控制工程根轨迹法详解教程

1、第四章第四章 根轨迹法根轨迹法本章主要介绍：根轨迹概念、根轨迹绘制和根轨迹应用。本章主要介绍：根轨迹概念、根轨迹绘制和根轨迹应用。4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4-1-1根轨迹概念根轨迹概念开环传递函数中的某一参数从零变化到无穷时，开环传递函数中的某一参数从零变化到无穷时，闭环系统特征方程的根在闭环系统特征方程的根在S平面上变化的轨迹。平面上变化的轨迹。研究下述系统：研究下述系统：) 15 . 0(ssK)(sR)(sC0)(1sG系统特征方程：系统特征方程：0) 15 . 0(1ssK0222Kss特征根为：特征根为：Ks2111Ks21120j0K0K215 . 0K1K1K

2、5 . 2K5 . 2K1122根轨迹根轨迹0j0K0K215 . 0K1K1K5 . 2K5 . 2K11224-1-2 根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能1）稳定性）稳定性因当因当K从从0变化到无穷时，闭环根均在变化到无穷时，闭环根均在S左左半平面，所以系统稳定。半平面，所以系统稳定。2）动态性能）动态性能当当0K0.5后，闭环根为复根，系统为欠阻尼。后，闭环根为复根，系统为欠阻尼。3）静态性能）静态性能在原点有一开环极点，说明系统为在原点有一开环极点，说明系统为1型。型。K为静态速度误差系数。在为静态速度误差系数。在./1vssKe单位斜坡信号作用下的稳态误差为：单位斜坡信号作用下的稳态误

3、差为：通过上述系统分析，可见根轨迹图与系统性能有着密切的联系。通过上述系统分析，可见根轨迹图与系统性能有着密切的联系。4-1-3 根轨迹方程根轨迹方程1、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系)(sG)(sR)(sC)(sH考虑单位反馈系统，即：考虑单位反馈系统，即：闭环传递函数：闭环传递函数：)(1)()(sGsGs)()(0sGsKsGv1)(sHnjjmiisTssG110) 1() 1()(vnjmiijvmiisKsTssKs111) 1() 1() 1()(式中：式中：则：则：分析闭环和开环零、极点的关系：分析闭环和开环零、极点的关系：1）闭环极

4、点由）闭环极点由0) 1() 1()(111vnjmiijvsKsTssG确定。确定。2）闭环零点）闭环零点=开环零点。开环零点。3）闭环增益）闭环增益=开环增益。开环增益。对单位反馈系统，上述三个特点为确定闭环传递函数提供了基础。非对单位反馈系统，上述三个特点为确定闭环传递函数提供了基础。非根轨迹法根轨迹法单位反馈不具有上述特点。单位反馈不具有上述特点。2、根轨迹方程、根轨迹方程0) 1() 1()()(111vnjmiijvsKsTssHsG由闭环特征方程：由闭环特征方程：得：得：1)()() 1() 1(11*11njjmiinjjvmiipszsKsTSsKK根轨迹方程根轨迹方程*K开

5、环增益开环增益根轨迹增益根轨迹增益njjmiiTKK11*模值方程：模值方程：相角方程：相角方程：)12(11kje) 12()()(11kpszsminjji111*njjmiipszsK根轨迹必须满足这两个方程。根轨迹必须满足这两个方程。,.2, 1, 0k举例：设单位反馈系统开环传递函数为：举例：设单位反馈系统开环传递函数为：) 12() 15 . 0()(sssKsG写出根轨迹方程。写出根轨迹方程。解：解：)5 . 0()2(25. 0) 12() 15 . 0()(sssKsssKsG因：因：相角方程：相角方程：) 12()5 . 0()2(ksssKK25. 0*15 . 02*s

6、ssK模值方程：模值方程：设：设：js) 12()5 . 0()()2(kjjj) 12(5 . 02karctgarctgarctg代入方程代入方程1)5 . 0()2(222222*K211js验证验证：是否为特征根。是否为特征根。4-2 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的一般方法根轨迹法是一种图解方法，它从开环系统出发找到闭环根的轨迹，根轨迹法是一种图解方法，它从开环系统出发找到闭环根的轨迹，基于闭环根的分布可以估算系统的性能，即一种工程图解法。基于闭环根的分布可以估算系统的性能，即一种工程图解法。1、常规根轨迹（以增益、常规根轨迹（以增益K为参变量）为参变量）法则法则1：根轨迹起于开环极

7、点，终于开环零点。：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。0j0K0K21KK) 15 . 0()(ssKsG如前例开环传递函数：如前例开环传递函数：起点起点终点终点终点终点开环零点：有限零点和无限零点。等于开环开环零点：有限零点和无限零点。等于开环极点数。极点数。法则法则2：根轨迹分支数等于开环极点数：根轨迹分支数等于开环极点数n ，根，根轨迹是连续的并对称于实轴。轨迹是连续的并对称于实轴。法则法则3：实轴上的根轨迹。：实轴上的根轨迹。在实轴某区域，若其右侧开环零、极点在实轴某区域，若其右侧开环零、极点个数和为奇数，则该区域为根轨迹。个数和为奇数，则该区域为根轨迹。法则法则4：根轨迹的渐近线。当

8、：根轨迹的渐近线。当nm时，有时，有n-m条渐进线。根轨迹沿条渐进线。根轨迹沿渐进线趋向无限零点。渐进线与实轴的交点和交角如下。渐进线趋向无限零点。渐进线与实轴的交点和交角如下。渐进线的交点：渐进线的交点：mnzpmjjniia11渐进线的交角：渐进线的交角：mnka) 12(0j0K0K21KK2/, 1aa法则法则5：根轨迹的分离点。两条以上根轨迹：根轨迹的分离点。两条以上根轨迹在在S平面相遇又分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点平面相遇又分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点d可可求下述方程的解：求下述方程的解：mjjniizdpd1111分离点分离点d如图分离点计算：如图分离点计算：02

9、11dd01d分离角：根轨迹进入分离点的切线与离开分离点切线之间的夹交。分离角：根轨迹进入分离点的切线与离开分离点切线之间的夹交。由：由：lkj/) 12(确定。确定。分离角分离角例例4-1、已知单位反馈系统的开环传递函数为：、已知单位反馈系统的开环传递函数为：)3)(2()(sssKsG，试绘制系统根轨迹。，试绘制系统根轨迹。解：解：应用上述的根轨迹绘制法则：应用上述的根轨迹绘制法则：1）开环零、极点）开环零、极点2）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹3）渐进线）渐进线3/50332a3/, 3/03) 12(ka4）分离点）分离点031211ddd061032dd79. 01d55. 22d（

10、不在根轨迹上，不是）（不在根轨迹上，不是）0j0K0K23KK79. 0d0KK法则法则6：根轨迹的起始角和终止角。：根轨迹的起始角和终止角。0j起始角起始角0j终止角终止角nijjppmjzpijipjik, 11) 12(起始角：起始角：终止角：终止角：njzpmijjzzzijijik1, 1) 12(上述计算公式看似复杂，但很容易由相角方程获得。上述计算公式看似复杂，但很容易由相角方程获得。法则法则7：根轨迹与虚轴的交点（根轨迹穿过虚轴）。：根轨迹与虚轴的交点（根轨迹穿过虚轴）。求法：求法：1）劳斯判据（全零行），求得：）劳斯判据（全零行），求得：2）在闭环特征方程中，令：）在闭环特征

11、方程中，令：js ，然后由实部，然后由实部和虚部为和虚部为0，求得：，求得：.,jjK.,jjK)3)(2()(sssKsG0j0K0K23KK79. 0d0KK例例4-1中：中：虚轴交点虚轴交点06523Ksss特征方程：特征方程：3s2s1s0s165K5/ )30(KK030 K052 Ks,30jK6jsj6j也可以令也可以令js 代入特征方程，得：代入特征方程，得：06)(5)(23Kjjj0)6(522jK6j30jK例例4-2、已知单位反馈系统开环传递函数为：、已知单位反馈系统开环传递函数为：)3)(1() 1()(ssssKsG要求：要求： 1、绘制闭环根轨迹（确定分离点、与虚

12、轴的交点）；、绘制闭环根轨迹（确定分离点、与虚轴的交点）；2、判定系统的稳定的、判定系统的稳定的K值范围；值范围；3、确定系统临界稳定时的闭环传递函数。、确定系统临界稳定时的闭环传递函数。0j1345. 0d1虚轴交点虚轴交点解：解：1、根轨迹、根轨迹1）开环零、极点图）开环零、极点图2）实轴上根轨迹）实轴上根轨迹(-3,-1),(0,1)区间区间3）渐进线）渐进线5 . 0) 13/()1(13(a2/, 2/2/) 12(ka4）分离点）分离点1131111dddd试探得：试探得：45. 0d5）虚轴交点）虚轴交点0)3(223KsKss由劳斯判据：由劳斯判据：3, 6jjK2、系统稳定、

13、系统稳定K值：值：6K3、32, 1js因因可得：可得：23s)3)(2/() 1(6)(2ssssj课堂练习：教材课堂练习：教材P.116的的4-3。0j2585. 0d1）0j5 . 0171. 1d29. 01d2）0j2391. 0d53）2、参数根轨迹（除、参数根轨迹（除K外的其它参数）外的其它参数）参数根轨迹即开环传递函数中除参数根轨迹即开环传递函数中除K外的其它参数变化的根轨迹。外的其它参数变化的根轨迹。)(sG)(sR)(sC)(sH0) 1() 1()()(111vnjmiijvsKsTssHsG考察系统：考察系统： 开环传递函数为开环传递函数为闭环特征方程：闭环特征方程：n

14、jjmiivsTssKsHsG11) 1() 1()()(1）以）以K为参数绘制的闭环根轨迹称为常规根轨迹；为参数绘制的闭环根轨迹称为常规根轨迹；2）以）以K以外参数以外参数jiT,绘制的根轨迹称为参数根轨迹。绘制的根轨迹称为参数根轨迹。1、等效开环传递函数、等效开环传递函数以例说明：以例说明：设单位反馈系统开环传递函数：设单位反馈系统开环传递函数：) 1()1 ()(sssKKsGt试绘制：试绘制：1）5 .0tKK为参数为参数2）10KtK为参数为参数时的根轨迹。时的根轨迹。) 1()5 . 01 ()(sssKsG解：解：1） 开环传递函数为开环传递函数为根轨迹如图所示。根轨迹如图所示。

15、2） 闭环特征方程为：闭环特征方程为：0) 1()1 (101)(1sssKsGt010102sKsst0101012sssKt1010)(2sssKsGte等效开环传递函数：等效开环传递函数：0j12K0j5 . 012. 312. 3ttKK10*ttKK10*根轨迹如图所示。根轨迹如图所示。在系统同一特征方程下，根据需要，由除在系统同一特征方程下，根据需要，由除K以外以外的参数置于的参数置于K位置导出的传递函数称为等效开环传递函数。位置导出的传递函数称为等效开环传递函数。根轨迹绘制小结：根轨迹绘制小结：1、根轨迹、根轨迹闭环根随开环传递函数中某参数变化在闭环根随开环传递函数中某参数变化在

16、S平面上平面上变化的轨迹。根轨迹上的点满足根轨迹方程。变化的轨迹。根轨迹上的点满足根轨迹方程。2、常规根轨迹和参数根轨迹、常规根轨迹和参数根轨迹常规根轨迹常规根轨迹开环增益开环增益K变化时的根轨迹变化时的根轨迹参数根轨迹参数根轨迹非非K外的其他参数变化时的根轨迹外的其他参数变化时的根轨迹常规根轨迹和参数根轨迹的绘制法则是相同的。常规根轨迹和参数根轨迹的绘制法则是相同的。课堂练习：教材课堂练习：教材P117，4-5，4-6。023223KKssss4-5：1）ssssKsG32)2()(234-6：)(4(20)(bsssG0)(1sG020442bsbss1）204)4()(2sssbsGe4

17、-3 根轨迹法的系统设计根轨迹法的系统设计4-3-1根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能1、根轨迹图的信息、根轨迹图的信息0j2585. 0d如右图单位反馈系统例所示：如右图单位反馈系统例所示：1）稳定性）稳定性70 K2）闭环极点：）闭环极点：41. 00 K负实根负实根相等实根相等实根41. 0K共轭复根共轭复根741. 0 K3）系统类型和稳态误差）系统类型和稳态误差1v单位斜坡输入时的稳态误差：单位斜坡输入时的稳态误差：vssKe/12、时域描述、时域描述1）41. 00 K; 141. 0K; 1741. 0 K. 12）核算！核算！K计算！计算！例例4-3、) 1(10ss)(sR)(

18、sCsKt已知系统入图所示，已知系统入图所示，用根轨迹法讨论用根轨迹法讨论tK对对系统性能的影响，并确定系统性能的影响，并确定系统为临界阻尼时的系统为临界阻尼时的tK值。值。解：解： 1、绘制以、绘制以tK变化时的闭环根轨迹变化时的闭环根轨迹0j5 . 012. 312. 3*tK系统特征方程：系统特征方程：010102sKsst1010)(2sssKsGtetK2、讨论、讨论1）不影响系统稳定性；不影响系统稳定性；12. 3d54. 0tK2）54. 00tK154. 0tK154. 0tK1临界阻尼临界阻尼4-3-2 根轨迹设计的主导极点法根轨迹设计的主导极点法利用闭环根轨迹选取闭环主导极

19、点，估计系统性能，称为主导极点法。利用闭环根轨迹选取闭环主导极点，估计系统性能，称为主导极点法。例例4-4、某系统如下图所示。、某系统如下图所示。o2 . 0, 1 . 021) 1)(1(121sss)(sR)(sCK设：设：问题：问题：1、试绘制根轨迹；、试绘制根轨迹；2、确定一对主导极点；、确定一对主导极点；3、估算单位斜坡信号下的稳态误差。、估算单位斜坡信号下的稳态误差。根轨迹课堂练习：根轨迹课堂练习：题题1、已知单位反馈系统，其开环传递函数为：、已知单位反馈系统，其开环传递函数为：) 1() 1()(sssKsG1、绘制、绘制K从零到无穷的闭环根轨迹；从零到无穷的闭环根轨迹；2、判定系统稳定的、判定系统稳定的K值范围。值范围。.,jjK题题2、已知单位反馈系统，其开环传递函数为：、已知单位反馈系统，