过两圆交点的公共弦所在直线方程探究

1、过两圆交点的公共弦所在直线方程探究求经过两条曲线 x2+y2+3x_y=0和3x2+3y2+2x+y=0交点的直线方程.常规解法是2 22_峰 一 卡产x y +3xy=0（1）联R方程3x2 3y2 2x y = 0（2）47、解得方程组的解，即两交点坐标为 A（0,0）, B（-）.13 13过两交点的直线方程为7x -4y=0.由上面（1）,（2）得到（3），这是解方程的基本步骤，我们可得以下结论结论1:如果两条曲线方程是fi（x,y）=0和f2（x,y）=0,它们的交点是 P（x0,yO）,则方程f1（x,y）+入f2（x,y）=0的曲线也经过 P（x0,y0）（是任意常数）.有了这个

2、结论，有些题目可快速求解。过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。例2 （课本P70.13题）求经过两圆x2+y2+6xM=0和x2+y2+6y 28=0的交点，并且圆心 在直线x-yK=0上的圆的方程.解：构造方程 x2+y2+6x -4+ 入（x2+y2+6y -28）=0即（1+ 入）x2+（1+ 入）y2+6x+6 入 y -（4+28 入）=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆，且圆心为（,刍一）11 当该圆心在直线 xyK=0上时，即 :3 +且4=0,得九= 7.1 丁二，1,所求圆方程为x2+y2x+7y-32=0b2x2+a2y2=a2b2, a2x

3、2+b2y2=a2b2 的交点在以原点为中例3: （P81.14题）求证：两椭圆 心的圆周上，并求这个圆方程。解：将已知的两椭圆方程相加，得x2 y2 书 a b此方程为以原点为圆心的圆方程，由曲线系知识知该圆过已知两椭圆的交点。得证。注意：1.由以上分析可以看出，利用曲线系解题，可以快速求解，但有时却是失效的例4:求以圆x2+y2=5与抛物线y2=4x的公共弦为直径的圆的方程常规解法：联立方程/242_x十y =54”2解得y =4xx1 =1二2;x2 = 1)2 = 一2以这两点为直径的圆的方程是(x -1)2y2如果用曲线系分析，构造方程 (x2 y2 -5) ，(y2 _4x) =0

4、即 x2 »(1 -.)y2 - 4 ,x - 5 = 0(8)显然，入=0不是所求圆方程，而在入w 0时，方程(8)已不是圆方程了 .由(8)得不出所求结果.由方程(5),(6)得到方程(7),方程是过(5)(6)公共点的曲线，但方程(7)不能包含过 (5)(6)的所有曲线.最简单的例子是：两直线x+y=0, x - y=0的交点是(0,0)，而y2=4x, (x - 1)2+y2=1等曲线都过(0,0)，但这些曲线不能从直线系中得到 .曲线系方程(7)不能包含过两曲线(5)(6)公共点的所有曲线，那么使用时怎么知道所求方程在不在方程(7)中呢？一般，我们对所求方程结果的形式应该认

5、识，所构造的方程中有所求结果的形式就可用，否则不可用.例3,例4就是例子.有三点是可以肯定的：I .如果(5)(6)是直线，则(7)是直线.II .如果(5)(6)是圆，则(7)是圆，或公共弦所在直线方程.将此推广，可得III .如果(5)是圆，(6)是直线，则(7)是圆。虽然曲线系有时失效，但它任不失为一种有用的方法.如果灵活应用，更能显示它的优越性.例5:求与圆x2+y2 -4x-2y -20 =0切于A(-1,-3)，且过B(2,0)的圆的方程.解(一)：视 A(1,3)为圆(x+1)2 +(y + 3)2 =r2 当r t 0 时的极限圆(x +1)2 十(y +3)2 = 0,构造圆

6、系x2y2 -4x-2y -20(x 1)2 (y 3)2 =0代入(2,0)可得九=4 ,所以所求方程为3 2_2_7x 7y -4x 18y -20 = 0解(二)：过A(-1,-3)的圆的切线为3x+4y+15=0。与已知圆构造圆系x2 y2 -4x -2y -20 (3x 4y 15) =0,代入(2,0)得九=8,所以所求圆方程为22_ _7x 7y -4x 18y -20 = 0.从例1可看到，要求两圆公共弦所在直线方程，只须将两圆方程中的 x2,y2项消去即可.但是如果两圆无交点，仍可得到一条直线方程，如:已知两圆(x - 1)2+(y - 1)2=2(x+2) 2+(y+2)

7、2=4相减，得 3x+3y - 4=0直线3x+3y-4=0与已知圆有何关系？我们先从两圆有交点分析：设。O,。交于A,B,P是AB上任一点(非A,B),过P作两圆割线，与。O交于Ci,Di, 与。O2交于G, D2,由相交弦定理。则|PC i|?|PDi|=|PC 2| ?|PD2|=|PA| ?|PB|如果P在线段AB的延长线上，过P作两圆的切线 PT,PT2,由切割线定理得|PT i| 2=|PT2| 2=|PA| ?|PB|当两圆运动，从相交到外切，再到相离时，猜想性质 |PTi|=|PT 2|保持不变。由此得到结论：动点 P 到两圆。O:x 2+y2+Dx+Eiy+Fi=0,。02:

8、 x 2+y2+D2x+E2y+F2=0 的切线长相等，则动点P在一直线上运动，该直线方程为(D i - D2)x+(E i- E2)y +(F i - Fz)=0 .证明：设 P(x,y),则 Oi(-Di,-Ei), O2(-D2 -E2).2222由P向两圆分别作一条切线PTi,PT2,则|PTi|=|PT 2|,即|PO i|2-ri2=|PO2|2- r22即(x D1)2 (y E1)2 -(1 Di2Ei2 -4Fi)2 =222'/ D2、2/ E2、2. 1222(x -) (y ) -(一”2E2 -4F2)222乘开 x 2+y2+Dix+Eiy+Fi= x 2+

9、y2+D2x+E2y+F2 ,即(D i - D2)x+(E i - E2)y +(F i - Fz)=0 .由7中的结论证明，我们可发现，对于圆方程22_x y DxEy F = 0如果P0(x0,y。)是圆外一点，过 Po作圆的切线POT,则切线长|PoT|满足P0T2 =x2 +y2 +Dx0 +Ey° +F .：I新题I】 圆工*/ + 4尸一 3-0佗到直线工+ 3 + 1 = 0的距:离为点的点共有 个.【考点翌求 本墨主要考查直蚊与圆的被花关系、晨到亶城的融岛,直微方祖鸟圈的 方程等基砒知识.【思路点梭】将SJ方程f+勤+ +4了-3 = 0化为标准方程将行+ 1下+

10、口+2> = &圆心为C-1, 一第，芈役为加幻感心身直块工十丁+1=0的鹿寓为4 =上±2±11 =J24z <z72.它说明直螳与翼惠交.且窗段的距期分身有一个点与府小点到谍直线的跑寓为漉，从 而其有3个点轲已知由战的距离为北.问题拓广1改变题设中的一些数据,将得到各种不同的答案甚至没有满足条件 的点.变I将质的方程变为1+以+寸十外+ 3 = 0,直线方程不变.则满足条件的点有 2个.XI将的方程图为健+以十V+打一4 ho,直线方程不变,则满足条件的点有4个.，变3耨直绕方程变为44 y = 3.恻的方程不变，则满足条件的点有1个，变4将直线方程

11、变为I+ N = 5,硼的方程不变，则不存在满足条件的点.以上变题条件相似.然结果返异.由此也后发我们.必须认毒区别对待每一个问霞.不 要以为似曾相识.就马为虎虎应付了之.二,【新摩2】如图8-5,平面中两条直线L和上相交于点L/。,对于平面上任意一点M,若外g分别是M到直线和G的距离，则称有序体负实数对(外G是点M的距阈坐标，已知常i_数p>。* q/U+给出下列命题:：&着力"中不0,则“距离坐标”为9,。)的点有且仅有1个；图6-5若Pq = Q，且p + grO.则"距离坐标”为.G的点有且仅有2个*若阿K0,则“题离坐标”为3,网的点有且仅有4个.上

12、述命题中，正确命题的个数是()A. 0B, 1C, 2D. 3【考点要求】本赛主要考查考生灵活运用所学如以独立分析问16身解决问题的粕力.【思踣点拨】易知当户=4=。时，即M到西曳的融离均为口的点只可鸵是两直期的 公共交点，收命超为真.方于命题工由已知p与q有且只有一个为6若a = 0,更M唾直线L上，花交点O 的两侧各有一点到J的距高为小着=6则M在直拨心上，在交点。的两则各有一点 到Li的距寓为P,因此满层条件的点各有且仅有Z个即命题为真.当户，q据不为。青.每个角肝在的区域内均有一点满足条件，故这样的点应有4个于 是命遢为真.撩上容案选D别想一下造出大海，必须先由小河川开始。成功不是只有

13、将来才有，而是从决定做的那一刻起，持续积累而成！人若软弱就是自己最大的敌人，人若勇敢就是自己最好的朋友。成功就是每天进步一点点！如果要挖井，就要挖到水出为止。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。今天拼搏努力，他日谁与争锋。在你不害怕的时候去斗牛，这不算什么；在你害怕的时候不去斗牛，这没什么 了不起；只有在你害怕的时候还去斗牛才是真正的了不起。行动不一定带来快乐，但无行动决无快乐。只有一条路不能选择-那就是放弃之路；只有一条路不能拒绝-那就是成长之 路。坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久够大声，终会把人唤醒的。只要我努力过，尽力过，哪怕我失败了，我也能拍着胸膛说：“我问心无愧。

14、,用今天的泪播种，收获明天的微笑。人生重要的不是所站的位置，而是所朝的方向。弱者只有千难万难，而勇者则能披荆斩棘；愚者只有声声哀叹，智者却有千路 万路。坚持不懈，直到成功！最淡的墨水也胜过最强的记忆。凑合凑合，自己负责。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我中考，我自信！我尽力我无悔！听从命运安排的是凡人；主宰自己命运的才是强者；没有主见的是盲从，三思 而行的是智者。相信自己能突破重围。努力造就实力，态度决定高度。把自己当傻瓜，不懂就问，你会学的更多。人的活动如果没有理想的鼓舞，就会变得空虚而渺小。安乐给人予舒适，却又给人予早逝；劳作给人予磨砺，却能给人予长久。眉毛上的汗水和眉毛下的泪水，

15、你必须选择一样！若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。相信自己我能行！任何业绩的质变都来自于量变的积累。明天的希望，让我们忘了今天的痛苦。世界上最重要的事情，不在于我们身在何处，而在于我们朝着什么方向走。爱拼才会赢努力拼搏，青春无悔！脚踏实地地学习。失去金钱的人损失甚少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。觉得自己做的到和不做的到，其实只在一念之间。人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，海绵才能吸收新的源泉。没有等出来的辉煌；只有走出来的美丽我成功，因

16、为我志在成功！记住！只有一个时间是最重要的，那就是现在。回避现实的人，未来将更不理想。昆仑纵有千丈雪，我亦誓把昆仑截。如果我们想要更多的玫瑰花，就必须种植更多的玫瑰树。没有热忱，世间将不会进步。彩虹总在风雨后，阳光总在乌云后，成功总在失败后。如果我们都去做我们能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。外在压力增强时，就要增强内在的动力。如果有山的话，就有条越过它的路。临中考，有何惧，看我今朝奋力拼搏志！让雄心与智慧在六月闪光!成功绝不喜欢会见懒汉，而是唤醒懒汉。成功的人是跟别人学习经验，失败的人是跟自己学习经验。抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。欲望以提升热忱，毅力以磨平高山。向理想出发！别忘了那个约定！自信努力坚持坚强！拼搏今朝，收获六月！成功就是屡遭挫折而热情不减！我相信我和我的学习能力！生活之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。好好使用我们的大脑，相信奇迹就会来临!我们没有退缩的选择，只有前进的使命。明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。好好扮演自己的角色，做自己该做的事。在世界的历