复数代数形式的四则运算

1、3.2 复数代数形式的四则运算 ，其中，其中a叫做复数叫做复数 的的 、b叫叫做复数做复数 的的 . 全体复数集记为全体复数集记为 .1.对对虚数单位虚数单位i 的规定的规定 i 2= -1;i 可以与实数一起进行四则运算可以与实数一起进行四则运算,并且加、并且加、乘法运算律不变乘法运算律不变.2. 我们把形如我们把形如a+b i(其中其中 )的数的数 a、b R称为称为 复数, 记作记作：z=a+biz z实部实部z z虚部虚部C0000)0()0(bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数)00()00()0()0(bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数3. 由于由于i2= = -1，知，知

2、i为为-1的一个的一个 、-1的另一个的另一个 ;一般地，一般地，a(a0)的平方根为的平方根为 、(-i)2平方根平方根平方根为平方根为-ia ia - a (a0)的平方根为的平方根为显然显然,实数集实数集R是复数集是复数集C的真子集的真子集,即即R C. 5. 两个两个复数相等设设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d R),则则 z1=z2 , dbca即即实部等于实部实部等于实部,虚部等于虚部虚部等于虚部.特别地，特别地，a+bi=0 .a=b=0注意注意:一般地一般地,两个复数只能说相等或不相等两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小而不能比较大小.思考思考:对于任意的两

3、个复数到底能否比较大小对于任意的两个复数到底能否比较大小?答案答案:当且仅当两个复数都是实数时当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小才能比较大小.即即:若若z1z2 z1,z2R且且z1z2.复数的四则运算复数的四则运算 复数的加法、减法、乘法运算与实复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别数的运算基本上没有区别，最主要的最主要的是在运算中将是在运算中将i21结合到实际运算过结合到实际运算过程中去程中去。 idbcadicbia 即即:两个复数相加两个复数相加(减减)就是就是实部与实部实部与实部,虚部与虚部与虚部分别相加虚部分别相加(减减).已知两复数已知两复数z1=a+bi,

4、z2=c+di（a,b,c,d是实数）是实数） 即即: :两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是就是 实部与实部实部与实部, ,虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).).(1)加法法则加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则减法法则：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi i )(c+di i) = (ac) + (bd)i i例例.计算计算)43 ()2()65 (iii解解:iiiii11)416()325()43()2()65(xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z z1 1+ z+ z2 2=OZ=OZ

5、1 1 +OZ+OZ2 2 = OZ= OZ符合向量加法符合向量加法的平行四边形的平行四边形法则法则.口诀：口诀：起点相同，起点相同，对角为和对角为和。1.1.复数复数加法加法运算的几何意义运算的几何意义? ?xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数复数z2z1向量向量Z1Z2符合向量减法符合向量减法的三角形法的三角形法口诀：口诀：共起点，共起点，连终点，连终点，指向被减指向被减2.2.复数复数减法减法运算的几何意义运算的几何意义? ?表示复平面上两点表示复平面上两点Z Z1 1 ,Z,Z2 2的距离的距离(1)|z(1)|z(1+2i)|(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|(2)|z+(1

6、+2i)| 已知复数已知复数z z对应点对应点A,A,说明下列各说明下列各式所表示的几何意义式所表示的几何意义. .点点A A到点到点(1,2)(1,2)的距离的距离点点A A到点到点( (1, 1, 2)2)的距离的距离(3)|z(3)|z1|1|(4)|z+2i|(4)|z+2i|点点A A到点到点(1,0)(1,0)的距离的距离点点A A到点到点(0, (0, 2)2)的距离的距离1 1、|z|z1 1|= |z|= |z2 2| |平行四边形平行四边形OABCOABC是是2 2、| z| z1 1+ z+ z2 2| |= = | z | z1 1- z- z2 2| |平行四边形平行

7、四边形OABCOABC是是3 3、 |z|z1 1|= |z|= |z2 2| |，| z| z1 1+ z+ z2 2| |= = | z | z1 1- z- z2 2| |平行四边形平行四边形OABCOABC是是z1z2z1+z2oz2-z1ABC菱形菱形矩形矩形正方形正方形3、复数加减法的几何意义应、复数加减法的几何意义应用用2 2、复数的乘法法则：、复数的乘法法则： 设设 ， 是任意两个复数，是任意两个复数，那么它们的积那么它们的积biaz 1dicz 2任何任何 ，Czzz 321,交换律交换律1221zzzz 结合律结合律)()(321321zzzzzz 分配律分配律312132

8、1)(zzzzzzz ibcadbdacdicbia)()( 3、复数的乘方：、复数的乘方：对任何对任何 及及 ，有，有Czzz 21, Nnm,nmnmzzz mnnmzz )(nnnzzzz2121)( 12 iiiii 23134 iiiiiii 1特殊的有：特殊的有：iiiiiinnnn 3424144, 1, 1一般地，如果一般地，如果 ，有，有 NnnZ例例.计算计算)2)(43)(21 (iii解解:iiiiii1520)2)(211()2)(43)(21 (复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须但必须在所得的结果中把在所得的结果中把i2换成换成

9、-1,并且把实部合并并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数两个复数的积仍然是一个复数.22.:()()( ,).abi abiab a bR例证明两个复数的和与积都是实数的充要条件是,这两个复数互为共轭复数. :a-biZ在复平面内在复平面内,如果点如果点Z表示复数表示复数 z ,点点 表表示复数示复数 ,那么点那么点Z和和 关于实轴对称关于实轴对称.ZZZ复平面内与一对共轭复数对应的点复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和和 关于实轴对称关于实轴对称.ZxyoxyoZ :a+bib-b :a-biZZ :a+bib-b 例例 已知复数已知复数 是是 的共轭复数，求的共轭复数，求x的值的值

10、222(32)xxxxii204 解：因为解：因为 的共轭复数是的共轭复数是 ， 根据复数相等的定义，可得根据复数相等的定义，可得i204 i204 .2023 , 4222xxxx 6323xxxx或或或或解得解得所以所以 3 x4.4.复数的除法法则复数的除法法则 先把除式写成分式的形式先把除式写成分式的形式, ,再把分子与分母都再把分子与分母都乘以分母的共轭复数乘以分母的共轭复数, ,化简后写成代数形式化简后写成代数形式( (分母分母实数化实数化).).即即分母实数化分母实数化dicbiadicbia)()()()(dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi

11、2222acbdbcadicdcd例例. .计算计算)43()21 (ii解解:iiii4321)43()21 ()43)(43()43)(21 (iiii2510543468322iiii5251先写成分式形式先写成分式形式 化简成代数形式就得结果化简成代数形式就得结果. 然后然后分母实数化分母实数化即可运算即可运算.(一般分子分母同时乘一般分子分母同时乘以分母的共轭复数以分母的共轭复数)练习练习.计算计算: (1+i)2= _; (1-i)2= _;_;11_;11iiii._)11(2000ii2i-2ii-i11.复数加减法的运算法则复数加减法的运算法则2 2、复数的乘法法则、复数的乘法法则3、复数的乘法运算律、复数的乘法运算律4、复数的除法法则复数的除法法则5、复数的一个重要性质复数的一个重要性质两个共轭复数两个共轭复数z,z的积