2011届高考数学 双曲线复习好题精选

1、双曲线题组一双曲线的定义及标准方程1.(2010·汕头一模)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为 ()Ax2y21 Bx2y22Cx2y2 Dx2y2解析：由题意，设双曲线方程为1(a>0)，则ca，渐近线yx，a22.双曲线方程为x2y22.答案：B2已知双曲线的两个焦点为F1(，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·0，| |·| |2，则该双曲线的方程是 ()A.y21 Bx21C.1 D.1解析：·0，MF1MF2，|MF1|2|MF2|240，(|MF1|MF2|)2|

2、MF1|22|MF1|·|MF2|MF2|2402×236，|MF1|MF2|62a，a3，又c，b2c2a21，双曲线方程为y21.答案：A题组二双曲线的几何性质3.(2009·宁夏、海南高考)双曲线1的焦点到渐近线的距离为 ()A2 B2 C. D1解析：双曲线1的焦点为(4,0)或(4,0)渐近线方程为yx或yx.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d2.答案：A4(2010·普宁模拟)已知离心率为e的曲线1，其右焦点与抛物线y216x的焦点重合，则e的值为 ()A. B. C. D.解析：抛物线焦点坐标为(4,0)，则a2716

3、，a29，e.答案：C5(2009·江西高考)设F1和F2为双曲线1(a0，b0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ()A. B2 C. D3解析：tan60°，4b23c24(c2a2)3c2c24a24e2:答案：B6(2010·广州模拟)已知点F是双曲线1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 ()A(1，) B(1,2) C(1,1) D(2,1)解析：如图，要使ABE为锐角三角形，只

4、需AEB为锐角，由双曲线对称性知ABE为等腰三角形，从而只需满足AEF<45°. 又当xc时，y，tanAEF<1，e2e2<0，又e>1，1<e<2.答案：B题组三直线与双曲线的位置关系7.(2010·西安调研)过点P(4,4)且与双曲线1只有一个交点的直线有 ()A1条 B2条 C3条 D4条解析：如图所示，满足条件的直线共有3条答案：C8设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_解析：由题意知，A(3,0)，F(5,0)，渐近线斜率k±，则直线方程为y(x5

5、)，代入1，得x，y，即B(，)，SAFB×2×.答案：题组四双曲线的综合问题9.(2010·德州模拟)P为双曲线x21右支上一点，M、N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为_解析：双曲线的两个焦点为F1(4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值为(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.答案：510(1)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2y210相交于点P(3，1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条

6、渐近线平行，求此双曲线的方程；(2)已知双曲线的离心率e，且与椭圆1有共同的焦点，求该双曲线的 方程解：(1)切点为P(3，1)的圆x2y210的切线方程是3xy10.双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，两渐近线方程为3x±y0.设所求双曲线方程为9x2y2(0)点P(3，1)在双曲线上，代入上式可得80，所求的双曲线方程为1.(2)在椭圆中，焦点坐标为(±，0)，c，又e，a28，b22.双曲线方程为1.11已知双曲线C：y21，P是C上的任意点(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的

7、最小值解：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x2y0和x2y0，点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和.它们的乘积是·.点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数(2)设P的坐标为(x，y)，则|PA|2(x3)2y2(x3)21(x)2.|x|2，当x时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为.12(文)已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·2(其

8、中O为原点)，求k的取值范围解：(1)设双曲线C2的方程为1，则a2413，c24，由a2b2c2，得b21，故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k2且k21. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x 1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又·2，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23， 由得k21，故k的取值范围为(1，)(，1)(理)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解：(1)设双曲线方程为1(a>0，b>0)由已知得a，c2.又a2b2c2，得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m2>3k21且k2. 设M(x1，y1)，N(x