28.2.2应用举例(1)

1、（第（第1课时）课时）人教版九年级数学人教版九年级数学( (下册下册) )第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数学习目标学习目标1 1会把实际问题转化为会把实际问题转化为解直角三角形解直角三角形问题，问题，提高数学建模能力；提高数学建模能力； 2.2.会把实际问题中的数量关系，归结为直角会把实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，通过综合运用三角形元素之间的关系，通过综合运用勾股定理勾股定理，直角三角形的，直角三角形的两个锐角互余两个锐角互余及及锐角三角函数解锐角三角函数解直角三角形，逐步培养分析问题、解决问题的能直角三角形，逐步培养分析问题、解决问题的能力力1、解直角三

2、角形指什么？、解直角三角形指什么？2、解直角三角形主要依据什么？、解直角三角形主要依据什么？222(1);abc三边之间的关系(2)90 ;AB 两个锐角之间的关系在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素两个元素( (至少有一个是边至少有一个是边) )，就可以求出另三个，就可以求出另三个未知元素的过程。未知元素的过程。（2）两锐角之间的关系）两锐角之间的关系AB90（3）边角之间的关系）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tanabBBB的邻边的对

3、边tan（1）三边之间的关系）三边之间的关系 222cbaABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：sinA=a/c=cosB sinB=b/c=cosAtanA=a/b=cotB tanB=b/a=cotA 20122012年年6 6月月1818日，日，“神舟神舟”九号载人航天飞船与九号载人航天飞船与“天宫天宫”一号目标飞行器一号目标飞行器成功实现交会对接成功实现交会对接.“.“神舟神舟”九号与九号与“天宫天宫”一号的组合体在离地球表面一号的组合体在离地球表面343343k km m的圆形轨道上运行如图，当组合体运行到地球表面的圆

4、形轨道上运行如图，当组合体运行到地球表面P P点的正上方点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P P点的距点的距离是多少（地球半径约为离是多少（地球半径约为64006400k km m，取取3.1423.142，结果保留整数）？，结果保留整数）？OQFP想一想：想一想：（1）你能根据题意，画出示意图吗？）你能根据题意，画出示意图吗？（2 2）地球是圆形的，从组合体中直接看到地球表面的最远点，实际上就是什么？）地球是圆形的，从组合体中直接看到地球表面的最远点，实际上就是什么？（视线与地球相切时的切点）（视线与地球

5、相切时的切点）（3 3）要求最远点）要求最远点Q Q与与P P点的距离点的距离, ,实际上就是求什么？实际上就是求什么？PQ( 的长）的长）（4 4）弧长的计算公式是怎样的？）弧长的计算公式是怎样的？要求弧长应该具备哪些条件？要求弧长应该具备哪些条件？ （ . 应具备应具备n、R两个条件）两个条件）（5 5）怎样求圆心角）怎样求圆心角n n呢？呢？（构造直角三角形，用锐角三角函（构造直角三角形，用锐角三角函数求圆心角数求圆心角n）解：在右图中，设解：在右图中，设POQ，FQ是是 O的切线，的切线，FOQ是直角三角形是直角三角形 当飞船在当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离点正上方

6、时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约点约2051km.OQFP PQ的长为：的长为：20122012年年6 6月月1818日，日，“神舟神舟”九号载人航天飞船与九号载人航天飞船与“天宫天宫”一号目标飞行器一号目标飞行器成功实现交会对接成功实现交会对接.“.“神舟神舟”九号与九号与“天宫天宫”一号的组合体在离地球表面一号的组合体在离地球表面343343k km m的圆形轨道上运行如图，当组合体运行到地球表面的圆形轨道上运行如图，当组合体运行到地球表面P P点的正上方点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P P点

7、的距点的距离是多少（地球半径约为离是多少（地球半径约为64006400k km m，取取3.1423.142，结果保留整数）？，结果保留整数）？分析分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点是视线与地球相切时的切点 如图，如图，O O表示地球，点表示地球，点F F是组合体的是组合体的位置，位置，FQFQ是是O O的切线，切点的切线，切点Q Q是从组合体是从组合体中观测地球时的最远点中观测地球时的最远点 的长就是地面的长就是地面上上P P、Q Q两点间的距离，为计算两点间的距离，为计算 的长需的长需先求出先求出POQPOQ（即（即a

8、 a）的度数）的度数. . PQ PQ 仰角、俯角仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。 在进行测量时，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角. .热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30，看这栋楼底部的俯看这栋楼底部的俯 角为角为60，热气球与楼的水平距离为，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？这栋楼有多高（

9、结果取整数）？ABCD仰角仰角水平线水平线俯角俯角视线在水平线下方的角叫做视线在水平线下方的角叫做俯角俯角. .测量时，视线与水平线所成的角中，测量时，视线与水平线所成的角中，铅铅直直线线视线视线视线视线水平线水平线仰角仰角俯角俯角视线在水平线上方的角叫做视线在水平线上方的角叫做仰角仰角；理解：理解：仰角和俯角仰角和俯角分析：分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，是俯角，因此，在图中，=30=30, ,=60=60 在在RtRtABDABD中，中，=

10、30=30，ADAD120120，可以利用解直，可以利用解直角三角形的知识求出角三角形的知识求出BDBD； 类似地，类似地，在在RtACD中，中， = 60 ，AD120，可以利用解直角三角形的知识求出可以利用解直角三角形的知识求出CD； 最后，求出最后，求出BCBCABCD热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30，看这栋楼底部的俯看这栋楼底部的俯 角为角为60，热气球与楼的水平距离为，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？这栋楼有多高（结果取整数）？想一想：想一想：（1）你能根据题意，画出几何图形吗？）你能根据

11、题意，画出几何图形吗？（2 2）在右图中，已知什么？求什么？）在右图中，已知什么？求什么？ （3 3）怎样求）怎样求BCBC的长呢？其依据是什么？的长呢？其依据是什么？120m解：如图，解：如图，= 30,= 60，AD120答：这栋楼高约为答：这栋楼高约为277m.ABCD120m热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30，看这栋楼底部的俯看这栋楼底部的俯 角为角为60，热气球与楼的水平距离为，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？这栋楼有多高（结果取整数）？在平地上一点在平地上一点C，测得山顶，测得山顶A的仰角

12、为的仰角为30，向山沿直线，向山沿直线前进前进20米到米到D处，再测得山顶处，再测得山顶A的仰角为的仰角为45，求山高，求山高AB ？解：根据题意，得解：根据题意，得ABBC，ABC90ADB45，ABBDBCCDBD20AB在在RtABC中，中，C30BCABC tan30tan3320ABAB10310ABAB10 3 10答：山高为米.教师指导：教师指导：ABCD利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤: :1.1.将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形, ,构造构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三

13、角形问题；直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题；2.2.根据条件的特点根据条件的特点, ,适当选用锐角三角函数等去解直角适当选用锐角三角函数等去解直角三角形三角形; ;3.3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案; ;4.4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案. . 1、 建筑物建筑物BCBC上有一旗杆上有一旗杆ABAB，由距，由距BC40mBC40m的的D D处处观察旗杆顶部观察旗杆顶部A A的仰角的仰角6 60 0，观察底部，观察底部B B的仰角为的仰角为4545，求旗杆的高度，求旗杆的高度. .ABCD40m5045ABCD40m5045解：解：在等腰三角形在等腰三角形BCDB

14、CD中，中，ACDACD=90=90，BC=DC=40mBC=DC=40m在在RtACD中，中，所以所以AB=ACAB=ACBC=40 BC=40 4040答：棋杆的高度为答：棋杆的高度为 40 40 4040 m.m.DCACADC tanAC40tan60=40 （m)又又BCDC当堂检测：当堂检测：333 3.如图如图2，某飞机于空中某飞机于空中A处探测到处探测到目标目标C，此时飞行高度，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看到地面指挥台从飞机上看到地面指挥台B的俯角的俯角=1631，则飞机，则飞机A与指挥台与指挥台B的距的距离为离为 .(结果取整数结果取整数) 图图1 2.如图如图1

15、，已知楼房，已知楼房AB高为高为50m，铁塔塔基距楼房地，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离基间的水平距离BD为为100m，塔高，塔高CD为为 m，则下面结论中正确的是（则下面结论中正确的是（ ）A由楼顶望塔顶仰角为由楼顶望塔顶仰角为60B由楼顶望塔基俯角为由楼顶望塔基俯角为60C由楼顶望塔顶仰角为由楼顶望塔顶仰角为30 D由楼顶望塔基俯角为由楼顶望塔基俯角为301003(50)3C图图2ABC12004221m当堂检测：当堂检测： 4. 4.如图如图1 1，从地面上的，从地面上的C C，D D两点测得树顶两点测得树顶A A仰角分仰角分别是别是4545和和3030，已知，已知CD=200mCD=2

16、00m，点，点C C在在BDBD上，则树高上，则树高ABAB等于等于 （保留根号）（保留根号）100( 31)m 5. .如图如图2 2，从热汽球，从热汽球C C处测得地面处测得地面A A，B B两地的俯角分两地的俯角分别为别为3030和和4545，如果此时热汽球，如果此时热汽球C C处的高度处的高度CDCD为为100m100m，点点A A，D D，B B在同一直线上，则在同一直线上，则A A，B B两点的距离是（两点的距离是（ ） A A、200m B200m B、200 m200 m C C、220 m D220 m D、100100（ 1 1）m333图图1图图2BDAC3045D D当

17、堂检测：当堂检测： 6、如图，一艘核潜艇在海面如图，一艘核潜艇在海面DFDF下下600600米米A A点处测得俯角点处测得俯角为为3030正前方的海底正前方的海底C C点处有黑匣子，继续在同一深度直线点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行航行14641464米到米到B B点处测得正前方点处测得正前方C C点处的俯角为点处的俯角为4545. .求海底求海底C C点处距离海面点处距离海面DFDF的深度（结果精确到个位，参考数据：的深度（结果精确到个位，参考数据： 1.4141.414， 1.7321.732， 2.2362.236） 235E解：解：作作CEABCEAB，交线段，交线段ABAB的延的

18、延长线于长线于E.E.由题意知：由题意知： AB AB14641464，EACEAC 3030， CBECBE 4545. .在在RtACE中，中，tan 30331464xxAECExx3314643整理得：mx200013732）（解得：点点C深度约为深度约为20006002600米米.设设CEx米，则米，则BEx米米.练习练习一一. .利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤: : 1. 1.将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形, ,构造构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形；直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形； 2. 2.根据条件的特点根据条件的特点, ,适当选用锐角三角函数去解直角适当选用锐角三角函数去解直角三角形：有三角形：有“斜斜”用用“弦弦”; ; 无无“斜斜”用用“切切”； 3. 3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案; ; 4. 4.得到实际问题的答案得到