等差数列前n项和性质公开课

1、2021/8/612021/8/62等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式: :2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （形式形式1:1:形式形式2:2:复习回顾复习回顾2021/8/63. .将等差数列前将等差数列前n n项和公式项和公式 看作是一个关于看作是一个关于n n的函数，这个函数的函数，这个函数 有什么特点？有什么特点？2) 1(1dnnnaSn当当d00时时,S,Sn n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数21()22nddSnan 则则 Sn=An2+Bn令令1,22ddABa 2021/8/64 例例.若一个等差数列前若一个等差数列前3项和为项和为34，

2、最后三项，最后三项和为和为146，且所有项的和为，且所有项的和为390，则这个数，则这个数列共有列共有_项。项。2021/8/65等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差数列也在等差数列,公差为公差为在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有性质性质2:(1)若项数为偶数若项数为偶数2n,则则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中为中间两项间两项),此时有此时有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶n2dnd1nnaa 2021/8/66性质性质2:(2)若项数为奇数若项数为奇

3、数2n1,则则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项为中间项), 此时有此时有:S奇奇S偶偶= ,SS 奇奇偶偶两等差数列前两等差数列前n项和与通项的关系项和与通项的关系性质性质4:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则nnab 性质性质3: 为等差数列为等差数列.nSnan1nn 2121nnST 2021/8/67等差数列的性质应用：等差数列的性质应用： 例例1、已知一个等差数列前已知一个等差数列前n项和为项和为25， 前前2n项的和为项的和为100，求前，求前3n项和。项和。2021/8/68例例2.设等差数列设等差

4、数列an的前的前n项和为项和为Sn,若若S3=9,S6=36,则则a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27例例3.在等差数列在等差数列an中中,已知公差已知公差d=1/2,且且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.145 C.110 D.90BA3.等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用2021/8/69等差数列的性质应用：等差数列的性质应用： 例例4、已知等差数列已知等差数列 的前的前10项之和项之和 为为140，其中奇数项之和为，其中奇数项之和为125 ， 求第求第6项。项。 na2021/8/610解：由

5、已知解：由已知1210140aaa13579125aaaaa则则24681015aaaaa6515a63a 故故2021/8/6111732225662256)(63542111212111daddada5 d 解一解一：设首项为：设首项为a1,公差为公差为d,则则 例例. 一个等差数列的前一个等差数列的前12项之和为项之和为354，前前12项中偶数项与奇数项之比为项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。求公差。2021/8/612 由 2732354奇偶偶奇SSSS6SSd偶奇5d162192奇偶SS解二：解二：例例5. 一个等差数列的前一个等差数列的前12项之和为项之和为354，前前1

6、2项中偶数项与奇数项之比为项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。求公差。 2021/8/613等差数列的性质应用：等差数列的性质应用： 例、例、已知一个等差数列的总项数为奇数，已知一个等差数列的总项数为奇数， 且奇数项之和为且奇数项之和为77，偶数项之和为，偶数项之和为 66，求中间项及总项数。，求中间项及总项数。2021/8/614解：由解：由 中间项中间项SS奇偶得中间项为得中间项为11又由又由143SS奇偶得得13n 2021/8/615例例6.两等差数列两等差数列an 、bn的前的前n项和分项和分别是别是Sn和和Tn,且且71427nnSnTn 求求 和和 . 55abnnab5

7、56463ab 146823nnanbn 等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用2021/8/616例例6.(09宁夏宁夏)等差数列等差数列an的前的前n项的和项的和为为Sn,已知已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则则m= .例例7.设数列设数列an的通项公式为的通项公式为an=2n-7,则则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .10153等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用2021/8/617例例8.设等差数列的前设等差数列的前n项和为项和为Sn,已知已知a3=12,S120,S13013a1+136d02437d 等差数

8、列等差数列an前前n项和的性质项和的性质2021/8/618(2) 11(1)2nSnan nd1(122 )(1)2ndn nd25(12)22ddnnSn图象的对称轴为图象的对称轴为5122nd由由(1)知知2437d 由上得由上得51213622d1362n即即由于由于n为正整数为正整数,所以当所以当n=6时时Sn有最大值有最大值.Sn有最大值有最大值.2021/8/619等差数列的性质应用：等差数列的性质应用： na例例9：已知等差数列已知等差数列 中，中， 求求 的值。的值。 qppSqSqp ,qpS2021/8/620解法解法1：dadqqqapdpppaq1112121dqpq

9、paqpSqp211代入下式得：代入下式得：qp 2021/8/621pqqpBqpApBqAqqBpAp22221BqpA2A pqB pqpq解法解法2：设：设*2NnBnAnSnp qSpq 2021/8/622解法解法3：由已知：由已知11(1)2(1)2pqp pSpadqq qSqadp1()(1)()2pqpqpq adqp两式相减得两式相减得pq1112pqad 1()(1)()()2p qpqpqSpq adpq 2021/8/623212nSnn 例例7 7.已知数列已知数列 前前n项和项和 ，（1）求证：）求证： 为等差数列；为等差数列；（）记数列（）记数列 的前项和为的

10、前项和为 ， 求求 的表达式的表达式.nananTnTna2021/8/624例例8. 已知正整数数列已知正整数数列 中中,前前n项和项和 满足满足 na,)3(1212nnaSnS na求证求证: 为等差数列为等差数列.2021/8/625例例9.已知数列已知数列 的首项的首项a,其前其前n项和项和sn和和an之间的关系满之间的关系满 an)2(1222nSSnnnS1(1) 求证求证 : 为等差数列；为等差数列；(2) 求求 an的通项公式的通项公式. na2021/8/626练习：已知在等差数列练习：已知在等差数列 an n 中中, ,a10=23, ,a25=-22 , ,Sn为其前为

11、其前n项和项和. .（1 1）问该数列从第几项开始为负？）问该数列从第几项开始为负？（2 2）求）求S10（3 3）求使）求使 Sn0的最小的正整数的最小的正整数n. . (4) (4) 求求| |a1 1|+|+|a2 2|+|+|a3 3|+|+|+|a2020| |的值的值2021/8/6271.1.根据等差数列前根据等差数列前n n项和，求通项公式项和，求通项公式. .1112nnnanaSSn 2 2、结合二次函数图象和性质求、结合二次函数图象和性质求 的最值的最值. .ndandSn)2(2122021/8/6283.等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差数列也在等差数列,公差为公差为在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有性质性质2:若若Sm=p,Sp=m(mp),则则Sm+p=性质性质3:若若Sm=Sp (mp),则则 Sp+m=性质性质4:(1)若项数为偶数若项数为偶数2n,则则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中为中间两项间两项),此时有此时有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶n2d0nd1nnaa (m+p)2021/8/629性质性质4:(1)若项数为奇数若项数为