（整理版）全国高中数学联赛试题及详细解析3

1、1997年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题(每题6分，共36分)1数列xn满足xn+1=xnxn1(n2)，x1=a， x2=b， 记sn=x1+x2+l+xn，那么以下结论正确的选项是(a)x100=-a，s100=2b-a (b)x100=-b，s100=2b-a(c)x100=-b，s100=b-a (d)x100=-a，s100=b-a4在平面直角坐标系中，假设方程m(x2+y2+2y+1)=(x2y+3)2表示的曲线为椭圆，那么m的取值范围为 (a)(0，1) (b)(1，+) (c)(0，5) (d)(5，+)5设f(x)=x2x，a = arcsin，=arctan，=a

2、rcos()，d=arccot()，那么(a)f()>f()>f(d)>f() (b) f()> f(d)>f()>f() (c) f(d)>f()>f()>f() (d) f(d)>f()>f()>f() 6如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(a) 0条 (b) 1条 (c)多于1 的有限条 (d) 无穷多条二填空题(每题9分，共54分)1设x，y为实数，且满足那么x+y = .2过双曲线x2=1的右焦点作直线l交双曲线于a、b两点，假设实数使得|ab| =的直线l恰有3条，那么=

3、.3复数z满足=1，那么z的幅角主值范围是 4三棱锥s-abc的底面是以ab为斜边的等腰直角三角形，sa=sb=sc=2，ab=2，设s、a、b、c四点均在以o为球心的某个球面上，那么点o到平面abc的距离为 5设abcdef为正六边形，一只青蛙开始在顶点a处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一假设在5次之内跳到d点，那么停止跳动；假设5次之内不能到达d点，那么跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种6设a =logz+logx(yz)-1+1，b =logx-1+log(xyz+1)，c =logy+log(xyz)-1+1，记a，b，c中最大数为m，那么m的最小

4、值为 三、此题总分值20分设xyz，且x+y+z =，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值五、(此题总分值20分)设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足其中s为实数且|s|2求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上第二试(10月5日上午10:30-12:30)一、此题50分如图，两个半径不相等的o1与o2相交于m、n两点，且o1、o2分别与o内切于s、t两点。求证：ommn的充分必要条件是s、n、t三点共线。求最小的自然数k，使得只要表1中填入的数满足xi，j1i=1，2，100，那么当ik时，在表2中就能保证x¢i，j1成立。表1表

5、2x1,1x1,2x1,25x¢1,1x¢1,2x¢1,25x2,1x2,2x2,25x¢2,1x¢2,2x¢2,25x100,1x100,2x100,25x¢100,1x¢100,2x¢100,251997年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每题6分，共36分)1数列xn满足xn+1=xnxn1(n2)，x1=a， x2=b， 记sn=x1+x2+l+xn，那么以下结论正确的选项是(a)x100=-a，s100=2b-a (b)x100=-b，s100=2b-a(c)x100=-b，s100=b-a

6、 (d)x100=-a，s100=b-a【答案】a【解析】x1=a，x2=b，x3=ba，x4=a，x5=b，x6=ab，x7=a，x8=b，易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=a，又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故s100=2ba选a3设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，那么这样的数列共有(a)2个 (b)3个 (c)4个 (d)5个【答案】c4在平面直角坐标系中，假设方程m(x2+y2+2y+1)=(x2y+3)2表示的曲线为椭圆，那么m的取值范围为 (a)(0，1) (b)(1，+) (c)(0，5) (d)(5，+)【答案】d

7、【解析】看成是轨迹上点到(0，1)的距离与到直线x2y+3=0的距离的比：=<1Þm>5，选d5设f(x)=x2x，a = arcsin，=arctan，=arcos()，d=arccot()，那么 (a)f()>f()>f(d)>f() (b) f()> f(d)>f()>f() (c) f(i)>f()>f()>f() (d) f(d)>f()>f()>f() 【答案】b【解析】f(x)的对称轴为x=， 易得， 0<<<<<<<<<<&l

8、t;选b二填空题(每题9分，共54分)1设x，y为实数，且满足那么x+y = .【答案】2【解析】原方程组即取 f(t)=t3+1997t+1，f ¢(t)=3t2+1987>0故f(t)单调增，现x1=1y，x+y=23复数z满足=1，那么z的幅角主值范围是 4三棱锥s-abc的底面是以ab为斜边的等腰直角三角形，sa=sb=sc=2，ab=2，设s、a、b、c四点均在以o为球心的某个球面上，那么点o到平面abc的距离为 5设abcdef为正六边形，一只青蛙开始在顶点a处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一假设在5次之内跳到d点，那么停止跳动；假设5次之内不能到达d点，那么跳完

9、5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种【答案】26【解析】青蛙跳5次，只可能跳到b、d、f三点(染色可证)青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算1，写5个“1，在中填“+号或“号： 11111规那么可解释为：前三个中如果同号，那么停止填写；假设不同号，那么后2个中继续填写符号前三同号的方法有2种；前三个不同号的方法有232=6种，后两个中填号的方法有22种 共有2+6×4=26种方法6设a =logz+logx(yz)-1+1，b =logx-1+log(xyz+1)，c =logy+log(xyz)-1+1，记a，b，c中最大数为m，那么m的最小值为 【

10、答案】log2【解析】a=log(+z)，b=log(yz+)，c=log(+y) a+c=log(+yz+x)2log2于是a、c中必有一个log2即mlog2，于是m的最小值log2但取x=y=z=1，得a=b=c=log2即此时m=log2于是m的最小值log2 所求值=log2四、(此题总分值20分)设双曲线xy=1的两支为c1，c2(如图)，正三角形pqr的三顶点位于此双曲线上(1)求证：p、q、r不能都在双曲线的同一支上；(2)设p(-1，-1)在c2上， q、r在c1上，求顶点q、r的坐标【解析】设某个正三角形的三个顶点都在同一支上此三点的坐标为p(x1，)，q(x2，)，r(x

11、3，)不妨设0<x1<x2<x3，那么>>>0kpq=；kqr=；tanpqr=<0，从而pqr为钝角即pqr不可能是正三角形五、(此题总分值20分)设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足其中s为实数且|s|2求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上 q+r再令q=r(cos+isin)，(r>0)那么q+=(r+)cos+i(r)sinrÞsin=0或r=1 假设sin=0，那么q=±r为实数此时q+2或q+2此时q+，或q+此时，由|(q+)2|1，知q=1此时，|ai|=2 假设r=1

12、，仍有|ai|=2，故此五点在同一圆周上 假设1+q+q2+q3+q4=0那么q51=0， |q|=1此时|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|，即此五点在同一圆上综上可知，表示复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上第二试二此题50分试问：当且仅当实数x0，x1，xnn2满足什么条件时，存在实数y0，y1，yn使得z02=z12+z22+zn2成立，其中zk=xk+iyk，i为虚数，k=0，1，n。证明你的结论。【解析】解：z02=x02y02+2x0y0i=(x12+x22+xn2)(y12+y22+yn2)+2(x1y1+x2y2+xnyn)i x02

13、y02=(x12+x22+xn2)(y12+y22+yn2)；x0y0=x1y1+x2y2+xnyn假设x02> x12+x22+xn2，那么y02> y12+y22+yn2此时x02y02>( x12+x22+xn2)( y12+y22+yn2)(x1y1+x2y2+xnyn)2=(x0y0)2矛盾故必x02x12+x22+xn2反之，假设x02x12+x22+xn2成立此时，可分两种情况： 当x02=x12+x22+xn2成立时，取yi=xi(i=0，1，2，n)，于是z02=(x0+y0i)2=x02y02+2x0y0i=2x0y0i，而z12+z22+zn2=(x12+x22+xn2)(y12+y22+yn2)+2(x1y1+x2y2+xnyn)i=2(x1y1+x2y2+xnyn)i=2(x12+x22+xn2)i=2x02i=2x0y0i即z02=z12+z22+zn2成立三、此题50分在100×25的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第i行第j列中填入的数为xi , ji=1，2，100；j=1，2，25如表1。然后将表1每列中的数按由小到大的次序从上到下重新排列为x¢1 , jx¢2 , jx¢100 , jj=1，2，25