3.4函数的单调性与极值、最值

1、3.5 函数的单调性函数的单调性 与极值、最值与极值、最值 一、函数单调性及其判定一、函数单调性及其判定 二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法三、函数的最值及其求法三、函数的最值及其求法一、单调性的判别法一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA当当函函数数曲曲线线沿沿x轴轴正正向向向向上上升升（单单增增）或或下下降降（单单减减）时时，切切线线的的斜斜率率总总显显非非负负或或非非正正，即即对对应应的的导导数数0)( xf或或0)( xf.这这说说明明，函函数数的的单单调调性性与与导导数数的的符符号号有有着着密密切切的的联联系系，既既然

2、然如如此此，反反过过来来能能否否用用导导数数的的符符号号来来判判定定函函数数的的单单调调性性呢呢？，内内如果在如果在）（0)(),(1 xfba.),(,)(内可导内可导上连续，在上连续，在在在设函数设函数babaxfy 上单调增加；上单调增加；在在则则,)(baxfy ，内内如果在如果在0)(),()2( xfba.,)(上单调减少上单调减少在在则则baxfy 定理定理xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA的的单单调调性性，在在判判定定函函数数20sin xxy 例如例如内内，因为在（因为在（)20 解：解：0cos1 xy可可知知，所所以以由由定定理理

3、1上单调增加上单调增加，在在函数函数20sin xxy 注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性1 .定理中的闭区间换成其它定理中的闭区间换成其它 区间区间,结论仍然成立结论仍然成立.2.若若)(xf在在区区间间),(ba内内某某几几个个孤孤立立点点处处，导导数数为为0 或或导导数数不不存存在在，则则结结论论仍仍然然成成立立.3.使函数单调增（减）的区间，称为函数的单调使函数单调增（减）的区间，

4、称为函数的单调 增（减）区间增（减）区间.注意注意23xy .),(3的的单单调调增增区区间间为为x 例例1 1,3并并求求其其单单调调区区间间的的单单调调性性讨讨论论xy 解解0 3231xy .),(31上单调增加上单调增加在在x解解0 例例2 2并并求求其其单单调调区区间间的的单单调调性性讨讨论论,31xy )0( x0)0( f不存在不存在)0(f .),(31的的单单调调增增区区间间为为x 例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(: D)0(,32)(3 xxxf32xy .,0导数不存在导数不存在时时当当 xx)0 ,(0), 0( )(xf )

5、(xf不存在不存在单调减区间为单调减区间为，0 ,( )., 0 单调增区间为单调增区间为当函数在定义区间上不是单调的，但在各当函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调，如何求函数的单调区个部分区间上单调，如何求函数的单调区间？间？单调区间求法：单调区间求法： 因为导数等于零的点和不可导点，可能是单调因为导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的区间的分界点分界点:)(单单调调区区间间的的一一般般步步骤骤求求xf;)(1的的定定义义域域求求出出xf ;)(,0)(2不不存存在在的的点点找找出出xfxf ).(,3可可列列表表计计算算增增减减区区间间进进而而确确定定数数符符号号在在每每

6、个个小小区区间间上上讨讨论论导导成成若若干干小小区区间间用用这这些些点点将将定定义义区区间间分分 例例4 4解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:1 D12186)(22 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xxx)1 ,( 1)2 , 1(2),2( )(xf )(xf00单调增区间为单调增区间为，1 ,( ), 22 , 1 单调减区间为单调减区间为用途：用途：利用单调性还可以利用单调性还可以 1证明不等式证明不等式;2确定某些方程实根的个数确定某些方程实根的个数.证明：证明：221)1ln(0 xxxx

7、时，当例例5例例6 .0 有有几几个个实实根根讨讨论论方方程程 aaxex二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法31292)(23xxxxf12xoy121.定义定义:设函数设函数 f(x) 在在 内有定义内有定义 如果对任意如果对任意极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值 .均有均有f(x) f(x0) 则称则称 f(x0) 是函数是函数 f(x)的一个的一个极大极大 值值 ( f(x)f(x0) )(小小)使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点 .xoyxxoy0 x0 x0 x( )f x0()f x0 x0 x0 xx( )f x0()f x0()U

8、x00()xU x0 x 叫极大值点(小)说明：说明：1极值概念是局部概念极值概念是局部概念,故极值是不唯一的故极值是不唯一的,如图如图.oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x2最值概念是全局概念最值概念是全局概念,最值是唯一的最值是唯一的.观察极值点处的特点观察极值点处的特点,如图如图oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x如果有切线存在，且切线有确定如果有切线存在，且切线有确定 的斜率，则切的斜率，则切线平行于线平行于x轴，即切线的斜率为零轴，即切线的斜率为零 .2、函数极值的求法、函数极值的求法定理定理1 1( (必要条件必要条件) )0)(,)(),()(0000 xfx

9、fxfxxf则则存存在在且且处处有有极极值值在在点点如如果果函函数数.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点定义：定义：xfxf （2）不可导点也可能是极值点，不可导点也可能是极值点，注注:（1）可导的极值点必为可导的极值点必为驻点，驻点不一定驻点，驻点不一定是极值点，是极值点， 为极小值点。处不可导，但在例如，00)(xxxxf不是极值点。，但处导数为在例如，000)(3xxxxf.:的点上的点上点或导数不存在点或导数不存在极值点只可能出现在驻极值点只可能出现在驻总结总结定理定理 2 (极值的第一充分条件极值的第一充分条件),)(0的某邻

10、域内连续在设函数xxf且在去心邻域内有可导, 不是极值。不变号，则左右两侧，若在为极小值。则时，时，若为极大值；则时，时，若)()(3)(, 0)(; 0)(2)(, 0)(; 0)(100000000 xfxfxxfxfxxxfxxxfxfxxxfxx0 x0 xxyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0 x0 x (不是极值点情形不是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤: :;)1(定义域定义域;)(0)()2(不存在的点不存在的点及及找出找出xfxf ;,)3(列表列表成若干小区间成若干小区间用这些点将定义区间分用这些点将定义区间分.)4(数数的的增增减减性性在

11、在每每个个小小区区间间上上讨讨论论函函.2)5(确定极值点及极值确定极值点及极值由定理由定理例例7. 求函数求函数32) 1()(xxxf的极值的极值 .解解:1) 求导数求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求可能的极值点求可能的极值点令令,0)( xf得得;521x导数不存在的点导数不存在的点02x3) 列表判别列表判别x)(xf )(xf05200极大值33. 0极小值)0,(),0(52),(520 x是极大点，是极大点， 其极大值为其极大值为0)0(f是极小点，是极小点， 其极小值为其极小值为52x33. 0)(52f练习练习解解.)2(1)(32的极值的极值求

12、出函数求出函数 xxf31)2(32)(2 xxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx ),(1 定义域为定义域为x)2 ,( ), 2( 2)(xf )(xf 不存在不存在极大值极大值.)(1)2(的极大值的极大值为为xff 定理定理2 (极值的第二充分条件极值的第二充分条件)二阶导数二阶导数 , 且且处具有在点设函数0)(xxf,0)() 1 (0 xf若则则 在点在点 取极大值取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则则 在点在点 取极小值取极小值 .)(xf0 x0()0fx0()0fx. 2,)(,)(0)(000仍用定理仍用定理不一定取极值不一定取极值处处在点在点不存在时

13、不存在时或或xxfxfxf 注意：注意：例例8. 求函数求函数693)(23xxxxf的极值的极值 . 解解: 1) 求导数求导数)(xf )(xf 2) 求驻点求驻点令令,0)( xf得驻点得驻点3) 判别判别练习：练习：解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f, 018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下Mm上上连连续续，在在若若函函数数,)(.

14、 1baxf.,)(值值上上一一定定有有最最大大值值和和最最小小在在则则baxf思考问题思考问题最大值和最小值可能在最大值和最小值可能在什么样的点取到？什么样的点取到？oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x三、函数的最值三、函数的最值求最值的步骤求最值的步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点、驻点、不可导点的函数值求区间端点、驻点、不可导点的函数值3.比较大小比较大小例例9 9解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值在在求函数求函数 xxxy得得令令, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;

15、23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142)4( f比较得比较得. 7)1( f最小值最小值(1) f (x)在在 a, b上连续上连续 ，在，在(a, b)内可导且内可导且只有一个极值点只有一个极值点x0. 则则 x0 也是最值点，也是最值点，f (x0) 是最是最值值.特例xy0abyx0abx0 x0(2) 若若 f (x)在在 a, b上连续上连续 ，且在，且在(a, b)内单调，内单调，则最大最小值在区间的端点取得则最大最小值在区间的端点取得.abxy0abxy0 在生产实践中，常常要考虑在生产实践中，常常要考虑 在一定条件下，如何使产量在一定条件下，如

16、何使产量最多、速度最快、质量最好、费用最省、效率最最多、速度最快、质量最好、费用最省、效率最高等问题，这些问题在数学上就是求函数的最大高等问题，这些问题在数学上就是求函数的最大与最小问题，运用数学方法可以帮助人们选择最与最小问题，运用数学方法可以帮助人们选择最优方案，达到预期的目的优方案，达到预期的目的.(1)根据问题的假设和条件建立目标函数根据问题的假设和条件建立目标函数 y = f ( x )(2)求最优解：最值或最值点求最优解：最值或最值点.作法：作法：小小）值值即即为为所所求求的的最最（或或最最点点，则则该该点点的的函函数数若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻值值（3）例例11：某

17、房地产公司有：某房地产公司有50套公寓要出租，当租套公寓要出租，当租金定为每月金定为每月180元时，公寓会全部租出去。当元时，公寓会全部租出去。当租金每月增加租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。元的整修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？试问房租定为多少可获得最大收入？做一个容积为做一个容积为V0的带盖圆柱形铁皮桶，问当底半的带盖圆柱形铁皮桶，问当底半径径 r 和高和高 h 各为多少时，能使所用材料最省？各为多少时，能使所用材料最省？(1)目标函数：表面积目标函数：表面积V0rhS = 2 r h+ r2 2由条件由条件 r2 h = V020 rVh 得得故故)0( 2 2)(02 rrVrrS 例例6 6解解(2)求解求解:202 4)( rVrrS 令令S (r)=0 得驻点得驻点302 Vr 044 30302302 VrVrrVS又又.2 30为极小值点为极小值点故故 Vr 因驻点（极值点）唯一因驻点（极值点）唯一. 故故r也是最小值点也是最小值点.于是当于是当302 Vr 时，时，S最小最小. 故所用材料能最省故所用材料能最省.此时此时.2