相似三角形的判定定理及试

1、相似三角形的判定定理及试作者:日期:方舟教育中小学课囱制导学业殍师（一）相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.2、相似三角形对应边的比叫做相似比.3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.强调：定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言:.DE/BC,&BCs/ADE;这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理.它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相

2、似”.（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。例1、已知：如图，/ 1= /= /3,求证：/XABCs/ADE.例2、如图，E、F分别是从BC的边BC上的点，DE /AB,DF /AC ,求证：那BCsREf.判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例1、2BC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB,那么zACD与MBC相似吗？说说你的理由.例2、如图，点C、D在线

3、段AB上，4PCD是等边三角形。(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，ACPs/PDB?(2)当小CPs/pDB时，求/APB的度数。判定定理3:如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.强调：有平行线时，用预备定理；已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3.但是，在选择利用判定定 理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.中小学词外世等早业号”2、直角三角形相似的判定:斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.例1、已知：如

4、图，在正方形 ABCD中，P是BC上的点，且BP = 3PC, Q是CD的中点.求证：AADQs/Qcp.例 2、如图,AB，BD,CD，BD,P 为 BD 上一动点，AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm, 当 P 点在BD上由B点向D点运动时，PB的长满足什么条件，可以使图中的两个三角形相似？请说明理由.例3、已知：AD是RtzABC中ZA的平分线，/ C=90EF是AD的垂直平分线交 AD于M , EF、BC的延长线交可点No求证：(1)£AMEs/Nmd(2)ND2=NC NB中小学承外轴号专帐尊牌方舟教育I强调:由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个

5、直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1,或两条直角边对应成比例，用判定定理 2, 一般不用判定定理3判定 两个直角三角形相似;如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形， 图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛.（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似）如图，可简单记为：在 RtABC中，CDXAB,则那BCs£BDs/acd .补充射影定理。方舟教育中小学甜HI瞪专业导师三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS (ASA)HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应

6、成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例相似三角形的几种基本图形：(1)如图：称为“平行线型”的相似三角形(2)如图：其中/ 1= Z2,则AADEs逸bc称为“相交线型”的相似三角形。如图：/1=/2, /B=/D,则AADEs逸bc,称为“旋转型”的相似三角形。、例题分析1、下列说法不正确的是（）A、 两对应角相等的三角形是相似三角形;B、两对应边成比例的三角形是相似三角形;C、三边对应成比例的三角形是相似三角形；D、以上有两个说法是正确。2、如图，DE/BC, EF/AB,则图中相似三角形有（A、 2对 B、 3对C、 4对 D、 5对3、如图，若P为BC的边AB上一点（AB>

7、AC ）,则下列条件不一定能保证 ACPs/ABC的A、ZACP= ZB B、/APC= ZACBC、ACABAPACPC ACBC AB则下列结论：BC=2DE ;DEsD、0个4、如图，在AABC中，点D、E分别是AB、AC的中点,AD ABMBC；其中正确的有 （）AE ACA、3个B、2个C、1个5、如图AD LAB于D, CE±AB于E交AB于F,则图中相似三角形的对数6、小明的身高是1.6m ,他的影长为2m ,同一时刻教学楼的影长为24m ,则教学楼的高是7、已知 AD 为 RtMBC 斜边 BC 上的高，且 AB=15cm , BD=9cm , WJ AD=CD=。8

8、、如图四，在平行四边形 ABCD中，AB = 4cm ,AD = 7cm ,ZABC的平分线交 AD于点E,交CD的延长线于点F,则DF =cm9、已知:如图，MBC中,AD=DB, /1=/2.求证：AABCs 生AD.10、已知，如图，D为BC内一点，连结 ED、AD ,以BC为边在zABC外作/CBE= BD , /BCE= /BAD求证：DBEs/ABC11、已知那BC中，AB=AC , ZA=36 ° ,BD是角平分线，求证：ABCs/bcd12、矩形ABCD中，BC=3AB , E、F,是BC边的三等分点，连结 AE、AF、AC,问图中是否 存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。13、如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接 AE、CG,AE与CG相交于点M , CG与AD相交于点N .求证：(1) AE CG ; (2) AN?DN CN?MN.110BC修一14、已知如图，/A=90,D 是 AB 上任意一点，BEXBC, /BCE= /DCA, EF±AB,求证：AD=BF15、有一块三角形的土地，它的底边 BC=100米,座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上。若大楼的宽是40米（即DE = 40米）,求这个矩形的面积。16.如图，在平行四边形ABCD中