（整理版）历数学高考题中的翻折问题（二）

1、历年数学高考题中的翻折问题二江苏19本小题总分值14分，第一小问总分值4分，第二小问总分值5分，第三小问总分值5分在正三角形abc中，e、f、p分别是ab、ac、bc边上的点，满足ae:ebcf:facp:pb1:2如图1。将aef沿ef折起到的位置，使二面角a1efb成直二面角，连结a1b、a1p如图2求证：a1e平面bep；求直线a1e与平面a1bp所成角的大小；求二面角ba1pf的大小用反三角函数表示图1图219本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等根底知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力。解法一：不妨设正三角形abc

2、的边长为3在图1中，取be中点d，连结df. ae：eb=cf：fa=1：2af=ad=2而a=600 , adf是正三角形，又ae=de=1, efad在图2中，a1eef, beef, a1eb为二面角a1efb的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，a1ebe,又a1e平面bef,即 a1e平面bep在图2中，a1e不垂直a1b, a1e是平面a1bp的垂线，又a1e平面bep，a1ebe.从而bp垂直于a1e在平面a1bp内的射影三垂线定理的逆定理设a1e在平面a1bp内的射影为a1q,且a1q交bp于点q,那么e1aq就是a1e与平面a1bp所成的角,且bpa1q.在ebp中, b

3、e=ep=2而ebp=600 , ebp是等边三角形.又 a1e平面bep , a1b=a1p, q为bp的中点,且,又 a1e=1,在rta1eq中，,ea1q=60o, 直线a1e与平面a1bp所成的角为600在图3中，过f作fm a1p与m，连结qm,qf,cp=cf=1, c=600,fcp是正三角形，pf=1.有pf=pq,a1e平面bep, a1e=a1q, a1fpa1qp从而a1pf=a1pq, 由及mp为公共边知fmpqmp, qmp=fmp=90o,且mf=mq,从而fmq为二面角ba1pf的平面角. 在rta1qp中,a1q=a1f=2,pq=1,又. mqa1p在fcq

4、中,fc=1,qc=2, c=600,由余弦定理得在fmq中，二面角ba1pf的大小为安徽文10把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，折成直二面角后，在四点所在的球面上，与两点之间的球面距离为广东理科19本小题总分值14分如图6所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积图6pedfbca1求的表达式；2当为何值时，取得最大值？3当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值1由折起的过程可知，pe平面abc，v(x)=2，所以时， ，v(x)单调递增；时 ，v(x)单调递减；因此x=6时，v(x)取得最大值；3过f作mf/ac交ad与m

5、,那么，pm=，在pfm中， ，异面直线ac与pf所成角的余弦值为；湖南18高考湖南卷如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，并连结，使得平面平面，且连结，如图3aebcfdg18解：解法一：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面ii过点作于点，连结由i的结论可知，平面，所以是和平面所成的角因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，故因为，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形由题设，那么所以，因为平面，所以平面，从而故，又，由得故即直线与平面所成的角是解法二：i因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，从而又，所以平面因为平面，所以平面平面ii由i可知，平面故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，由题设，那么，相关各点的坐标