【创新设计】2011届高三数学一轮复习 导数的应用课件 北师大版

1、了解函数单调性和导数的关系了解函数单调性和导数的关系/能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间区间/了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件/会用导数求函数的极大值、会用导数求函数的极大值、极小值极小值/会求闭区间上函数的最大值、最小值会求闭区间上函数的最大值、最小值/会利用导数解决某些实际问题会利用导数解决某些实际问题 2.11 2.11 导数的应用导数的应用1函数在某区间上单调的充分条件函数在某区间上单调的充分条件 一一般地，设函数般地，设函数yf(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内在某个区间

2、内有导数，如果在这个区间内f(x) 0，那，那么函数么函数yf(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 0，那么函数，那么函数yf(x)为这个区间内的减函数为这个区间内的减函数2函数的极大值函数的极大值在包含在包含x0的一个区间的一个区间(a,b)内内,函数函数f(x)在任何一点的函数值不大于在任何一点的函数值不大于x0点的函数值点的函数值,就说就说 f(x0)是函数是函数f(x)的一个极大值，记作的一个极大值，记作y极大值极大值f(x0)，x0是极大值点是极大值点提示：提示：可模仿函数极大值的定义给出函数极小值的定义可模仿函数极大值的定义给出函数极小

3、值的定义.f (x)3求可导函数求可导函数f(x)的极值的步骤的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数确定函数的定义区间，求导数f(x) (2)求方程求方程f(x)0的根的根 (3)用函数的导数为用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列成的点，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列成 表格检查表格检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取在这个根处取 得极大值；如果左负右正，那么得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不在这个根处取得极小值；如果左右不 改变符

4、号，那么改变符号，那么f(x)在这个根处无极值在这个根处无极值4利用导数求函数的最值步骤利用导数求函数的最值步骤 (1)求求f(x)在在(a，b)内的极值内的极值； (2)将将f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数比较得出函数f(x)在在a，b上上的最值的最值1对于对于R上可导的任意函数上可导的任意函数f(x)，若满足，若满足(x1)f(x)0，则必有，则必有() Af(0)f(2)2f(1) 解析：解析：(x1)f(x)0， 或或 函数函数yf(x)在在(，1上单调递减，上单调递减，f(0)f(1)；在；在1，)上单调递增，上单调递增， f(2)f(1)， f(0)f(2

5、)2f(1) 函数函数yf(x)可为常数函数，可为常数函数，f(0)f(2)2f(1)故选故选C项项 答案：答案：C2函数函数f(x)x33x22在区间在区间1,1上的最大值是上的最大值是() A2 B0 C2 D4 解析：解析：f(x)3x26x，令，令f(x)0，得，得x0，x2(舍去舍去) 比较比较f(1)，f(0)，f(1)的大小知的大小知f(x)maxf(0)2，选，选C项项 答案：答案：C3函数函数f(x)的定义域为开区间的定义域为开区间(a，b)，导函数，导函数f(x)在在(a，b)内的图象如图所示，内的图象如图所示， 则函数则函数f(x)在开区间在开区间(a，b)内有极小值点内

6、有极小值点() A1个个 B2个个 C3个个 D4个个 解析：解析：f(x)0单调递增，单调递增，f(x)0. 由题中图象可知只有由题中图象可知只有1个极小值点个极小值点 答案：答案：A4(2010开封高三月考开封高三月考)函函数数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致的大致 图象如右图，则图象如右图，则 等于等于()解析解析：由题图可知：由题图可知f(1)f(0)f(2)0，解得：解得：b1，c2，d0，则，则f(x)3x22x2，则则 答案答案：C 此类题主要考查求函数的导数、单调性的判定以及单调性的应用，是高考考查的此类题主要考查求函数的导数、单调性的判定以及单调性的应用，是高考考查的重

7、点，考题可能以小题形式出现，也可以以中档大题形式出现应注意函数重点，考题可能以小题形式出现，也可以以中档大题形式出现应注意函数yf(x)在区间在区间(a，b)上可导，则上可导，则f(x)0是函数是函数yf(x)在在(a，b)上递增的充分条件，并上递增的充分条件，并非充要条件非充要条件【例【例1】设设a为实数，函数为实数，函数f(x)x3ax2(a21)x在在(，0)和和(1，)都是增都是增 函数，求函数，求a的取值范围的取值范围 解答：解答：f(x)3x22ax(a21)，其判别式，其判别式4a212a212128a2. (1)若若128a20，即，即a . 当当x(， )或或x( ，)时，时

8、， f(x)0，f(x)在在(，)为增函数为增函数 所以所以a . (2)若若128a20，f(x)在在(，)为增函数为增函数(3)若若128a20，即，即 ，令，令f(x)0，解得解得 当当x(，x1)或或x(x2，)时，时，f(x)0，f(x)为增函数；为增函数；当当x(x1，x2)时，时，f(x)0，b0. (1)设设A(s，f(s)，B(t，f(t)，求证线段求证线段AB中点在曲线中点在曲线yf(x)上上； (2)若若ab0时，求时，求u的最大值的最大值解答：解答：(1)f(x)ax3cxd，f(x)3ax2c.根据已知条件根据已知条件 即即 解得解得(2)由由f(x)x3x，f(x)

9、3x21，P点坐标点坐标(t，t3t)，联立整理得联立整理得(xt)2(x2t)0，则则Q点坐标为点坐标为(2t，8t32t)， 要注意区分函数最大要注意区分函数最大(小小)值与函数极值的区别、联系函数的极值是比较极值值与函数极值的区别、联系函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，是局部性概念，而函数的最大点附近的函数值得出的，是局部性概念，而函数的最大(小小)值是比较整个定义值是比较整个定义区间的函数值得出的，是对整个定义域而言的在闭区间区间的函数值得出的，是对整个定义域而言的在闭区间a，b上连续函数上连续函数f(x)的最大的最大(小小)值，是开区间值，是开区间(a，b)内所有极大内所有极

10、大(小小)值与值与f(a)、f(b)中的最大中的最大(小小)值值【例【例3】请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状的正六棱柱，上部的形状 是侧棱长为是侧棱长为3 m的正六棱锥的正六棱锥( (如下图所示如下图所示) )试问当帐篷的顶点试问当帐篷的顶点O到底面中心到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？的距离为多少时，帐篷的体积最大？解答：解答：由题图，设由题图，设OO1为为x m，则则1x4.由题设可得正六棱锥底面边长为由题设可得正六棱锥底面边长为( (单位单位：m)：于是底面正六边形的面积为于是底面正六边形的面积为( (单位单

11、位：m2)：帐篷的体积为帐篷的体积为( (单位单位：m3)：求导数，得求导数，得令令V(x)0，解得解得x2(不合题意，舍去不合题意，舍去)，x2.当当1x0，V(x)为增函数；当为增函数；当2x4时时，V(x)0，V(x)为减函数为减函数 所以当所以当x2时时，V(x)最大当最大当OO1为为2 m时，帐篷的体积最大时，帐篷的体积最大. 1在利用导数确定函数单调性时要注意结论在利用导数确定函数单调性时要注意结论“若若yf(x)在在(a，b)内可导，且内可导，且 f(x)0，则，则f(x)在区间在区间(a，b)上是增函数上是增函数”的使用方法此结论并非充要的使用方法此结论并非充要 条件如条件如f

12、(x)x3.在在(，)上是递增的，但上是递增的，但f(0)0；因此已知函数的；因此已知函数的 单调区间求函数关系式中字母范围时，要对单调区间求函数关系式中字母范围时，要对f(x)0处的点进行检验处的点进行检验2若函数若函数f(x)在在a，b上连续，在上连续，在(a，b)内可导，求内可导，求f(x)在在a，b上的最大值与最上的最大值与最 小值的步骤如下：小值的步骤如下： (1)求求f(x)在在(a，b)内的极值；内的极值； (2)将将f(x)的各极值与的各极值与f(a)，f(b)比较其中最大的是最大值，最小的是最小值；比较其中最大的是最大值，最小的是最小值； (3)特殊地对于开区间内的单峰函数极

13、大值即为函数的最大值，极小值即为函数特殊地对于开区间内的单峰函数极大值即为函数的最大值，极小值即为函数的最小值的最小值. 【方法规律】【方法规律】 (本题满分本题满分12分分)已知函数已知函数f(x) x3ax2bx，且，且f(1)0. (1)试用含试用含a的代数式表示的代数式表示b； (2)求求f(x)的单调区间的单调区间； (3)令令a1，设函数设函数f(x)在在x1，x2(x1x2)处取得极值，记点处取得极值，记点M(x1，f(x1)，一步，一步 N(x2，f(x2)，证明：线段证明：线段MN与曲线与曲线f(x)存在异于存在异于M、N的公共点的公共点. . 解答：解答：(1) )由已知由

14、已知f(x)x22axb，又又f(1)0，则则12ab0，即即b2a1. (2)f(x)x22ax2a1(x2a1)(x1) 若若(2a1)1即即a1，f(x)(x1)20，则则f(x)的递增区间的递增区间为为(，)；若若(2a1)1， 则则f(x)的递增区间为的递增区间为(，12a)，(1，)，递减区间为递减区间为(12a，1)；若若(2a1)1，即即a0，g(2)0知知g(x)在在(0,2)上存在零点，即线段上存在零点，即线段MN与曲线与曲线f(x)存在异于存在异于M、N的公共点的公共点 1. 导数的应用是高考考查的重点和热点，更多的与曲线的切线，函数的性质、导数的应用是高考考查的重点和热点，更多的与曲线的切线，函数的性质、 不等式、数列等内容进行综合考查，以解答题的形式出现，充分体现数形结不等式、数列等内容进行综合考查，以解答题的形式出现，充分体现数形结 合，分类讨论等重要的数学思想