大学物理-波动学4

1、)2cos(),(11011rtAtpy)2cos(),(22022rtAtpy1r2r1S2Sp干涉的定量分析cos22122212AAAAA其中：其中：)(2)(121020rr 干涉现象的干涉现象的数学表述数学表述)cos(101010tAy)cos(202020tAy别是多少？分外侧各点合成波的强度外侧和上连线则在是度相同且两波的强度都的连线上各点的强和在过独传播时，若两波单超前的相位比距相的两相干波源是波长均为和例21210212121,I,2.43,:2SSSSSSSSSS1S2Sox)(2)(121020rr ）（ tAycos2)2cos(1tAy）（x2cos2tAy)43(

2、22cos1xtAy）（x2cos2tAy)43(22cos1xtAy设有两列相干波（平面简谐波）分别沿设有两列相干波（平面简谐波）分别沿X X轴正负方向传播轴正负方向传播，且振幅相同。选初相位均为零，且振幅相同。选初相位均为零, ,表达式为表达式为)2cos(1xtAy)2cos(2xtAy其合成波称为驻波其合成波称为驻波, ,其表达式：其表达式：21yyy三 驻波 txAcos2cos2它表示各点都在作简谐振动，它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，各点振动的频率相同，但各点振幅随位置的不同而不同但各点振幅随位置的不同而不同)2cos()2cos(xtAxtA非常重要非常重要02c

3、os x), 2 , 1 , 0( ,4) 12( kkx 两相邻波节间的距离：两相邻波节间的距离：21 nnxx振幅为振幅为 xA2cos2(1)(1)振幅：振幅：振幅各处不等，出现了波腹和波节振幅各处不等，出现了波腹和波节txAycos2cos2在波节两侧点的振动相位相反在波节两侧点的振动相位相反,同时达到反同时达到反向最大或同时达到反向最小向最大或同时达到反向最小,速度方向相反速度方向相反相位为反相相位为反相 两个波节之间的点其振动相位相同两个波节之间的点其振动相位相同, 同时同时达到最大或同时达到最小达到最大或同时达到最小,速度方向相同。速度方向相同。(2)(2)相位：相位：txAyc

4、os2cos2没有相位的逐点传播，只有段与段之间的没有相位的逐点传播，只有段与段之间的相位突变，在每一段内各点振动的相位是相位突变，在每一段内各点振动的相位是相同的，驻定不变的，所以称为驻波相同的，驻定不变的，所以称为驻波名称的由来(3)能量不传播为能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波与为能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波与右行波能流密度之和为零。右行波能流密度之和为零。所以驻波不传播能量所以驻波不传播能量它是媒质的一种特殊的运动状态，它是媒质的一种特殊的运动状态，稳定态稳定态。0)( uwuw合能流密度为合能流密度为txAycos2cos24、半波损失)2cos(1xtAy)2cos(

5、2xtAy入射波在反射时发生相位突入射波在反射时发生相位突变变 的现象称为半波损失的现象称为半波损失当波当波从波疏媒质从波疏媒质垂直入射到垂直入射到波密媒质界面波密媒质界面上反射时，上反射时，有有半波损失半波损失，形成的驻波在界，形成的驻波在界面处是面处是波节波节。反之，当波从。反之，当波从波密媒质垂直入射到波疏媒波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损质界面上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。失，界面处出现波腹。 较大的媒质称为较大的媒质称为波密媒质波密媒质； 较小的媒质称为较小的媒质称为波疏媒质波疏媒质.uu4、半波损失，续这部分内容的重点已知入射波的波动方程，写出反射波的波动方

6、程已知入射波的波动方程，写出反射波的波动方程（或者反过来已知反射波的写入射波的）（或者反过来已知反射波的写入射波的）进而写出驻波方程，波节和波腹的位置进而写出驻波方程，波节和波腹的位置写波动方程的基本要领写波动方程的基本要领掌握半波损问题掌握半波损问题 例例1 一列横波在绳上传播，其表达式为一列横波在绳上传播，其表达式为 (1)现有另一列横波现有另一列横波y2与上述已知横波在绳上形成与上述已知横波在绳上形成驻波驻波,这一列横波这一列横波y2在在x=0处与已知横波位相相同处与已知横波位相相同,写出写出该波该波y2的方程。的方程。(2)写出绳上的驻波方程；写出绳上的驻波方程；(3)波腹和波腹和波节

7、位置。波节位置。)(SI)4050(2cos0501x.t.y 解解 (1)设波设波y2的方程为的方程为40502cos0502o)x.t(.y 因因y2在在x=0处与已知横波位相相同，所以处与已知横波位相相同，所以 o=0,40502cos0502)x.t(.y 40502cos0502)x.t(.y (2)写出绳上的驻波方程写出绳上的驻波方程:40502cos0501)x.t(.y tx.yyy 40cos2cos10021 (3)波幅和波节位置波幅和波节位置波腹波腹:,x12cos ,kx 2波节波节:,x02cos ,)k(x2122 )(m)12( kx(m)2kx ,.)2, 1,

8、 0(k例例2 2 一沿弹性绳的简谐波的波动方程为一沿弹性绳的简谐波的波动方程为y=Acos2y=Acos2 (10t - (10t - x/2)x/2)波在波在x=11mx=11m处的固定端反射，设传播中无能量损失，处的固定端反射，设传播中无能量损失，反射是完全的，试求：反射是完全的，试求：1 1）该简谐波的波长和波速。）该简谐波的波长和波速。2 2）反）反射波的波动方程；射波的波动方程；3 3）驻波方程，并确定波节的位置。）驻波方程，并确定波节的位置。2）入射波在反射点的振动方程）入射波在反射点的振动方程)21110(2costAyHz10m2mu20)20cos(tA2）入射波在反射点的

9、方程）入射波在反射点的方程由于反射处固定，反射波有相位突变。故由于反射处固定，反射波有相位突变。故反射波在反射点的振动方程为反射波在反射点的振动方程为)20cos(20costAtAy反)20cos(tAy)20cos(xtAy反m2所以反射波的波动方程为：所以反射波的波动方程为：)20cos(xtAy反3）驻波方程）驻波方程反入驻yyy波节的位置满足：波节的位置满足：2) 12(2kx0)2cos(x)(1 mkx)220cos()2cos(2txA)20cos(xtAy入入射波：例题例题3.位于位于 两点的两个相干波源，振幅相等，频率都两点的两个相干波源，振幅相等，频率都是是100赫兹，相

10、差为赫兹，相差为 ，AB 相距相距30米，波速为米，波速为400米米/秒秒BA,解：如图所示，取解：如图所示，取A点为坐标原点，点为坐标原点，A、B联线为联线为X轴，轴，求求: A,B连线之间因相干涉而静止的各连线之间因相干涉而静止的各 点的位置点的位置BAXxm30O14smu)cos(AAtAy在在X轴上轴上A点发出的行波方程：点发出的行波方程：)2cos(xtAyAA)cos(BBtAy在在X轴上轴上B点发出的行波方程：点发出的行波方程：A点振动方程点振动方程B点振动方程点振动方程)30(2cosxtAyBBBAXxm30O)2cos(xtAyAA)30(2cosxtAyBB.)cos(

11、828)30(22/2/cos2txxAyAB2) 12828)30(22/2/kxxAB（,.2, 1, 0215kkxmx29,27,25,.9 , 7 , 5 , 3 , 1可见在可见在A、B两点是波腹处两点是波腹处驻波方程驻波方程BAyyy因为两波同频率，同振幅，同方向振动，因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：所以相干为静止的点满足：xxAB2)30(2,.2, 1, 0kkx2/4/30,.2, 1,0215kkxmx29,27,25,.9,7,5,3, 1) 12(k)2cos(xtAyAA)30(2cosxtAyBBBAXxm30 x30O例例4 振幅为振

12、幅为A、频率为、频率为 、波长为、波长为 的的 一简谐波沿弦线向一简谐波沿弦线向右传播，在固定端右传播，在固定端P点反射，假设反射后波不衰减。已点反射，假设反射后波不衰减。已知：知：OP=7 /8，DP=3 /8，在，在t=0时，时，x=0处媒质质元的处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动，求合振动经平衡位置向负方向运动，求D点处入射波和反点处入射波和反射波的合振动方程。射波的合振动方程。y1y2xoyDP 解：解：)2(11xtAycos入射波在入射波在P点的振点的振动方程为：动方程为：)47(11tAypcos入射波的波动方程为入射波的波动方程为)(11tcosAy设：入射波在设：入射波

13、在O点的振动方程点的振动方程y1y2xoyDP则反射波的波动方程为：则反射波的波动方程为：入射波在入射波在P点的振点的振动方程为：动方程为：)47(11tAypcos反射波在反射波在P点的振点的振动方程为：动方程为：)43(12tAypcos)87(24312xtAycos41021xtAcosy1y2xoyDP)414122121txAyyy)cos(cos(驻波方程驻波方程:)2(11xtAycos反射波的波动反射波的波动方程为：方程为：入射波的波动入射波的波动方程为：方程为：410212xtAycosy1y2xoyDP x=0处煤质质元的合振动方程处煤质质元的合振动方程:)cos(421

14、tAyo 已知已知:t=0, x=0处媒质质元的合振动经平衡位置向负处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动方向运动:241驻波方程驻波方程:)cos(cos(242221txAyyy)414122121txAyyy)cos(cos(y1y2xoyDPD点处入射波和反射波的合振动方程点处入射波和反射波的合振动方程:2:Dx代入(已知已知: OP=7 /8，DP=3 /8)22)cos(43cos(2 tAyD)22cos(2tA)cos(cos(242221txAyyy简正模式两端固定的弦线上的驻波两端必为波节任何一个波动都任何一个波动都可以看做是若干可以看做是若干不同频率的简谐不同频率的简谐

15、波合成的波合成的我们以两端固定的弦为例来讨论我们以两端固定的弦为例来讨论实际的振动不一定实际的振动不一定是是谐振动，在运谐振动，在运动方程已知时，利动方程已知时，利用用傅里叶变换傅里叶变换可以可以分解为许多若干频分解为许多若干频率的率的谐振动的叠谐振动的叠加。加。两端固定的弦线上的驻波在长为在长为 L 的弦上形成驻波的波的弦上形成驻波的波长必须满足下列条件：长必须满足下列条件：,.3 , 2 , 1,2nnLn,.3 , 2 , 1,2nnLn简正模式两端必为波节.3 , 2 , 12nLnu固有性质和边界条件固有性质和边界条件即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续，这些即弦线上形成的驻波波长、

16、频率均不连续，这些频率称为弦振动的频率称为弦振动的本征频率本征频率.3 , 2 , 12nLnu对应的振动方式称为对应的振动方式称为简正模式简正模式简正模式的概念如果策动源的频率与系统的某一如果策动源的频率与系统的某一简正模式的频率相同或接近，系统简正模式的频率相同或接近，系统就会发生很大的驻波，称为共振就会发生很大的驻波，称为共振波的共振现象.3 , 2 , 12nLnu弦的任何一种振动弦的任何一种振动，都可以看成由，都可以看成由若干简正模式的合成若干简正模式的合成最低的频率称为最低的频率称为基频基频，其它整倍数频率为，其它整倍数频率为谐频谐频。.3 , 2 , 12nLnuLuLuLuLu

17、242 . 0234 . 0223 . 021 . 0弦的振动，与声音基频决定声音的音高，谐频决定声音的音色基频决定声音的音高，谐频决定声音的音色各次谐频的强弱由乐器的具体各次谐频的强弱由乐器的具体结构和激发方式决定结构和激发方式决定LuLuLuLu242 . 0234 . 0223 . 021 . 0弦的振动与发出的声音基频决定声音的音高，谐频决定声音的音色基频决定声音的音高，谐频决定声音的音色首音首音“1（do）”以外，依次序还有以外，依次序还有“2（re）”、“3（mi）”、“4（fa）”、“5（sol）”、“6（la）”、“7（si）”，一共七个音高，一共七个音高不同曲调的第一个音不同

18、曲调的第一个音“1（do）”，具有不同的频率。，具有不同的频率。如如C调的调的“1（do）”，振动频率为，振动频率为256赫，赫，D调的调的“1（do）”，振动频率为，振动频率为288赫，赫，音调 CDEFGAB1音256Hz288HZ320HZ341HZ384HZ426HZ480HZ弦的振动与发出的声音：续LuLuLuLu242 . 0234 . 0223 . 021 . 0 多普勒效应 当波源和接收器当波源和接收器有相对运动有相对运动时时, 接收器所测得的频率接收器所测得的频率 不等于波源振动频率不等于波源振动频率 的现象的现象一接收器静止，波源运动一接收器静止，波源运动RSVsuT、波速为周期为、波长为为设波源静止时，其频率000波源发出相邻两个同相振动状态是在不同波源发出相邻两个同相振动状态是在不同时间不同地点发出的时间不同地点发出的波速波速u没变没变00TVs：接收器接收到的波长为这两个地点的距离显然是：这两个地点的距离显然是：0TVsu00TVTs接收波的周期为：接收波的周期为：则频率为：则频率为：