[排中律,适用范围,命题]浅析限制排中律适用范围的命题演算

1、浅析限制排中律适用范围的命题演算在经典命题演算中，不矛盾律和排中律都普遍有效。直觉主义断然否定排中律的普遍有 效性，在直觉主义命题演算中，不矛盾律普遍有效，排中律无效。直觉主义的创始人布劳维 (L. E. J. Brouwer)认为：排中律是从有限事物中概括出来的，任何一个涉及有限事物全体的命 题，总是可以通过对这些事物逐一地加以验证，来判明该命题的真伪，这时排中律是有效的。 但是如果忘记了排中律的有限来源，把排中律视为先于和高于数学的某种普遍适用的法则， 并将它运用于无限的场合，就会犯错误。这是因为对于无限的事物，往往不可能(哪怕是原则 上)对它们一一加以鉴别。1 49然而，经典命题演算认排

2、中律为普遍有效式，这固然与直 观相违;直觉主义命题演算认排中律为无效式，亦与直观不尽相符。从直观上看，正如布劳维 所认为的那样，排中律对且只对有限事物有效;但无论是经典命题演算，还是直觉主义命题演 算，都没有框定排中律的适用范围。鉴于此，本文拟对经典命题演算做适当改动，构造一个 限制排中律适用范围的命题演算系统PC5。命题演算系统PC5及其可靠性、完全性(一)PC5的语法和语义初始符号：甲、pl, p2, p3, pm, m为自然数；乙、,丙、(，)。在陈述形成规则以前，我们先引进一些语法语言的符号并作如下说明：(1)Q、R、S代表任一甲类符号。(2)X、Y、Z代表任一符号序列。(3)A、B、

3、C、D、E代表任一合式公式。(4)语法符号卜写在任一公式之前，它表示紧接在后面的公式是本系统所要肯定的。形成规则：(1)若X是甲类符号，则X、- X是合式公式。(2)若X是合式公式，则X、1 X是合式公式。(3)若X和Y都是合式公式，贝hXY)是合式公式。(4)只有适合以上三条的符号序列是合式公式。定义：(甲)(AB)定义为J AB)o(乙)(AB)定义为 1 (n A-i B) o(丙)(AB)定义为(AB) (BA) ,括号省略规则：(甲)最外而的一对括号可以省略。(乙)真值联结词的结合力依下列次序而递增：，-1 O公理：公理1： Faa；公理2：卜AB;公理3： Fab公理 4： F(B

4、C)BC)；公理5：卜I-A公理 6： | ( rQ- Q)。变形规则：(1)分离规则，从卜A和卜1 AB可得卜(2)定义置换规则，定义的左右两方可相互替换。设原公式为A,替换后所得公式为B, 则从卜A可得FBo公式的级的递归定义：(1)若X是甲类符号，则厂X和-I X均为原子公式，原子公式是1级公式。(2)若X是m级公式，则厂X和1X均为m+1级公式。(3)若X是m级公式，Y是n级公式，且mn,则XY、YX、XY、YX、XY、YX、XY、YX均为m级公式。对引入0级命题变项和肯定词符号的一点说明如前文所述，0级命题变项代表任意的0级命题。0级命题就是不包含肯定词或否定词 的命题。这里有一点需

5、要说明，逻辑学界有一种普遍流行的观点，这种观点认为任何命题都 肯定了自身。按照这种观点，人们必须承认：第一，任何命题都隐含着肯定词;第二，一个命 题与肯定该命题而形成的命题是等值的。这样一来，也就不存在。级命题了。笔者认为，上述普遍流行的观点颇值得商榷。首先，没有任何理由可以证明任何命题都 肯定了自身。其次，有些命题很难说肯定了自身。例如，命题甲圆周率的小数表达式3. 1415926中有 七个连续出现的5就很难说肯定了自身。是一个无理数，即无限的不循环的小数。到目前为 I匕 我们还没有发现（或证明）的小数展开式中有七个连续出现的5,因而不能肯定命题甲； 我们也无法论证一定没有这样一个特性，因而也不能否定命题甲1 4950。如果命题甲肯 定了自身，那么只要提出命题甲，就提出了对命题甲的肯定。这与命题甲虽已提出来但到目 前为止还未被肯定这一事实显然不符。再次，一个命题与肯定该命题而形成的命题是等值的 只是逻辑学的一个公设，基于这一公设，肯定词在任何情况下都可以随意消除，人们在构造 命题演算系统时根本无需引入肯定词，这就造成了在现代逻辑中对肯定词和否定词的研窕极 为不平衡的奇特现象：人们建立了多种多样的命题演算系统来刻画否定词的逻辑意义，区分 了不同种类的否定（如经典否定、直觉主义否定、弗协调否定等）3 476477;但人