判断角在哪个象限，只需把在哪个象限，只需把改写成改写成0k k360(k kZ)，其中，其中 00360. 解：解：是第二象限的角，是第二象限的角，k k36090k k360180(k kZ)(1)2k k36018022k k360360(k kZ)，2是第三或第四象限的角，或角的终边在是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上轴的非正半轴上【例例1】(2)k k18045 k k18090(k kZ)，当当k k2n(nZ)时，时，n36045 n36090；当当k k2n1(nZ)时，时，n360225 n360270. 是

9、第一或第三象限的角是第一或第三象限的角 本例条件不变，试确定本例条件不变，试确定 的终边所在象限的终边所在象限解：解：k k12030 k k12060(k kZ)，当当k k3n(nZ)时时，n36030 n36060；当当k k3n1(nZ)时时，n360150 n360180；当当k k3n2(nZ)时时，n360270 n360300. 是第一或第二或第四象限的角是第一或第二或第四象限的角.拓展拓展1：对于扇形应该由两个条件确定，可以将扇形所在圆的半径对于扇形应该由两个条件确定，可以将扇形所在圆的半径 r，扇形圆心，扇形圆心角的弧度数角的弧度数和弧长和弧长l中的两个做为基本量进行计算和

10、证明弧度制下的弧长中的两个做为基本量进行计算和证明弧度制下的弧长公式形式较为简单公式形式较为简单lr(其中其中为扇形圆心角的弧度数为扇形圆心角的弧度数) 【例例2】 一扇形周长为一扇形周长为20 cm，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇才能使扇 形面积最大？形面积最大？ 思维点拨：思维点拨：建立圆心角、半径之间的等量关系，把面积表示成建立圆心角、半径之间的等量关系，把面积表示成变量的函数变量的函数解：解：设扇形圆心角为设扇形圆心角为，半径为半径为r，则则2rr20， S扇形扇形 r2 (10r)r10rr2，当当r 5时时，S扇形扇形的最大值为的最大值

11、为25cm2，此时此时2 rad. 若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值到最小值？解：解：设扇形的圆心角为设扇形的圆心角为，半径为半径为R，弧长为弧长为l，根据已知条件根据已知条件 lRS扇扇，则扇则扇形的周长为形的周长为：l2R R4当且仅当当且仅当R 时等号成立时等号成立，此时此时l2 2，因此当扇形的圆心角为因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值弧度时，扇形的周长取到最小值.变式变式2：由终边上一点由终边上一点P的坐标，可计算的坐标，可计算P到原点的距离，再由三角函数的定义求到原点

12、的距离，再由三角函数的定义求 值，值值，值得注意的是，当角的终边上点的坐标是以参数的形式给出时，常常要对得注意的是，当角的终边上点的坐标是以参数的形式给出时，常常要对 参数进参数进行讨论行讨论【例例3】 已知角已知角终边上一点终边上一点P，P到到x轴的距离与到轴的距离与到y轴的距离之比为轴的距离之比为34，且，且 sin 0，求，求cos 2tan 的值的值 思维点拨：思维点拨：先由已知求出角先由已知求出角终边上点终边上点P的坐标，再根据三角函数的坐的坐标，再根据三角函数的坐 标法定义即可求出标法定义即可求出的所有三角函数值的所有三角函数值解：解：设设P(x，y)，则根据题意，可得，则根据题意

13、，可得 ，sin 0)，则则r 5k k，从而从而cos ，tan 若若P点位于第四象限，点位于第四象限，可设可设P(4k k，3k k)(k k0)，则，则r 5k k，从而从而cos ，tan cos 2tan ，由于由于 故故的终边不可能在的终边不可能在y轴的非正半轴上轴的非正半轴上综上所述，若综上所述，若P点位于第三象限，则点位于第三象限，则cos 2tan 若若P点位于第四象限，则点位于第四象限，则cos 2tan 已知角已知角的终边上一点的终边上一点P( ，m)，且且sin ，求求cos ，tan 的的值值解：解：由题设知由题设知x ， ym，所以所以r2|OP|2( )2m2，得

14、得r ,从而从而sin 解得解得m0或或m当当m0时时，r ，x ，cos ，tan 当当m ，r 2 ，x ，cos ，tan 变式变式3：1弧度制与角度制的转换关系要抓住弧度制与角度制的转换关系要抓住弧度等于弧度等于180，弧度制沟通，弧度制沟通了角与实数之间的一一对应关系，扇形的弧长公式了角与实数之间的一一对应关系，扇形的弧长公式l|r和面积和面积公式公式S lr，是解决有关圆问题的有效工具，是解决有关圆问题的有效工具2要确定角要确定角所在的象限，只要把所在的象限，只要把表示为表示为2k0(kZ,000时，时，r5a，sin cos tan ； 8分分(2)当当a0时，时，r5a，sin cos tan .12分分【规范解答规范解答】如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为(x，y)，则，则sin y，cos x，