2011届高三数学一轮复习 导数及其应用巩固与练习

1、巩固1设正弦函数ysinx在x0和x附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为()Ak1>k2 Bk1<k2Ck1k2 D不确定解析：选A.ysinx，y(sinx)cosx，k1cos01，k2cos0，k1>k2.2设y2exsinx，则y等于()A2excosx B2exsinxC2exsinx D2ex(sinxcosx)解析：选D.y2exsinx，y(2ex)sinx(2ex)·(sinx)2exsinx2excosx2ex(sinxcosx)3已知m<0，f(x)mx3，且f(1)18，则实数m等于()A9 B3C3 D9解析：选B.

2、由于f(x)3mx2，故f(1)18 3m18，由m<0得3m183m218m2703(m3)20，故m3.4(2009年高考福建卷)若曲线f(x)ax2lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析：f(x)2ax，x(0，)f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)0有解，即2ax0在(0，)有解，a，a(，0)答案：(，0)5如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_.解析：易得切点P(5,3)，f(5)3，k1，即f(5)1.f(5)f(5)312.答案：26若曲线yx32ax22ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，求整数a的值解：曲线yx3

3、2ax22ax，该曲线上任意点处切线的斜率ky3x24ax2a.又切线的倾斜角都是锐角，k>0恒成立，即3x24ax2a>0恒成立(4a)24×3×2a16a224a<0，0<a<.又aZ，a1.练习1已知函数f(x)sinxlnx，则f(1)的值为()A1cos1 B1cos1Ccos11 D1cos1解析：选B.因为f(x)cosx，则f(1)cos11.2一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st3t22t，那么速度为零的时刻是()A0秒 B1秒末C2秒末 D1秒末和2秒末解析：选D.st3t22t，vs(t)t23t2，令v0

4、得，t23t20，解得t11，t22.3下列求导数运算正确的是()A(x)1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cosx)2xsinx解析：选B.(x)1，A错；(3x)3xln3，C错；(x2cosx)=2xcosx-x2sinx，D错；故选B.4已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f(x)的图象大致形状是()解析：选B.设二次函数为yax2b(a<0，b>0)，则y2ax，又a<0，故选B.5曲线yx3x2在点T(1，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A. B.C. D.解析：选D.易知点T为切点，由f(1)2，故切线方程为：y2x，其

5、在两坐标轴的截距分别为，故直线与两坐标轴围成的三角形面积S××|.6(2009年高考安徽卷)设函数f(x)x3x2tan，其中0，则导数f(1)的取值范围是()A2,2 B，C，2 D，2解析：选D.f(x)sin·x2cos·x，f(1)sincos2sin()0，sin()，12sin()，27已知曲线C：ylnx4x与直线x1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是_解析：由题可解得P(1，4)，则由y4可得曲线C在P处的切线斜率为ky|x13，故切线方程为y(4)3(x1)即3xy10.答案：3xy108已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(

6、1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_.解析：由已知切点在切线上，所以f(1)2，切点处的导数为切线的斜率，所以f(1)，所以f(1)f(1)3.答案：39下列图象中，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导函数f(x)的图象，则f(1)_.解析：f(x)x22ax(a21)，导函数f(x)的图象开口向上又a0，其图象必为第三张图由图象特征知f(0)0，且a>0，a1.故f(1)11.答案：10求下列函数的导数：(1)y(1)(1)；(2)y；(3)ytanx;(4)y=xe1-cosx.解：(1)y(1)(1)xx，y(x)(x)xx.(2)y().(3)

7、y().(4)y=( xe1-cosx) =e1-cosx+x(e1-cosx) =e1-cosx+xe1-cosx·（1-cosx）=e1-cosx+xe1-cosx·sinx=(1+xsinx) e1-cosx.11.已知函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和yf(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和yf(x)相切且切点异于P的直线方程解：(1)由f(x)x33x得，f(x)3x23，过点P且以P(1，2)为切点的直线的斜率f(1)0，所求直线方程为y2；(2)设过P(1，2)的直线l与yf(x)切于另一点(

8、x0，y0)，则f(x0)3x023.又直线过(x0，y0)，P(1，2)，故其斜率可表示为，又3x023，即x033x023(x021)·(x01)，解得x01(舍)或x0，故所求直线的斜率为k3×(1)，y(2)(x1)，即9x4y10.12(2008年高考海南、宁夏卷)设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解：(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(1)(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0