《常微分方程》word版

1、.第4章 常微分方程【学习目标】常微分方程部分介绍的是在电子信息类领域常见的一种数学模型-微分方程的基本概念和解析解法，实际上微分方程的概念和解法还有很多，而且现有理论还远不能满足需要，需进一步发展和完善. 但通过本章学习掌握一定的微分方程建模知识和求解方法，可以巩固前面所学习的微积分知识，也可为后续课程的学习打下一定基础.【基本要求】要求通过学习，了解微分方程及其解的基本概念，掌握可分离变量微分方程的分离变量解法，熟练掌握一阶线性微分方程的常数变易解法和二阶常系数齐次线性微分方程的特征根解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数解法，了解微分方程的简单应用. 4. 1 常微分方程的基本

2、概念 可分离变量的微分方程 函数是反映客观事物中变量之间的一种对应关系建立函数关系，对我们认识世界的客观规律性具有非常重要的意义但在许多实际问题中函数关系往往不能直接建立，而只能得到含有未知函数的导数或微分的关系式，这就是微分方程 4.1.1 微分方程的基本概念 引例1 一曲线通过已知点，且在该曲线的任意一点处的切线斜率为，求该曲线的方程. 解: 设所求曲线的方程为,根据导数的几何意义与题设条件,可知函数应满足以下关系式: (4.1) 此外, 还满足条件 (4.2) 对(4.1)式两边积分,得 即 (4.3)其中为任意常数.把条件(4.2)代入(4.3)式, 得 由此解得 ，即得所求的曲线方程

3、为 (4.4) 引例2 一物体从高度为s处以初速度v垂直上抛，设此物体的运动只受重力的影响，试求该物体的运动路程与时间的函数关系. 解：设所求的函数关系为,根据题意及二阶导数的力学意义，可知应满足以下关系式 （4.5）此外，s=s(t)还满足条件 (4.6) (4.7)对（4.5）式两边积分，得 （4.8）再积分一次，得 （4.9）其中、为任意常数. 将条件(4.6)代入式（4.9），得 = 将条件(4.7)代入式（4.8），得 = 即得所求的运动路程s与时间t的函数 关系为 （4.10）下面给出微分方程的基本概念定义4.1 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 未知函数为一元函数的微

4、分方程称为常微分方程，例如引例1的（4.1）式和引例2的（4.5）式都是常微分方程. 未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程. 本章只讨论常微分方程，为方便起见，下面所提到的常微分方程都简称微分方程（或方程）.定义4.2 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.例如引例1的方程（4.1）是一阶微分方程，引例2的方程（4.5）是二阶微分方程.又如微分方程 为三阶微分方程. 一般的n阶微分方程的形式为 定义4.3 如果把一个函数代入微分方程后，能使该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解.例如，引例1中函数（4.3）、（4.4）都是方程（4.1）的解，引例2中函数（

5、4.9）、（4.10）都是方程（4.5）的解.如果微分方程的解中含有任意常数，且它所含独立的（即不可合并而使其个数减少的）任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称它为微分方程的通解（或一般解）. 例如，引例1中（4.3）是方程（4.1）的通解，引例2中（4.9）是方程（4.5）的通解.如果使微分方程的通解中的任意常数都取确定的数值，这样得到的解称为微分方程的特解. 例如，引例1中（4.4）是方程（4.1）的特解，引例2中（4.10）是方程（4.5）的特解.要求出微分方程的特解，就必须对微分方程给出一定的附加条件. 这种用于确定微分方程通解中的任意常数的数值的附加条件称为微分方程的初始条件. 因

6、此，微分方程的特解也可以看成微分方程满足初始条件的解.例如，引例1中（4.2）是方程（4.1）的初始条件，引例2中（4.6）、（4.7）是方程（4.5）的初始条件.一般n阶微分方程的初始条件为 ，,.从几何上看，常微分方程的每个特解表示该方程的一条积分曲线，而常微分方程的通解则表示该方程的积分曲线族.求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题.例如， 一阶微分方程的初值问题可记为 （4.11）二阶微分方程的初值问题可记为 （4.12）例验证函数是微分方程的通解，并求出方程满足初始条件 ， 的特解. 解： 求 的导数，得将、的表达式代入方程的左端，得 （）- （）- 6（）= 0 即函数满足

7、原方程，因此它是原方程的解. 又有由于含有两个独立的任意常数，其个数与原微分方程的阶数相同，所以是原方程的通解.将条件代人，得 将条件代人，得由此解得 ，所以所求得特解为4.1.2 可分离变量的微分方程 定义4.4 形如 （4.13）的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程. 其中、分别为、的连续函数，且.这类方程的特点是，可以通过四则运算化为如下左端只含的函数乘，右端只含的函数乘的变量分离的形式 可分离变量的微分方程的解法称为分离变量法. 其步骤如下：（1）分离变量 将方程（4.13）写成变量分离的形式 （2）两边积分 得 求出积分，即得方程（4.13）的通解为 其中、分别为、的一个原函数.

8、 微分方程的通解也可以是隐函数形式（称为隐式通解）.例求微分方程 满足初始条件 的特解.解：原方程分离变量，得 两边积分，得 化简，得 即 ()即为原微分方程的通解.再将初始条件 代入上式，解得，故所求的特解为 在解微分方程的过程中，为使运算简便起见，积分可直接写成，而不必写成，因为去掉绝对值后，取，其结果相同.例3 由原子物理学知道，放射形元素镭（Re）的衰变速度与其当时未衰变的质量成正比，设镭的初始质量为， 又知镭的半衰期（即其质量减为初始质量的一半所需的时间）为1600年，求镭在衰变过程中的质量随时间的变化规律. 解：因为镭的衰变速度即为，由题意可得所满足的微分方程为 其中为正的比例系数

9、，称为衰变系数.此外，满足初始条件 及 对微分方程分离变量，得 两边积分 化简，得其通解为 将初始条件代入上式，得，即得 又由条件代入上式，故得镭的衰变规律为 由此可见镭的质量是随着时间的增加而按指数规律衰减的.如图1 4. 2 一阶线性微分方程 定义4.5 形如 （4.13）的微分方程称为一阶线性微分方程，其中和是的已知连续函数.一阶线性微分方程的特点是，方程中和都是一次的.当时，方程（4.13）变为 （4.14）方程（4.14）称为一阶线性齐次微分方程. 当0时,方程（4.13）称为一阶线性非齐次微分方程 例如，方程是一阶线性齐次微分方程，方程是一阶线性非齐次微分方程，而则不是一阶线性微分

10、方程.一阶线性齐次微分方程（4.1）可化为即得一个可分离变量的微分方程，分离变量，得再两边积分 化简，即得一阶线性齐次微分方程（4.14）得通解为 （4.15）其中为任意常数，为的一个原函数.对比一阶线性非齐次微分方程（4.13）与对应齐次微分方程（4.14）结构的异同点，可以设想非齐次方程（4.13）的通解应为如下形式 ，其中为的待定函数. 将其代入方程（4.13），求出，即可得非齐次方程（4.13）的通解，这种方法称为常数变易法.具体步骤如下：（1） 求出与非齐次方程（4.13）对应的齐次方程（4.14）的通解；（2） 将上式中的常数换成待定的函数，设非齐次方程（4.13）的通解为；（3）

11、 将代入方程（4.13），求出，即得方程（4.13）的通解.由对求导，得 将和代入方程（4.13），得 即 积分，得 将上式代入，即得方程（4.13）的通解 （4.16）（4.16）式即为一阶线性非齐次微分方程（4.13）的通解公式.将通解公式（4.16）展开，可得 由此可见，一阶线性非齐次微分方程（4.13）的通解由两部分组成，第一部分是在该方程的通解（4.16）中取所得的一个特解，第二部分则是对应齐次方程（4.14）的通解.于是有如下结论：定理4.1（一阶线性非齐次微分方程通解的结构定理）一阶线性非齐次微分方程（4.13）的通解等于该方程的一个特解与对应齐次方程（4.14）的通解之和.即

12、例 求方程 的通解. 解法1：常数变易法其对应齐次方程的通解为 设原方程的通解为 求导，得 将和代入原方程，得 即 积分，得 将上式代入，即得原方程的通解为 解法2: 公式法将 、代入通解公式（4.16），得 即为原方程的通解. 例求解初值问题 解：将 ，代入通解公式（4.16），得原方程的通解 将初始条件代入上式，得.所以原问题的解为 例求解微分方程 解：将原方程化为 ，可见该方程既不是一阶线性微分方程，也不是可分离变量的微分方程，无法用已学过的方法求解.若将原方程改写为 则它是一个以为自变量，为未知函数的一阶线性微分方程.以，代入通解公式，得原方程的通解 4. 3 二阶常系数线性微分方程定

13、义4.6 形如 （4.17）的微分方程称为二阶常系数线性微分方程，其中、为实常数，为的已知连续函数.当时，方程（4.17）为 （4.18）称为二阶常系数线性齐次微分方程. 当0时，方程（4.17）称为二阶常系数线性非齐次微分方程.例如，方程是二阶常系数线性齐次微分方程，而方程则是二阶常系数线性非齐次微分方程.4.3.1 二阶常系数线性微分方程的通解结构二阶常系数线性齐次微分方程（4.18）的解有以下性质定理4.2(二阶常系数线性齐次微分方程解的叠加定理) 若、是二阶常系数线性齐次微分方程（4.18）的两个解，则也是该方程的解，其中、为任意常数.证明 因为、都是方程（4.18）的解，故有 将代入

14、方程（4.18）的左端，有 所以是方程（4.18）的解.由定理4.2知，只要、是方程（4.18）的两个特解，则就是方程（4.18）的解，那它是否就是方程（4.18）的通解呢？如果有（为常数），则，即其中的任意常数可以合并成一个， 因而就不是方程（4.18）的通解. 因此只有当（为常数）时，其解中的两个任意常数才不能合并成一个常数，即为方程（4.18）的通解.对函数之间的这种关系，可定义如下：定义4.7 设、是定义于区间I上的两个函数，如果常数，则称与在区间I上是线性相关的，如果常数，则称与在区间I上是线性无关的.例如，与是线性相关的，与则是线性无关的，而与任何函数都是线性相关的.结合以上的分析

15、，于是有定理4.3（二阶常系数线性齐次微分方程的通解结构定理） 若、是二阶常系数线性齐次微分方程（4.18）的两个线性无关的特解，则为该方程的通解（其中、为任意常数）.例如，与是方程的两个解，由于常数，即与线性无关，所以就是方程的通解.类似于一阶线性非齐次微分方程的通解结构定理，对二阶常系数线性非齐次微分方程（4.17），有定理4.4（二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构定理） 若是二阶常系数线性非齐次微分方程（4.17）的一个特解，而是与（4.17）对应的齐次微分方程（4.18）的通解，则就是二阶常系数线性非齐次微分方程（4.17）的通解.证明 由于是方程（4.17）的解，故有 又因为是方

16、程（4.18）的通解，故有 将代入方程（4.18）左端，得 因此是方程（4.17）的解.又由于是齐次微分方程（4.18）的通解，含有两个独立的任意常数,从而也含有两个独立的任意常数,所以是非齐次微分方程（4.17）的通解.例如，二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解是，又由前面可知，对应齐次微分方程的通解是，所以该非齐次微分方程的通解为.4.3.2 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 由定理4.3可知,对二阶常系数线性齐次微分方程（4.18），只需求出它的两个线性无关的特解、，即可得到它的通解.方程（4.18）的特点是：未知函数与其一阶导数、二阶导数分别乘以常数后，可以合并为，即与、应为只差一个

17、常数因子的“同类项”.由导数知识知道，这类函数最简单的类型应为指数函数（为常数），因此可以设想方程（4.18）的特解为（为待定常数），而，将与、代入方程（4.18）得 因为，故有 （4.19）方程（4.19）称为微分方程（4.18）的特征方程，它的根称为特征根.下面针对特征根、的三种不同情形，分别求微分方程（4.18）的通解.(1)当时，特征方程（4.19）有两个不相等的实数根、，此时，方程（4.18）有两个特解，由于常数，即与线性无关，所以方程（4.18）的通解为 （4.20）例 求方程的通解 解：原方程的特征方程为 解之，得其特征根为两个不相等的实数根 ，所以，原方程的通解为 （2）当时，

18、特征方程（4.19）有两个相等的实数根（重根）=，此时，方程（4.18）有一个特解，还需求出它的另一个与线性无关的特解，由于常数，不妨设（其中为的待定函数），即有，求导得 将、代入方程（4.18），整理得由于，而是特征方程（4.19）的重根，所以 且 故有 积分两次，得 不妨取，得，从而得到方程（4.18）的另一个与线性无关的特解 所以，方程（4.18）的通解为 （4.）例 求解初值问题 解：原方程的特征方程为 解之，得其特征根为重根 所以原方程的通解为 将代入上式，得 又 将及代入上式，得所以原问题的特解为 （3）当时，特征方程（4.19）有一对共轭的虚数根，此时，方程（4.18）有两个特解

19、，.为了使用方便，还需求出两个线性无关的实数形式的特解，由欧拉公式，有 由解的叠加定理可知，实值函数 与 是方程（4.18）的两个特解，由于常数,即与线性无关，所以，方程（4.18）的通解为 （4.）例求方程 的通解.解：原方程的特征方程为 解之，得其特征根为共轭虚数根 ，所以原方程的通解为 这种求二阶常系数线性齐次微分方程通解的方法称为特征根法，具体步骤为：（1） 写出方程（4.18）对应的特征方程 ；（2） 求出特征根、；（3） 根据特征根、的不同情形，按照以下表4.1写出方程（4.18）的通解.表4.1 二阶常系数线性齐次微分方程的通解公式特征根、微分方程（4.18）的通解两个不等的实数

20、根 两个相等的实数根（重根）=一对共轭的虚数根 4.3.3 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法由定理4.4可知，对二阶常系数线性非齐次微分方程（4.17），只需求出它的一个特解和对应的齐次微分方程（4.18）的通解，即可得到它的通解. 而对应的齐次微分方程（4.18）的通解的求法，前面已经解决，因此只需讨论如何求非齐次微分方程（4.17）的一个特解.下面针对方程（4.17）右端的的三种不同情形，分别介绍求微分方程（4.17）的特解的方法.这种方法的特点是，可以根据方程的特征事先设出特解的形式，再将其代入方程，求出待定系数.所以又称为待定系数法. （其中，为常数，且），即为的次多项式.此时，微分

21、方程（4.17）为 （4.）由于多项式的导数仍然是多项式，且求一次导数，它的次数就降低一次，因此可以设想微分方程（4.20）的特解也是的一个次待定多项式，即.经对比分析,可得以下结论：当时，即可设 ；当时，即可设 ；当时，即可设 .（其中为的次待定多项式）例求方程 的一个特解.解：因为 是一个一次多项式，又在方程中，所以可设（其中为待定常数）求导，得 ， 将，代入原方程，整理得比较两边系数，得解之，得所以，原方程的一个特解为（其中为的次多项式，为常数）此时，微分方程（4.17）为 （4.）由于方程（4.21）右端为一个的多项式与指数函数的乘积，而此类函数的各阶导数仍然是此类函数，因此可以设想该

22、方程的特解也是此类函数,不妨设（其中是的一个次待定多项式）,求导后代入方程(4.),整理得 由类型的结论可知,当,即不是其对应齐次微分方程的特征根时,是一个次多项式，即；当而，即是对应齐次微分方程的特征根但非重根时是一个次多项式，即；当且，即是对应齐次微分方程的特征根且为重根时是一个次多项式，即.综上所述，方程(4.21)的特解可设为 （其中为的次待定多项式，为非负整数）当不是特征根时,；当是特征根但非重根时,；当是特征重根时,.例求方程 的通解.解：对应齐次微分方程的特征方程为 解之，得 所以，对应齐次微分方程的通解为 因为 且为特征重根，所以可设其特解为（其中为待定常数）求导，得 将代入原

23、方程，整理得比较系数，得 ， 所以，原方程的特解为 从而得到原方程的通解为 （其中均为常数）此时，微分方程（4.17）为 （4.）由于三角函数的各阶导数仍然是三角函数，可以证明（在此从略），方程(4.22)的特解可设为（其中为待定常数，为非负整数）当不是特征根时，； 当是特征根时， .例12 求方程的一个特解.解: 对应齐次微分方程的特征方程为 解之，得因为，而且是其对应齐次微分方程的特征根，所以可设原方程的特解为（其中为待定常数）求导，得 将代入原方程，整理得 比较系数，得 ，所以，原方程的特解为 例13 求方程的通解.解：对应齐次微分方程的特征方程为 解之，得 所以，对应齐次微分方程的通解

24、为 因为，而不是其对应齐次微分方程的特征根，所以可设原方程的特解为 （其中为待定常数）求导，得 将代入原方程，整理得 比较系数，得 解之，得 ，于是，原方程的特解为 所以，原方程的通解为 可以将二阶常系数线性非齐次微分方程（4.17）的特解的形式归纳成以下表4.2表4.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式的形式微分方程（4.17）特解的形式 当 时，当时，当 时，当不是特征根时, 当是特征根但非重根时,当是特征重根时, 当不是特征根时， 当是特征根时， 4.4 微分方程应用举例微分方程在科学技术和实际生活中都有着广泛的应用，用微分方程解决实际问题的一般步骤为：（1） 分析问题，设出未知函

25、数，建立微分方程，并确定初始条件；（2） 求出微分方程的通解；（3） 利用初始条件，求出微分方程的特解.再根据特解解决一些相关的问题. 下面通过一些具体例子介绍微分方程的实际应用问题的解法.例14（冷却问题）物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度之差成正比，已知空气温度为20，如果物体在20分钟内由100降至60，问要使物体温度降至30，需用多长时间？解：设物体在时刻的温度为，依题意，有 （其中比例系数）由方程（1）分离变量并积分， 得于是，得到其通解为 将条件（2）代入上式，得 ， 从而有 又将条件（3）代入上式，得 所以，有 上式即为该物体的温度 随时间的变化规律.当时，代入上式可得，所

26、以，要使物体温度降至30，需用60分钟时间.例15（流体混合问题）一容器盛盐水100（升），其中含盐50（克），现将浓度为2（克/升）的盐水以3（升/分钟）的速度注入容器内，假设流入的盐水与原有的盐水因搅拌而迅速成为均匀的混合物，同时此混合物有以2（升/分钟）的速度流出，试求60分钟后容器中盐的含量.解：设时刻容器内的含盐量为，依题意，此时容器内盐的流入速度为（克/分钟），容器内盐水的浓度应为 （克/升），而盐的流出速度则为（克/分钟）.由于容器内含盐量的变化速度应等于其流入速度与流出速度之差，从而有 方程（1）化为 代入一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得其通解 将初始条件（2）代入上式，得 ，所以，容器中含盐量与时间的函数关系为 当（分钟）时，代入上式，可得其含盐量为（克）.例16在如图4.2所示的电路中,电源电动势为，电阻为，电感为，在时刻时接通电路，求电流强度与时间的函数关系.（其中为常数）解：设时刻的电流强度为 ，由回路电压定律有 即 也即 代入一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得其通解 又由初始条件，代入上式，得，所以电流强度的变化规律为： 由图4.可见，随增加而增大，最后逐渐趋于稳定值. 图 例17 在如图4.所示的电路中,先将开