《不等式的证明》word版

1、.6.3不等式的证明一、素质教育目标1、知识教学点证明不等式的方法比较法证明不等式的方法综合法证明不等式的方法分析法2、能力训练点通过证明不等式的训练进一步培养逻辑推理论证能力，培养分析问题、解决问题的能力。二、学法指导证明不等式就是要证明所给不等式在给定条件下恒成立，由于不等式的形式多种多样，所以证明不等式的方法也就灵活多样，具体问题具体分析是证明不等式的精髓。证明的关键在于分析欲证的不等式的特点，选择适当的方法。比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对

2、值或根式，我们还可以考虑作平方差。综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。三、教学重点、难点 1、重点：证明不等式的常用方法证明不等式2、难点：证明不等式时方法的选取及均值不等式的应用和放缩尺度的掌握四、课时安排本课题安排5课时五、教与学过程设计第一课时证明不等式的方法比较法学习目标（1）理解用比较法证明不等式的理论依据，掌握比较法证明不等式的步骤（2）培养学生利用化归思想解决数学问题的能力教学过程1、复习回顾

3、比较两个实数大小的基本方法差值比较法依据：实数的运算性质与大小顺序之间的关系步骤：作差 变形 符号 结论用途：由学生板演a、比较两个实数的大小b、证明不等式的性质c、证明不等式和解不等式2、应用举例这是真分数的一个常见性质例1求证x2 + 3 > 3x例2例3已知a、b都是正数，且ab，求证：a3 + b3 > a2b + ab2证一：a3 + b3 （a2b + ab2）（a3 a2b） +（ b3 ab2）a2(ab) + b2(ba) = (a2b2)(ab) = (a + b)(ab)2a、b都是正数，a + b > 0又ab，(ab)2 >0 (a + b)(

4、ab)2 > 0即a3 + b3 （a2b + ab2）0a3 + b3 > a2b + ab2小结：当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法。变：已知a、b都是正数，且ab，求证：a5 + b5 > a3b2 + a3b3已知a > b > 0,求证：aabb > abba已知a > b > c > 0,求证：a2ab2bc2c > ab+cbc+aca+b证明：a5 + b5 （a3b2 + a2b3）（a5 a3b2） +（ b5 a2b

5、3）a3(a2b2) + b3(b2a2) = (a2b2)(a3b3) = (a + b)(ab)2(a2ab+b2) (a + b)(ab)2(ab)2 + aba、b都是正数，a + b > 0 ab > 0又ab，(ab)2 >0 (a + b)(ab)2(ab)2 + ab > 0即a5 + b5 （a3b2 + a2b3）0a5 + b5 > a3b2 + a3b3例4甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走，乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果mn，问甲、乙两人谁先到达指定地点？分析

6、：先建立甲、乙两人走完全程所用的时间t1、t2的表达式，再比较t1、t2的大小，已知行走速度，设出发点至指定地点的路程是S，即可求出t1、t2的关系式。解：设出发点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完全程所用的时间分别为t1、t2，依题意有其中S、m、n老都是正数，且mn，于是t1t20，即t1t2，从而甲比乙先到达指定地点。变：（1）若m = n结果如何？（2）对于同样的距离，船在静水中来回行驶一次的时间和在流水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水、静水中的速度一致）解：设船在静水中的速度为v,水流速度为v0（v > v0）船在静水、流水中来回一次的时间分别是t1、t2，距离为

7、st1t2即船在流水中来回一次所用的时间长。3、总结提炼数学思想：等价转化数学方法：比较法作差、作商 知识点：比较法：（1）依据：实数的运算性质与大小顺序之间的关系（2）步骤：作差法：作差变形判断差值与0的大小关系作商法：作商变形判断商值与1的大小关系（各项为正）4、作业：P16习题6.31、2思考题：在ABC中，记a、b、c分别为角A、B、C的对边，S是三角形的面积，求证：提示：教学后记：第二课时证明不等式的方法综合法学习目标（1）了解综合法的意义及综合法证明不等式的逻辑关系，能用综合法证明不等式（2）培养学生利用综合法进行推理论证的能力教学过程1、 设置情境证明不等式： a2 + b2 +

8、 c2 ab + bc + ca （学生练习师巡视不同证法投影展示）证一：a2 + b2 + c2 ( ab + bc + ca) = (a2 2ab + b2 )/2 + (b2 2bc + c2)/2+ (c2 2ca+ a2 )/2 = (ab)2/2 + (bc)2/2 + (ca)2/20a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 证二：a2 + b2 2ab，同理b2 + c2 2bc ，a2 + c2 2 ca2(a2 + b2 + c2 ) 2(ab + bc + ca)即a2 + b2 + c2 ab + bc + ca点评：证法一是比较法，证法二是从已成立的事实出发

9、，经过正确推理，得到要证的结论，这种利用某些已证明过的不等式作为基础，再根据不等式的性质推导出欲证的不等式的方法叫做综合法。2、探索研究综合法：利用某些已证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出欲证的不等式成立。这种证明方法叫做综合法逻辑关系是：已知（逐步推演不等式成立的必要条件）结论。其思路是“由因导果”即从“已知”，推出已知的“性质”，从而逐步向“未知”。3、 应用举例例1 已知a、b、c是均不相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(a2 + c2) + c(a2 + b2) > 6abc证明：b2 + c2 2bc 又a > 0 a(b2

10、+ c2) 2abc 同理b(a2 + c2) 2abc c(a2 + b2) 2abc 只要将不等式的左边适当变形即为例1的左边a、b、c是均不相等的正数 三式不能同时取“” a(b2 + c2) + b(a2 + c2) + c(a2 + b2) > 6abc变：（1）已知a、b、c是均不相等的正数，求证：a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) > 6abc （2）已知a、b、c是均不相等的正数，求证：bc(b + c) + ac(a + c) +ab(a + b) > 6abc（3）已知a、b、c都是正数，求证：2(a3 + b3 + c3)

11、 a(b2 + c2) + b(a2 + c2) + c(a2 + b2)证明：先证 a3 + b3 a2b + ab2 a3 + b3 (a2b + ab2)(a3a2b) + (b3ab2)a2(ab) + b2(ba)(a2b2)(ab)(a + b)(ab)2又a > 0, b > 0, 即a + b >0 , (ab)20 a3 + b3 (a2b + ab2)0，即a3 + b3 a2b + ab2(当且仅当ab时等号成立) 同理：b3 + c3 b2c + bc2(当且仅当bc时等号成立)c3 + a3 c2a + ca2(当且仅当ac时等号成立)2(a3 +

12、b3 + c3) a2b + ab2 + b2c + bc2 + c2a + ca2即2(a3 + b3 + c3) a(b2 + c2) + b(a2 + c2) + c(a2 + b2) 替换思想(当且仅当abc时等号成立)（4）已知a、b、c都是正数，求证：a3 + b3 + c3 3abc (当且仅当abc时等号成立)可当定理使用小结：算术平均数与几何平均数定理 我们经常利用它们来求函数的最值，但需要记牢定理的条件“一正二定三相等”。例2 已知a、b、c是互不相等的正数，且abc=1,求证：分析：或下同例1证明：另证：小结：用综合法证明问题时常要作适当的变形才有益于证题。例3 已知x、

13、y都是正数，且x + 2y = 1，求证：证明：变：已知a、b、c都是正数,且a + b + c = 1, 求证：分析：4、总结提炼数学思想：等价转化数学方法：综合法知识点：算术平均数与几何平均数定理5、作业：P16习题6.33（两种方法）、6思考题：已知a,b是正数，且a + b = 1，求证：(ax + by)(ay + bx)xy分析：a,b是正数，且a + b = 1(ax + by)(ay + bx) = a2xy + abx2 + aby2 + b2xy= (a2 + b2)xy+ ab(x2 + y2) = (12ab)xy+ ab(x2 + y2)= xy+ ab(x2 + y

14、22xy) = xy + ab(xy)2 xy教学后记： 第三课时证明不等式的方法分析法学习目标（1）了解分析法证明不等式的逻辑关系，学会用分析法证明不等式（2）提高学生分析问题、解决问题的能力教学过程1、 设置情境上节课我们学习了用综合法证明不等式，综合法是从已知条件入手去探明解题途径，概括地说“从已知、看已知、逐步推向未知”即“执因索果”。它的思路是：从已知或已证明过的不等式A出发，得到性质B1，由B1又得到B2，由Bn推出结论B。但是有许多不等式的证明题，已知条件很隐蔽，运用综合法来证有一定的困难，例如：2、探索研究（留一定的思考空间，让学生思考能否用比较法或综合法来证明）师生共同分析，

15、师板书要证只要证：即证3722052125因为215成立，所以点评：（1）证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。如果能肯定这些充分条件都已具备，那么就可以判定原不等式成立。这种证明不等式的方法叫做分析法。（2）分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止。即：从未知，看需知，逐步靠拢已知。（执果索因）（3）用分析法论证“若A则B”这命题的模式是：要证命题B为真只需证命题B1为真只需证命题B2为真只需证命题A为真今知A为真故B必真其逻辑关系是：结论（步步寻求不等式成立的充分条件）已知投影展

16、示：3、应用举例例1已知a>1,求证：（学生回答师板书）证明：要证只需证只需证即证a > 1 0 < a21 < a2例2 已知a > 0, b > 0, 2c > a + b,求证：（1）c2 > ab 证明：（1）a > 0, b > 0, 2c > a + bc > 0 从而4c2 > (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 4ab 即c2 > ab例3 已知a,b,c都是正数，求证：证明：小结：不等式证明时有时需灵活地采用比较法、综合法、分析法。例4 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管

17、截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大。分析：当水管的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小。设截面周长为L，则周长为L的圆的半径为L/2，截面积为(L/2)2；周长为L的正方形边长为L/4,截面积为(L/4)2。所以此题只需证明证明：设截面周长为L，则周长为L的圆的半径为L/2，截面积为(L/2)2；周长为L的正方形边长为L/4,截面积为(L/4)2。所以此题只需证明两边同乘以正数1/L2，得1/1/4因此，只需证明4上式是成立的，所以巩固练习板演P16练习1、2、34、总结提炼数学思想：等价转化 数学方法：综合法、分析法知识点：分析法证明时的

18、关键词5、 作业：P17习题6.34、5、9思考题：设f(x) = ax2 + bx + c(a > 0),方程f(x)x = 0的两个根x1、x2满足0 < x1 < x2 < 1/a。（1）当x(0 , x1)时，证明x < f(x) < x1；（2）设函数f(x)的图象关于直线x = x0对称，证明x0 < x1/2。（97高考）分析：（1）设F(x) = f(x)x x1、x2是方程f(x)x = 0的两个根F(x) = a(xx1)(xx2)当x(0 , x1)时，由于x1 < x2，得(xx1)(xx2) > 0,又a >

19、 0F(x) = a(xx1)(xx2) > 0 即x < f(x)同样地x1f(x) = x1x + F(x) = x1x + a(xx1)(xx2) = (x1x)1 + a (xx2)0 < x1 < x2 < 1/a x1x > 0, 1 + a (xx2) = 1 + axax2 > 1ax2 > 0即x1f(x) > 0, f(x) < x1当x(0 , x1)x < f(x) < x1 （2）依题意知x0 = b/2a x1、x2是方程f(x)x = 0的两个根 即x1、x2是方程ax2 + (b1)x +

20、c = 0的两个根 x1 + x2 = (b1)/a 则x0= a(x1 + x2)1/2a = (a x1 +ax21)/2a ax2 < 1 x0 < x1/2教学后记：第四课时不等式的证明学习目标（1）系统地掌握不等式证明的常用方法（2）针对不同条件，灵活选用方法，培养发散思维能力教学过程1、 应用举例例1已知a、b、cR，求证：a2 + b2 + c2 + 4ab + 3b + 2c证法一（比较法）：a2 + b2 + c2 + 4(ab + 3b + 2c)a2 ab + b2/4 + 3b2/4 3b + 3 + c2 2c + 1(ab/2)2 + 3(b2)2/4

21、+ (c1)20 a2 + b2 + c2 + 4ab + 3b + 2c证法二（综合法）：a2 + b2/4ab 3b2/4 + 3 3b c2 + 1 2ca2 + b2 + c2 + 4ab + 3b + 2c小结：在不等式的证明中，常常要适当地将表达式变形，灵活运用基本不等式。例2分析：此题两边都是和式结构，其关键是如何找到证明：a2 + b2 2ab 2(a2 + b2 )(a + b)2 小结：此题证明的关键是先证：，只有熟练掌握基本不等式及其变形，才能开阔证明不等式的思路。例3分析：式子中a、b、c的地位是一样的，即不等式左边是一个对称式。特殊化探路，先求等号成立的条件。当4a

22、+ 1 = 4b + 1 = 4c +1，即a = b = c = 1/3时，等号成立，此时4a + 1 = 4b + 1 = 4c +1 = 7/3。证明：小结：此题的证明方法称为平均值法。平均值法是指借助算术或几何平均值来证明含有对称式的非严格不等式的一种特殊方法，它一般用于轮换不等式的证明。例4已知a、b都是正数，且a + b = 1，求证：(a + 1/a)2 + (b + 1/b)225/2证法一：(a + 1/a)2 + (b + 1/b)2 = a2 + 2 + 1/a2 + b2 + 2 + 1/b2= (a + b)22ab+ 1/a2 + 1/b2 + 4 51/2 + 8

23、 即(a + 1/a)2 + (b + 1/b)225/2（当且仅当a = b = 1/2时等号成立）证法二：m、n>0都有m2 + n2 (m + n)2/2(a + 1/a)2 + (b + 1/b)2(a + 1/a + b + 1/b)2/2(1+ 4)2/2即(a + 1/a)2 + (b + 1/b)225/2（当且仅当a = b = 1/2时等号成立）例5 已知x、y都是正数，a、b都是正常数，且a/x + b/y = 1，求证： 证法一：三角换元证法二：x、y都是正数，a、b都是正常数，且a/x + b/y = 1设a/x = cos2,b/y = sin2则x = a/

24、cos2= asec2= a(1+ tan2)y = b/sin2= bcsc2= b(1 + cot2) x + y = a(1+ tan2)+ b(1 + cot2) = a + b + a tan2+ b cot2 证法三：x、y都是正数，a、b都是正常数，且a/x + b/y = 1设a/x = cos2,b/y = sin2则a = xcos2， b = ysin2巩固练习（1）已知x2 + y2 = 4,求3x + 4y的取值范围。（2）已知1x2 + y22，求证：1/2x2 + y2xy3分析：（1）x2 + y2 = 4设x = 2cos, y = 2sin 3x + 4y

25、= 6cos + 8sin = 10sin(+) 1sin(+)1103x + 4y10（2）1x2 + y22设x =kcos, y = ksin其中1k22x2 + y2xy = k2k2cossin= k2(2sin2)/21sin21 1/2(2sin2)/23/2又1k221/2k2(2sin2)/23即1/2x2 + y2xy32、总结提炼数学思想：等价转化数学方法：综合法、比较法、分析法、平均值法、换元法（三角换元）知识点：算术平均数与几何平均数定理3、作业：P16习题6.37、8思考题：已知x、y都是正数，且x + y = 1,求证：(1 + 1/x)(1 + 1/y)9（用多

26、种方法证明）（一）x、y都是正数x/y + y/x 2（当且仅当x = y时等号成立）x + y = 1 (1 + 1/x)(1 + 1/y) = 1 + (x + y)/x1 + (x + y)/y = (2 + y/x)(2 + x/y) = 5 + 2(x/y + y/x) 9（当且仅当x = y = 1/2 时等号成立）（二）x、y都是正数，且x + y = 11 = x + y 2 (当且仅当x = y = 1/2时等号成立） xy 1/4 即1/xy 4 三角换元法 1/x + 1/y 2 4(当且仅当x = y时等号成立）(1 + 1/x)(1 + 1/y) = 1 + 1/x

27、+ 1/y + 1/xy 9（当且仅当x = y = 1/2 时等号成立）(三) x、y都是正数，且x + y = 1设x = cos2, y = sin2则1/x + 1/y = (1 + 1/cos2)(1 + 1/sin2) = (1 + sec2)(1 + csc2)= (2 + tan2)(2 + cot2) = 4 + 2tan2+ 2cot2 + 1 9（四）x、y都是正数，且x + y = 1设x = 1/2t , y = 1/2 + t(1/2 < t <1/2) (1 + 1/x)(1 + 1/y) = 1 + 1/x + 1/y + 1/xy 均值换元法 =

28、1 + (x + y)/xy + 1/xy = 1 + 2/xy = 1 + 8/(14t2) 1/2 < t <1/2 0 < 14t2 1 8/(14t2) 8 (1 + 1/x)(1 + 1/y)9教学后记：第五课时不等式的证明学习目标（1）系统地掌握不等式证明的常用方法（2）理解放缩法、函数性质法、反证法证明不等式的原理和思维特点（3）针对不同条件，灵活选用方法，培养发散思维能力教学过程设置情境前面我们已学过不等式证明的三种常用方法：比较法、综合法、分析法，在证明不等式的性质5时还用了反证法。回想一下反证法证明数学命题的步骤：反设结论找出矛盾肯定结论。这节课我们一起学

29、习证明不等式的其它方法。应用举例已知a3 + b3 = 2,求证：a + b 2证明：假设a + b 2,则b > 2a a3 b3 = (a b)(a2 +ab + b2 ) = (a b)(a + b/2)2 + 3b2/4a3 b3与ab的符号一致即a > b 时有a3 > b3b3 > (2a)3 = 812a + 6a2a3a3 + b3 > 812a + 6a2 = 6(a1)2 + 2 2即a3 + b3 > 2这与a3 + b3 = 2矛盾a + b 2小结：在直接证明不等式有困难时，可以考虑用反证法。在用反证法证明不等式时，应严格按照步骤进

30、行，尤其反设要正确，推理要严密，防止由于推理错误导致假证现象。在利用“若a > b，则a3 > b3”证题时，必需先加以证明。常用公式：(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3设a、b、cR , a + b + c >0 , ab + bc + ca >0 , abc > 0,求证：a > 0 , b > 0 , c > 0.分析：a > 0 , b > 0 , c > 0的反面是什么？证明：假设a、b、c不全大于0，不妨设a 0 当a = 0 时，有abc 0，这与abc

31、> 0矛盾； 当a < 0时，由abc > 0得bc < 0 a + b + c >0 b + c >a > 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0这与ab + bc + ca >0矛盾，故假设不成立a > 0 , b > 0 , c > 0.设a、b、c（0,1），求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不能都大于1/4.证明：假设(1a)b,(1b)c,(1c)a都大于1/4.即1a + b > 1 ba > 0 同理cb > 0 ac > 0由、三式相加得：00矛

32、盾故假设不成立(1a)b,(1b)c,(1c)a不能都大于1/4.小结：反证法常用于证明难于直接使用已知条件导出结论的命题唯一性命题“至多”或“至少”性命题否定性或肯定性命题已知：x22xy + y2 + x + y + 10，求证：1/3y/x3分析：此题是关于x、y的二元二次方程，若设t= y/x,并代入已知式，则可得到关于x的一元二次方程，可考虑运用判别式。证明：设t= y/x，则设y = tx代入条件x22xy + y2 + x + y + 10得 x22x·tx + (tx) 2 + x + tx + 10即(t1)2x2 + (t + 1)x + 1 = 0当t = 1时

33、有1/3 < 1 < 3，即1/3y/x3成立当t 1时xR 0即= (t + 1)24(t1)2 0整理得(t1/3)(t3) 01/3t3 1/3y/x3小结：利用判别式法，首先应构造一个一元二次方程，这时若二次项含有参数时，要加以分类讨论。例5 EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3例6已知1x1 , n2且nN，求证：(1x)n + (1 + x)n2n分析：考虑到1x1，且目标式中含有1x, 1 + x，联想到余弦的二倍角公式，从而利用三角换元法来证。证明：1x1可设x= cos2(0/2)则1x= 1cos2=

34、2sin2 , 1 + x = 1 + cos2=2 cos2n2且nN,又0sin1, 0cos1sin2n sin2 , cos2ncos2(1x)n + (1 + x)n = (2sin2 )n +(2cos2)n= 2n sin2n +2n cos2n 2n(sin2 + cos2)= 2n 即(1x)n + (1 + x)n2n变：在直角三角形ABC中，角C为直角，n2且nN，求证：cnan + bn小结：有些命题中，含有一些特殊的条件及特殊的运算关系，这些条件或运算关系，恰好满足三角关系，则可采用三角换元法来加以解决。以下是几种常见的三角换元的方法：若题目中含有|a|1,则可设 a

35、 = cos(0)或设a = sin(/2/2)若题目中含有a2 + b2 = 1,则可设 a = cos,b = sin(0<2)若题目中含有 EMBED Equation.3 ,则可设 x = cos(0)或设x = sin(/2/2)若题目中含有 EMBED Equation.3 ,则可设 x = tan(/2<</2)若题目中含有x + y = r,(其中x > 0, y > 0), 则可设 x = cos, y = sin(0/2)例7已知a、b、c、dR+, 求证： EMBED Equation.3分析：证明不等式常常需要根据不等式的性质对不等式的一端

36、进行“同向”变形，即放大或缩小，这种利用放缩原理证明不等式的方法叫做放缩法。在放缩代换中常用以下变形：（1）AB，BC，则AC；（2）AB，BC，则AC；（3）AB，BC，则AC。EMBED Equation.3EMBED Equation.3变：（1）已知三角形ABC的三边分别为a、b、c，且m >0 ,求证： EMBED Equation.3证明一：三角形ABC的三边分别为a、b、c，a + b > c 设a + b = c + k(k > 0) 又m >0 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3证法二：构造函数f(x) = x/(x +

37、 m) = 1m/(x + m) (x > 0,m > 0) f(a) + f(b) = a/(a + m) + b/(b + m) = a/(a + b + m) + b/(a + b + m) = (a + b)/(a + b + m)= f(a + b)三角形ABC的三边分别为a、b、c，a + b > c1/(x + m) 在（0，）是减函数f(x) = 1m/(x + m) 在（0，）是增函数f(a + b) > f(c)即a/(a + m) + b/(b + m)c/(c + m) （2）已知三角形ABC的三边分别为a、b、c，求证： EMBED Equat

38、ion.3 证明：三角形ABC的三边分别为a、b、c，a > c + b 不妨设abc,则EMBED Equation.3 EMBED Equation.3例8已知n2且nN，求证：logn(n1)logn(n + 1)<1证明：n2且nN，logn(n1)>0,logn(n + 1)>0, logn(n1) logn(n + 1)logn(n1)logn(n + 1)< logn(n1)+logn(n + 1)2/4= logn(n21)2/4 < lognn22/41即logn(n1)logn(n + 1)<1例9已知x、y、z（0,1），求证：x

39、(1y) + y(1z) + z(1x) < 1证明：构造函数f(x)= x(1y) + y(1z) + z(1x)1 即f(x) = (1yz)x + y(1z) + z1当1yz = 0,即y + z = 1时，f(x) = y(1z) + z1 = y + z 1yz = yz < 0 当1yz 0时，f(x)为一次函数，又x（0,1），由一次函数的单调性，只需证明f(0) < 0, f(1) < 0y、z（0,1）f(0) = y(1z) + z1 = (y1)(z1) < 0 f(1) = (1yz) + y(1z) + z1 =yz < 0 对任意的x（0,1）都有f(x) < 0 即x(1y) + y(1z) + z(1x) < 1小结：利用函数的单调性来证明不等式也是一种常用的方法，其关键是要精心构造一个函数。变：（1）已知0 < a < 1/n(n2且nN),且a2 < ab,求证：b < 1/