向量内积学案

1、职高数学基础模块（下）学案 卓资职中高二年级数学备课组7.4.1 向量的内积【学习目标】1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题3. 通过学习，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点【学习重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律【学习难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解【学习方法】 本节课采用讲练结合的方法，学会分析归纳，形成概念【学习过程】导入F一个物体在力F的作用下产生了位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？ qs力做的功为WsFcos ，其中q是F与s的夹角F

2、cos 是F在物体前进方向上分量的大小sFcos 称为位移s 与力向量F的内积1两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与 b，作 a，b，则AOB叫向量a与b的夹角记作a，b，规定 a，b 说明：(1)当a，b 时，a与b同向；(2)当a，b 时，a与b反向；(3)当a，b 时，a与b垂直，记做 ；(4)在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的2向量的内积已知非零向量a与b，a，b为两向量的夹角，则数量| a | | b | cosa，b叫做a与b的内积记作a·b| a | | b | cosa，b规定：0向量与任何向量的内积为0说明：（1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，可以是

3、正数、负数或零，符号由 的符号所决定；（2）两个向量的内积，写成a·b，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.例1 求 |a|5，|b|4，a，b120°求a·b解 由已知条件得a·b| a | | b | cosa，b5×4×cos 120°103向量的内积的性质设 a，b 为两个非零向量，e是单位向量，则：（1）a·ee·aacos a，e；（2）ab Û a·b0；（3）a·a| a |2或 | a |；（4）a·

4、bab4向量的内积的运算律(1)交换律：a·bb·a；(2)结合律：(a)·b(a·b)a·(b)；(3)分配律：(ab)·ca·cb例2 求证：（1）(ab)·(ab)a2b2；（2）ab2ab22(a2b2) 证明 （1）显然(ab)·(ab)a·aa·bb·ab·ba2b2；（2）因为ab2(ab)·(ab)a22 a·bb2，ab2(ab)·(ab)a22 a·bb2，所以ab2ab22(a2b2)练习 1已知 | a

5、 |，| b |，a，b，求 a·b：(1) | a |7，| b |12，a，b120°；(2) | a |8，| b |4，a，b；2已知 | a |，| b |，a·b，求 a，b：(1) | a | b |16，a·b8；(2) | a | b |12，a·b6小结本节课我们主要学习了平面向量的内积，常见的题型主要有：（1）直接计算内积； （2）由内积求向量的模；（3）运用内积的性质判定两向量是否垂直；（4）性质和运算律的简单应用作业教材 P54 练习A 组第 2 题（1）（3），第 3 题（1）（2）；(选做)练习 B 组第1题7.4

6、.2 向量内积的坐标运算与距离公式【学习目标】1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直3. 通过学习向量的坐标表示，进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养辩证思维能力【学习重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用【学习难点】向量内积的坐标表达式的推导，即 a·b| a | | b | cosa，b与 a·ba1b1a2b2两个式子的内在联系【学习方法】 本节课采用讲练结合的方法向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一无论是向量的线性运算

7、还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算能把平面向量知识系统化、条理化，从而有利于知识体系的形成【学习过程】导入1已知非零向量a 与 b ，则a与b的内积表达式是怎样的？由内积表达式怎样求cosa，b？2 ab Û ；3 | a | 与有何关系？新课已知e1，e2 是直角坐标平面上的基向量，a(a1，a2)，b(b1，b2)，你能推导出a·b 的坐标公式吗？ 探究过程a·b(a1e1a2e2)·(b1e1b2e2)a1b1e1·e1a1b2e1·e2a2b1e1·e2a2b2e2·e2，又因为 e1·e

8、11，e2·e21，e1·e20，所以a·ba1b1a2b2定理 在平面直角坐标系中，已知e1，e2 是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则a·ba1b1a2b2 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和我们还可以得到以下结论：(1)向量垂直的充要条件为 abÛ a1 b1a2 b20；(2)两向量夹角余弦的计算公式为cosa，b问题：(1)若已知a(a1，a2) ，你能用上面的定理求出| a | 吗？ (2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出| 吗？例1 设a(3，1)，b(1，2)，求：(1) a·b； (2) | a |； (3) | b |； (4)a，b 例2 已知A(2，4)，B(2，3)，求|例3 已知A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，求证：ABC 是等腰三角形例4 已知A(1，2)，B(2，3)，