2011届高考数学复习好题精选 基本不等式

1、基本不等式：题组一利用基本不等式求最值1.设x、y均为正实数，且1，则xy的最小值为 ()A4 B4 C9 D16解析：由1可得xy8xy.x，y均为正实数，xy8xy82(当且仅当xy时等号成立)，即xy280，可解得4，即xy16，故xy的最小值为16.答案：D2(2009·天津高考)设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则的最小值为 ()A8 B4 C1 D.解析：是3a与3b的等比中项，()23a·3b.即33ab，ab1.此时2()224(当且仅当ab取等号)答案：B3已知不等式(xy)()9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ()A

2、8 B6 C4 D2解析：(xy)()1a·aa12 a2 1，当且仅当a·等号成立，所以()2219，即()2280，得2或4(舍)，所以a4，即a的最小值为4.答案：C4(2010·太原模拟)若直线axby20(a>0，b>0)和函数f(x)ax11(a>0且a1)的图象恒过同一个定点，则当取最小值时，函数f(x)的解析式是_解析：函数f(x)ax11的图象恒过(1,2)，故ab1，(ab)().当且仅当ba时取等号，将ba代入ab1得a22，故f(x)(22)x11.答案：f(x)(22)x11题组二利用基本不等式证明不等式5.已知a0，b

3、0，且ab2，则 ()Aab Bab Ca2b22 Da2b23解析：法一：由得ab()21，又a2b22ab2(a2b2)(ab)2a2b22.法二：(特值法)取a0，b2满足ab2，代入选项可排除B、D.又取ab1满足ab2.但ab1，可排除A.答案：C6设a、b是正实数， 以下不等式>；a>|ab|b；a2b2>4ab3b2；ab>2恒成立的序号为 ()A B C D解析：a、b是正实数，ab21.当且仅当ab时 取等号，不恒成立；ab>|ab|a>|ab|b恒成立；a2b24ab3b2(a2b)20，当a2b时，取等号，不恒成立；ab2 2 >

4、2恒成立答案：D7已知a、b、c(0，)且abc1，求证：(1)(1)(1)8.证明：a、b、c(0，)且abc1，(1)(1)(1)8.当且仅当abc时取等号题组三基本不等式的实际应用8.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0<t30)的关系大致满足f(t)t210t16，则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为)的月饼最少为 ()A18 B27 C20 D16解析：平均销售量yt1018.当且仅当t，即t4等号成立，即平均销售量的最小值为18.答案：A9某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费

5、y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处解析：设仓库建在离车站d千米处，由已知y12，得k120，y1，y28k2·10，得k2，y2d，y1y22 8，当且仅当，即d5时，费用之和最小答案：5 10(文)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 x平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价

6、最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解：(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米则总造价f(x)400×(2x)248×2x80×1621 296x12 9601 296(x)12 9601 296×2 12 96038 880(元)，当且仅当x(x>0)，即x10时取等号当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元(2)由限制条件知，10x16.设g(x)x(10x16)，由函数性质易知g(x)在上是增函数，当x10时(此时16)，g

7、(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×(10)12 96038 882(元)当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38 882元(理)为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m0)满足x3(k为常数)如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2010年该产品的利润y万元(

8、利润销售金额生产成本技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意可知，当m0时，x1(万件)，13k，k2，x3，每件产品的销售价格为1.5×(元)，2010年的利润yx·(816x)m(m1)29(元)(m0)(2)m0，(m1)28，y29821，当m1，即m3，ymax21.该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大题组四基本不等式的综合应用11.若a是b与b的等比中项，则的最大值为 ()A. B1 C. D.解析：a是b与b的等比中项，a22b2a2b22.根据基本不等式知 1.即的最大值为1.答案：B12若a，b是正常数，ab，x，y(0，)，则，当且仅当时取等号利用以上结论，函数f(x)(x(0，)取得最小值时x的值为 ()A1 B. C2