231向量的数量积的物理背景及定义(精)

1、山东省垦利一中数学讲学稿一一平面向量 1 2.3.1 向量的数量积的物理背景及定义 教学目标： 掌握平面向量的数量积的定义及其物理意义 教学重点： 平面向量的数量积的定义 教学过程： 、复习引入： 向量有着深刻的物理背景， 如前面学习过的力、 位移、速度，向量的加法与力的合成等, 今天我们研究向量的另一种物理背景及由此得出的另一种向量运算 -数量积。 、讲解新课： 1、 力做的功： W = | F|s|cos 二 堤 F 与 s 的夹角 2、 两个非零向量夹角的概念 已知两个非零向量a与b， _ 称作向量a与向量b的夹角. (2 )当0 =0时，2与b同向，当B = n时，3与b反向; (3)

2、当0 =时，a与b垂直，记a丄b，规定零向量与任意向量垂直; 2 3、向量在轴上的正射影： 4 T 彳 定义：已知向量a和轴丨，作OA=a，过点 O, A 分别作轴丨的垂线，垂足分别为 O,、A，则向 量叫做向量a,在轴丨上的正射影。 (1)向量a在轴丨上的正射影，称作a在轴丨上的数量或在轴的方向上的数量，记作 a,lcos： (2)射影的坐标是数量，当动锐角时正射影为 _ ;当 7 为钝角时正射影为 _ ；当 动直角 时正射影为 _ ;当二=0 时正射影为 _ ;当二=180 时正射影为 _ 记作 _ 说明：(i)两向量的夹角的范围是 0,二, 山东省垦利一中数学讲学稿一一平面向量 2 4、

3、平面向量数量积(内积)的定义:山东省垦利一中数学讲学稿一一平面向量 3 5、两个向量的数量积的性质: b| w I a | b | 3 a a = |a |2 或 |齐、扌 三、经典例题 例 1：已知轴I 练习 1：已知a=5,b=4, a与b的夹角为30，则a在b方向上的正射影的数量为 _ b在a方向上的正射影的数量为 _ 例 2：已知 a =5, b =4, ：a,b =120求 a.b 练习 2： 1：已知 a (1) a =8, J, b, vXb ，求 h b 詡，：a,b =60 (2) a =7, b =12, ： a,b 2=120 已知两个非零向量a与b，则数量 叫a与b的数

4、量积，记作a b, 即有a b ，并规定与设a、b为两个非零向量，e是与 b同向的单位向量 1 e a = a e =|a|cos：.a,b 4 cos a, b = a b |a|b| (1)向量 OA,l = 60 求OA在丨上的正射影的数量 OA (2)向量 OA =5, ：.OA,I ； -120，求OA在丨上的正射影的数量 OA 山东省垦利一中数学讲学稿一一平面向量 4 练习；O 为ABC的所在平面内一点，且 (3)a =4,b =2, ：a,b g9o 2：已知 a.b , a(b，。求 a,b (i)a b=5a|b =10 (2) a b =8, aib =16 例 3：已知单

5、位向量的夹角为60，求向量才=2 e2与b = 2ei-3e2的夹角二 练习 3：已知a =5, b=4,且a b = 10，求向量a与b的夹角9 例 4：求证 ABC的三条高交于一点 (4)昌0=沁,曲眄=12 (4) a =4, b = 1, ： kb = 0 求证AB OC 山东省垦利一中数学讲学稿一一平面向量 5 五小结: 六课堂练习：第 115 页练习 A、B 七课后作业：导学大课堂78 页 练习 厂 4*4 4 4 1已知|a|=i,|b |= 、. 2,且（a-b）与a垂直，则a与b的夹角是（ ） A.60 B.30 C.135 D. 4 5 2.已知才；均为单位向量，他们的夹角

6、 60为那么昌+3总等于 A. . 7 B.、10 C.、13 D.4 3.已知a,b为非零向量且满足（a-2b） _a,（b-2a）_ b，则则a与b的夹角是 A.60 B.30 C.120 D.150 T T T 呻呻 彳呻呻呻 4. 在二 ABC 中，若 BC = a, CA = b, AB = c 且 a b = b c = c a 则二 ABC 的形状为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.均不正确 I t I 5. 已知a与?的夹角是 120艮=3, a则b等于 A.5 B.4 C.3 D.1 6.在 ABC中.A,B, C的对边分别为a,b,c,a =3,b =d,c=3,则BC CA等于 3 1 1 B. C. D. A.3G 4 7.已知在 LI ABCD 中, 山东省垦利一中数学讲学稿一一平面向量 6 2 2 2 AB=a , BC=b且a=|b则BD与BC位置关系 _ 则ABC的形状为 9.若向量a,b,c满足a+b+c=0且a =3卜 g 则ac+bc+ca 10.以知平面内三点