相似三角形与定值问题

1、相似三角形与定值问题1、如图，已知平面直角坐标系中， A (4, 0), P为y轴负半轴上一动点， OMLAP于点M C为OA上一点，且 AO=2OC过点A和点M分别作x轴和CM的垂线相交于点 E,则当P点在y轴负半轴上运动时，OP?ME勺值是否发 生变化，若不变，求出值；若变化，求出变化范围。Ay解：连接CEMC为斜边 OA的中线，所以 MC=AC>Z 1=/ 2一/ 3=/ 4-EM=EA故CE为AM的中垂线OP易得/ 5=/1,可得 AOPAEAC；故AC2、如图，已知平面直角坐标系中，直线 yAO AO> OPX ME=AO： AC=8EA EMx 3交x轴于点A,交y轴于

2、点B, C为线段OA的中点，F为BC上一点，且CF= 1OB ,连AF并延长交y轴于点E,则2受的值是否发生OE变化,0)； C证明你的结论.(3 , 0); B (0, -3) ; FC=-;BC= 3 不2 CTFS.OB- FT 虹 FCOB OC BCVFT嗡CT= 3= f BF=BC-CF=3 (452.521)FC为乙AOF的AO边上的中线，且易得 AOF为直角三角形(/OFA=90° )10 / 7根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得/CFA=/CAF,又因为/ CAF=/EOF, / CFA= / EFB- /EFB=/EOF,A BEFA BFO BEB

3、FBF f BF2=BEX BO BE=3(3-5)BO-OE=3-BE=3 (V5 1) 一 型=1 2OE1 3、已知平面直角坐标系中，直线 yi kx k经过一定点 A,直线y2 -x 2交x轴于点B,交y轴于点C。21,过 B 点作 BDx 轴，且 BD=OC ,取 OB,AD,OC2,以 Oi (3,4)为圆心，2为半径作。(1)如图(2)如图的中点F,E,H,判断 EFH的形状并证明。yi于点巳Q,且直线yi交线段BC于点N, M 点，探究：AM ?AN 化？若不变，求其Oi交直线解：要用到中点坐标公式、两点间距离公式、两直线垂直时，kik2=-i(i) FH=J5, FE=35&

4、#39; EH=5，由勾股定理的逆定理可得， EFH为直角三角形(2)过点N作NTx轴，连接OiM并延长交x轴于点R 4 2k 5k将两直线联立起来解得 N (,)2k i 2k i一 i 3 一直线y kx k ,则与之垂直的直线 OiR的解析式为：y= -x+-4,所以R (3-4k, 0)k k_ _ _ AN显然 RtAANT RtAARMHARAT-AM?AN=AR XAT=AM4 2k(3-4k-i) (i-) = (2-4k)(2k i52ki)=i0y现给出条件：BC=CDDE=CD请你从中挑选一个条件证明：当P点运动时，PM+PN定值，并求出这个值。解：选BC=CDB （0,

5、 2 褥），A （4 4，0）显然 RtBOCsRtAOBfC0 _BOfCo=/5,即 c（.而，。）BO AOPM BP BPMsBCA-CA BC八 八 PN DP DPNADCA-CA DC + 得，PM + PN = BP + DP 又因为 BC=CD，所以 PM + PN = BP + DP = BD 2 故 PM+PN=2CA=105CA CA BC DCCA CA BC BC BC5、如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点 A和点B,且OA= OB= 1,这条曲线是函数y=工的图像在第一限内的一个分支，点P是这条曲线的任意一点，它的坐标是（

6、a, b）,由点2xP向x轴、y轴所作的垂线 PM PN （点M N为垂足）分别与直线 AB相交于点E和F。（1）求 OEF的面积（a, b的代数式表示）；（2） 4AOF与ABO既否一定相似，如果一定相似，请证明；如果不一定相似，请说明理由；（3）当点P在曲线上移动时， OEF随之变动，指出在 OEF的三个内角中，是否有大小始终保持不变的角？若有，请求出其大小；若没有，请说明理由。（答案在后面）6、如图，已知平面直角坐标系中，直线 y x 3交x轴于点B,交y轴于点C。M为第一象限内一点，且MC垂直于OC,连OM ,作CPOM点P,连BP,过P点作EP± BP交y轴于点E,问：当点

7、M运动时，CMCE的值是否发生变化，若不变求出值；若变化求出变化范围。解：显然/ CPEhOPB一CP又' CPIVh OPC> OPCE故可得CEOB/ CEP4 OBP 故4CE PCPCa APOB-OB POCMOcCM ,又因为OB=OC ,所以OCCE=CM，故 CM =1CE7、如图，以原点O为圆心，N,过N的切线交x轴于点Po273为半径的。交坐标轴于 A,B,C,D四点,M为OA上一点，BM的延长线交。于(1)若M为OA的中点，求P点坐标。解：过点N作NT ±x轴(1) M(H 0), B (0,273),得BM= ,15 ,由相交弦定理得,BM X

8、NM=CM3 15XAMR MN=-5 BOMNT MH BO OMNT TMBM6.3->NT=NM3,353.3N (、.3 56.3)5显然 RtAOTNRtANTP OTNTNTTP前+述=5/3 故5+102 '5.3P ( ， 0)2(2)由 OA=OB=3OM, f OM=2,根据勾股定理得 BM=4=2MO , 一/ OBM=30 ° ,易得 OM=MN , MNP 为(3)选E为线段BQ中点利用中点坐标公式及两点间的距离公式即可解决设Q (2a, 0),则中点E (a, J3),根据OE=24,由两点间距离公式得Va3 =243,得 a=3一E (3,

9、 J3 )MQ=4 , EQ=2 33 ,EQMQ2 ,3_ .3 OQ 6 _ .3EQ _ OQ=, -=,-= 42 BQ 4,32 MQ BQ8、已知平面直角坐标系中,B(-3, 0), A为y轴正半轴上一动点，半径为_5的。A交y轴于点G、H(点G在点2H的上方)，连接BG交。A于点Co(1)如图，当。A与x轴相切时，求直线 BG的解析式；(2)如图，若 CG=2BC,求OA的长；(3)如图，D为半径AH上一点，且 AD=1 ,过点D作。A的弦CE,连结GE并延长交x轴于点F,当。A与x轴相离时，给出下列结论：2吼的值不变；OFOG - OF的值不变。其中有且只有一个结论是正确的，请

10、(答案在后面)1分 2分当利£刊V与线段/B都相交时,如图L Sa3F = S44Al - SjkM =j- X 1 X 1 - y X 1 x (1 - a)当PMJN中有一条与A8相文.另一条与BA延长线或AB延长线相交时，如用2和BB 3.$3 " S右血 4 sM = yxlxi+yxlx(a-l)1 * - 1=-x 1 x (A - 1) > - x 1 x a «，九如 " J ； (2)A0F和AEEO一定相似. ,j 如图 1,CM = OH 1, A lOAF » LEBO .二 BE BA AE 。- j( 1 ;

11、G)，+ (l a)” .AF = BA - BF 小 7(1 -I)3 + (I -h)T -瓜T点尸是函数厂 或甥象上任意一点,一 为': Jia t Jib e 1 K 11J. 8AOF s MEO,AF OA*' OB= BE'对图2,图3,同理可江.1。分“分A LAOF s AEEO.(3)当点产在曲线上移动时，在0EF中，££0F 一定等于45上 由%.加5 are。,:.LAFO » LBOE.如朗 I .在 QBOF 中，tAF。 £80尸+ £B.而 LBOE = lBOF + 乙EOF.：. &#

12、163;EOF ,乙B = 45、 对图2,图3,同理可穆.： LEOF M 45久25.（本题14分）（1）解：:OH与工轴相切.（7/（= | f jq。, 设直线BG的解析式为：尸Mb,6 = 55则 -匚 t rt * K 1 g51| + 5 = 03.直线BG的解析式为：尸x+5. 3（2）过点C作CM工GH千点."则CM/BO.（4分）5).CC CM 2VCG=2BC, 0g,:.- =-,BG BO 39GJWr,则此和5-t，尺5一工六寸,二JMA1 或 MG7.又 CMJf BO* = .* G(y6 或 50=,GO EG 3255当 8-=彳则乂点在尸物的负并轴.不合履意故舍. 2.01工 GC6、UA"G0f AQ _ ,2fyr*1<3> 7记的值不变,其值为7.证明：连结EH.作DML£G于点N.则、：GH 为0。的直径./. ZGFO= ZG/f£= ZGPy： 乙