第四章相似理论和量纲分析PPT课件

1、 第四章第四章 相似理论和量纲分析相似理论和量纲分析4 -2 定定 理理 和和 量量 纲纲 分分 析析 的的 应应 用用4 1 相相 似似 原原 理理 第四章第四章 相似理论和量纲分析相似理论和量纲分析 相似理论和量纲分析法是指导流体力学实验相似理论和量纲分析法是指导流体力学实验的理论基础（包括科学地设计组织实验及整理实的理论基础（包括科学地设计组织实验及整理实验结果）验结果） 。工程流体力学实验的两种类型：工程流体力学实验的两种类型：1、工程性的模型实验、工程性的模型实验预测即将建造的大型机预测即将建造的大型机 械或水工结构上的流体流动情况。械或水工结构上的流体流动情况。2、探索性的观察实验

2、、探索性的观察实验寻找未知的流动规律。寻找未知的流动规律。 指导第一类实验的理论基础是相似原理，后者指导第一类实验的理论基础是相似原理，后者则要借助于量纲分析法。则要借助于量纲分析法。4-1 相似原理（应用于模型实验）相似原理（应用于模型实验）一、力学相似的基本概念一、力学相似的基本概念力学相似力学相似 实物流动实物流动与与模型流动模型流动在对应点上的在对应点上的 对应对应（同名）（同名）物理量都应该具有固物理量都应该具有固 定的比例关系。定的比例关系。 几何相似几何相似 力学相似力学相似 运动相似运动相似 动力相似动力相似1、几何相似、几何相似 模型流动与实物流动有相似模型流动与实物流动有相

3、似 的边界形状，且一切对应的的边界形状，且一切对应的 线性尺度成比例。线性尺度成比例。则则 : 线性比例尺线性比例尺 (基本比例尺之一基本比例尺之一) (几何相似常数几何相似常数)lll 222lAllAA 333lVllVV 面积比例尺：面积比例尺：体积比例尺：体积比例尺：2、运动相似、运动相似 两个流动对应点、对应时刻两个流动对应点、对应时刻 的流动速度方向都一致，大的流动速度方向都一致，大 小都成同一比例。小都成同一比例。则则 : 速度比例尺速度比例尺 ( 基本比例尺之二基本比例尺之二 ) : 时间比例尺：时间比例尺： 加速度比例尺：加速度比例尺：（速度比例常数）（速度比例常数）vvv

4、vltvlvltt lvtvatvtvaa 2 流量比例尺流量比例尺：运动粘度比例尺：运动粘度比例尺：vltlqtltlqq 2333 vltltl 223、动力相似、动力相似 两个流动在对应点上，对应瞬两个流动在对应点上，对应瞬 时，质点受到同种性质的外力时，质点受到同种性质的外力 作用，且对应的同名力方向相作用，且对应的同名力方向相 同，大小成同一比例。同，大小成同一比例。 其他动力学比例尺均可按照物理量的定义或量其他动力学比例尺均可按照物理量的定义或量纲由上述三个基本比例尺（纲由上述三个基本比例尺（ l ， v ， ）确定）确定 。则则 : 密度比例尺密度比例尺 ( 基本比例尺之三基本比

5、例尺之三 ) : （密度比例常数）（密度比例常数）如：质量比例尺：如：质量比例尺： 力比例尺：力比例尺：上式中各同名力分别为压力上式中各同名力分别为压力P、粘性力、粘性力F、重力、重力G、惯性力、惯性力 I。对于惯性力根据牛顿定律有：对于惯性力根据牛顿定律有：I m a故：故：压强比例尺：压强比例尺：3lmVVmm IIGGFFPPF 2223vllvlamFammaII 2vAFpAPAP 动力粘度比例尺：动力粘度比例尺：注意：注意：无量纲系数的比例尺无量纲系数的比例尺: c 1 单位质量重力的比例尺：单位质量重力的比例尺： g 1vl 二、相似准则二、相似准则 两流动力学相似，则必须满足动

6、力相似。而两流动力学相似，则必须满足动力相似。而动力相似又可以用相似准则（力学相似准则，力动力相似又可以用相似准则（力学相似准则，力学相似判据，相似准数）的形式来表示。学相似判据，相似准数）的形式来表示。 即：同名即：同名相似准数相似准数相等。相等。1、重力相似判据（佛劳德准则）、重力相似判据（佛劳德准则） 流体所受重力为流体所受重力为 G mg Vg 即：即： l2 v2 l3 g GGIIF 佛劳德准则（重力相似判据）佛劳德准则（重力相似判据）佛劳德相似准数佛劳德相似准数（佛劳德准数）（佛劳德准数）lgvglv 22整理得：整理得： 或：或：定义：定义：则：则：12 lgv Frglv2r

7、FFrdydvAF FFIIF lvlvl 222 2、粘性力相似判据（雷诺判据）、粘性力相似判据（雷诺判据） 作用于流体上的粘性力作用于流体上的粘性力 即即 ：雷诺相似准数雷诺相似准数 (雷诺数雷诺数)11 lvlv lvvlRevl 定义：定义：整理得：整理得：或：或：则：则： Re Re 雷诺准则雷诺准则 (粘性力相似判据粘性力相似判据)即：即： l2 v2 p l2PPIIF 3、压力相似判据（欧拉准则）、压力相似判据（欧拉准则） 作用在流体上的压力作用在流体上的压力 P p A整理得：整理得：定义：定义：则：则：Eu Eu 欧拉准则欧拉准则(压力相似判椐压力相似判椐) 欧拉相似准数欧

8、拉相似准数(欧拉数欧拉数) 以上三个准则称为实际以上三个准则称为实际(粘性粘性)不可压缩流体不可压缩流体定常流动的力学相似准则。定常流动的力学相似准则。2221vpvpvp 或：Euvp2三、近似准则（近似相似）三、近似准则（近似相似） 完全相似必须保持下列三个相互制约关系：完全相似必须保持下列三个相互制约关系： v2 g l v l p v2 这是相当困难甚至不可能的。这是相当困难甚至不可能的。例如：由式得例如：由式得 ： v l 1/2 （ g 1） 由式得由式得 ： l 1/2 l l 3/2 上述关系很难满足。上述关系很难满足。又如：若两流动使用同一种介质，又如：若两流动使用同一种介质

9、， 温度相同时：温度相同时： 1 由佛劳德准则有由佛劳德准则有 ： v l1/2 二者矛盾，不可能同时满足。二者矛盾，不可能同时满足。由雷诺准则有：由雷诺准则有：lv1近似准则法：近似准则法： 根据具体问题，抓住支配流动的主要矛盾，根据具体问题，抓住支配流动的主要矛盾，忽略次要因素，选择决定性相似准则（主要相似忽略次要因素，选择决定性相似准则（主要相似准则准则 ），设计模型实验（流动）。），设计模型实验（流动）。1 1、佛劳德准则作为决定性相似准则。、佛劳德准则作为决定性相似准则。 用于水利工程及明渠等无压流动中。用于水利工程及明渠等无压流动中。 此类流动都是以水位落差形式表现的重力为此类流动

10、都是以水位落差形式表现的重力为主要矛盾，支配流动。主要矛盾，支配流动。2 2、雷诺准则作为主要相似准则、雷诺准则作为主要相似准则 用于有压管流和大气中物体的运动等情况。用于有压管流和大气中物体的运动等情况。流体克服粘性摩擦而流动，粘性力决定流动的性流体克服粘性摩擦而流动，粘性力决定流动的性质。质。四、模型流动的设计与数据换算（举例）四、模型流动的设计与数据换算（举例）例：在设计高例：在设计高h = 1.5 m，最大速度为，最大速度为 v= 200km/h的轿车时，需要确定其在公路上以此速度行驶时的轿车时，需要确定其在公路上以此速度行驶时的正面空气阻力。拟在风洞中进行模型实验，并的正面空气阻力。

11、拟在风洞中进行模型实验，并假定风洞实验气流的温度与公路上行驶时的温度假定风洞实验气流的温度与公路上行驶时的温度相同。若风洞中模型流动的气流速度设计为相同。若风洞中模型流动的气流速度设计为v =83m/s，求模型实验中的轿车高度，求模型实验中的轿车高度h ；在；在的的条件下和所求车身高度，若测得模型实验正面空条件下和所求车身高度，若测得模型实验正面空气阻力气阻力F =1000N，求实物汽车在公路上以最大，求实物汽车在公路上以最大速度速度 200 km/h 行驶时，所受空气阻力行驶时，所受空气阻力 F 为多少？为多少？解：解：(1) 影响汽车所受阻力的因素主要是粘性力，影响汽车所受阻力的因素主要是

12、粘性力，应以雷诺准则作为决定性相似准则。应以雷诺准则作为决定性相似准则。即应使即应使eRRe或或 lvvl因两流动是同种介质，且同温度，应有：因两流动是同种介质，且同温度，应有：1将将 v = 200 km/h ， l = h = 1.5 m ，v = 83 m/s 代入雷诺准则式代入雷诺准则式则模型实验中轿车的设计高度应为：则模型实验中轿车的设计高度应为：mvvllh 18336005 . 1102003 (2)FFF22vlF模型设计时已知：模型设计时已知：1（同温度下的同种介质）（同温度下的同种介质）5 . 115 . 1hhl67. 0833600102003vvv则：则：167. 0

13、5 . 1122F可得实物汽车上的正面阻力为：可得实物汽车上的正面阻力为：NFFF 10004 - 2 定理和量纲分析的应用定理和量纲分析的应用 量纲分析的目的是找出影响某一流动现象量纲分析的目的是找出影响某一流动现象（过程）的各个变量（因素），把它们加以合理（过程）的各个变量（因素），把它们加以合理的组合，写成无量纲数的形式，从而把物理过程的组合，写成无量纲数的形式，从而把物理过程中各变量间的关系，概括地表示在由这些无量纲中各变量间的关系，概括地表示在由这些无量纲数组成的函数关系式中，同时指明实验方法，并数组成的函数关系式中，同时指明实验方法，并使得实验中所需测量和处理的变量数减少。使得实验

14、中所需测量和处理的变量数减少。 定理是广泛应用于量纲分析的一种方法。定理是广泛应用于量纲分析的一种方法。一、一、量纲和谐性原理量纲和谐性原理 一个物理现象（或物理过程）用能正确反映一个物理现象（或物理过程）用能正确反映其客观规律的物理方程表示时，方程中的每一项其客观规律的物理方程表示时，方程中的每一项的量纲应该是和谐的、一致的。的量纲应该是和谐的、一致的。 若将物理方程中的各项的量纲均用基本量纲若将物理方程中的各项的量纲均用基本量纲的幂次式表示，则各项的基本量纲必须齐次。称的幂次式表示，则各项的基本量纲必须齐次。称为物理方程的量纲齐次性原理。为物理方程的量纲齐次性原理。此原理是量纲分析法的理论

15、依据。此原理是量纲分析法的理论依据。二二、 定理定理 设影响某一个物理过程或某一物理现象设影响某一个物理过程或某一物理现象 N 的的 k 个因素个因素 (物理量、变量物理量、变量) 为为 n1，n2， ，ni， ，nk，则此物理现象可用函数式表示为：，则此物理现象可用函数式表示为： 若从这（若从这（k+1）个物理量中确定出三个物理）个物理量中确定出三个物理量量 n1，n2，n3 作为基本物理量，则这个物理现作为基本物理量，则这个物理现象可以用由（象可以用由（k+1）个物理量构成的（）个物理量构成的（k+1 3）个无量纲参数个无量纲参数 i 表达的函数关系式来描述。表达的函数关系式来描述。即：即

16、： f ( 4， 5 ， i ， k )kinnnnfN,.,.,21三个基本物理量必须满足的要求：三个基本物理量必须满足的要求：基本物理量的量纲应该是各自独立的，且包基本物理量的量纲应该是各自独立的，且包含基本量纲含基本量纲 M、L、T。其余其余（k+1 3）个物理量）个物理量的量纲都可以由这的量纲都可以由这 三个基本物理量的量纲表示（导出）。三个基本物理量的量纲表示（导出）。应用应用 定理进行定理进行量纲分析的步骤：量纲分析的步骤： 找出影响流动找出影响流动( (物理物理) )现象现象( (规律规律) )N 的全部的全部 k 个个物理量，将物理现象写成一般函数关系物理量，将物理现象写成一般

17、函数关系 式：式： kinnnnfN,.,.,21 从从 k 个物理量中选出个物理量中选出 3 个符合要求（包含不个符合要求（包含不同基本量纲）的物理量作为基本物理量（一般选同基本量纲）的物理量作为基本物理量（一般选 l、v、 ，分别包含长度、时间和质量）。，分别包含长度、时间和质量）。 用这三个用这三个基本物理量的组合（通常是这三基本物理量的组合（通常是这三个变量指数乘积的形式）依次与其余的个变量指数乘积的形式）依次与其余的（k+1 3）个物理量中）个物理量中的任一个一起组成的任一个一起组成（k+1 3）个）个无无量纲的量纲的 项。项。即：即： zyxnnnN321iiizyxiinnnn3

18、21 ；式中：式中：n1、n2、n3 为为基本物理量。基本物理量。 i 4, , 5, , , , k 确定确定无量纲无量纲的的 项中的各项中的各指数指数写出各变量的量纲，列出写出各变量的量纲，列出量纲关系式，依据量量纲关系式，依据量纲和谐性原理，比较各关系式等式两边基本量纲和谐性原理，比较各关系式等式两边基本量纲的因次（指数），列出代数方程式，解出纲的因次（指数），列出代数方程式，解出各各变量变量的的指数指数xi、yi、zi ，代入上述，代入上述（k+1 3）个无）个无量纲量纲 项。项。 将将（k+1）个物理量之间的待求）个物理量之间的待求函数关系函数关系式改写成式改写成（k+1 3）个无量

19、纲）个无量纲 项之间的待项之间的待求求函数关系式：函数关系式： f ( 4， 5， i ， k ) 应用量纲分析法，除可得到反映流动现象应用量纲分析法，除可得到反映流动现象的具体函数关系式外，还可将独立变量的个数的具体函数关系式外，还可将独立变量的个数减少减少 3 个，从而大大地简化实验过程（因使所个，从而大大地简化实验过程（因使所需测量和处理数据的变量数减少）。需测量和处理数据的变量数减少）。三、量纲分析法的应用（举例）三、量纲分析法的应用（举例）例：试用量纲分析（例：试用量纲分析（ 定理）定理）法推出管中流动法推出管中流动 的沿程水头损失的表达形式。的沿程水头损失的表达形式。 经实际观察和

20、初步分析知道，流体在水平经实际观察和初步分析知道，流体在水平等径直圆管中的流动，由于沿程粘性摩擦而造成等径直圆管中的流动，由于沿程粘性摩擦而造成的两点间的压强降（压强差）的两点间的压强降（压强差） p 与下列因素有与下列因素有关：管径关：管径 d ，两点间的管长，两点间的管长 l ，管壁粗糙度，管壁粗糙度 ，管内流体的密度管内流体的密度 ，流体的动力粘度，流体的动力粘度 ，以及，以及管流的断面平均流速管流的断面平均流速 v ，求，求 p 及及 hf表达式表达式。解：解： 各变量（因素）与各变量（因素）与 p 的函数关系可以的函数关系可以 下式表示：下式表示： p = f（ d，v， ， ，l，

21、 ） 上式中上式中 k = 6，从中选出三个基本物理量，从中选出三个基本物理量 d，v， ，按，按 定理，这（定理，这（k+1）个有量纲物理量之间的待）个有量纲物理量之间的待求求函数关系式就可转换成函数关系式就可转换成（k+1 3）个无量纲参数）个无量纲参数之间的待求之间的待求函数关系式：函数关系式： f ( 4， 5， 6 ) 选用选用 M，L，T 为基本量为基本量纲。除三个基本物理量外，纲。除三个基本物理量外，其余其余（k+1 3）= 4 个变量个变量（导出（导出物理量）物理量） p， ，l， 均可由均可由三个基本物理量的三个基本物理量的指数乘积形式来表示指数乘积形式来表示 6666zyx

22、vdzyxvdp4444zyxvd5555zyxvdl 以上各式中以上各式中 xi ，yi ，zi 为待定指数。为待定指数。写出每个物理量的量纲：写出每个物理量的量纲： p =ML 1T 2 d =L v =LT 1 =ML 3 =ML 1T 1 =L l =L将各含有无量纲参数的方程写成量纲关系式：将各含有无量纲参数的方程写成量纲关系式： 0003121TLMMLLTLTMLzyx 00031114444TLMMLLTLTMLzyx 000315555TLMMLLTLLzyx 000316666TLMMLLTLLzyx 依据量纲和谐性原理依据量纲和谐性原理,由上述第一式可得由上述第一式可得:

23、 M: 1 z = 0 L: x + y 3z +1= 0 T: y 2 = 0解此代数方程组得解此代数方程组得: x = 0, y = 2, z = 1则则:2vp 又由上述第二式可得又由上述第二式可得: M: 1 z4 = 0 L: x4 + y4 3z4 + 1 = 0 T: y4 1 = 0解此代数方程组得解此代数方程组得: x4 =1 , y4 = 1 , z4 = 1所以：所以：Re14dvvd用同样的方法可解得：用同样的方法可解得：dl 5 d 6 将各将各 值代入，前述无量纲参数之间的待求值代入，前述无量纲参数之间的待求函函 数关系式变为：数关系式变为：ddlfvp,Re2所以：所以：2222vdld,Refvdlp 最后写出沿程水头损失的函数关系式：最后写出沿程水头损失的函数关系式：gvdlgphf22 达西公式达西公式 d,Ref 式中：式中：沿程阻力系数沿程阻力系数 小小 结结 本章主要介绍了相似原理和量纲分析。本章主要介绍了相似原理和量纲分析。 在设计模型流动实验时，需要使模型流动与实物流动具在设计模型流动实验时，需要使模型流动与实