习题-量子力学

1、量子力学习题课一、波函数波粒二象性波函数模方概率密度叠加原理标准条件： 有限、单值、连续归一化条件二、薛定谔方程含时Ht i定态HE定态波函数tEnnnrtrie )(),(非定态波函数),(trntEnnrie )(三、应用举例一维无限深势阱线性谐振子隧道效应（方势垒）四、力学量与算符平均值对易角动量算符本征方程、本征值量子力学基本原理波函数薛定谔方程力学量的算符表示全同性原理五、氢原子六、自旋史盖实验自旋算符简并度七、电子壳层结构泡利不相容原理能量最小原理能级高低顺序壳层结构中被发现的概率。粒子在立体角元中被发现的概率；粒子在球壳，求：、用球坐标表示波函数ddsind)2()d,() 1

2、(),(1 rrrr解：) 1 (球坐标下体积元为dddsin2rrrr dddsin22002所求ddsind022rr所求)2(的平均值。和最大在何处找到粒子的概率粒子的概率密度分布；归一化因子；，求：的状态，其中，、设一维运动的粒子在2)4( ;)3()2() 1 (0)0(0)()0(e)(2xxxxxAxxx解：) 1 (1d)(2xx0222dexxAx查积分表，上述积分324A1432A归一化因子为A32)2(2)(xxx223e4)0( x2)(x)0( x0)3(0d)(d2xx/10 xx或)4(xxxxd)(20233de4xxx232xxxxd)(220243de4xx

3、x23及物理意义。时，该概率的极限如何）（最大；为何值时，上述的概率）（率；宽度以内发现粒子的概）距势阱内壁四分之一（，求：为阱中运动，能量量子数、粒子在一维无限深势nnn3213解：) 1 (4/1Paananxxxx4/324/02d)(d)(aaaxaxnaxaxna4/324/02dsin2dsin223sin21412sin2141nnnn2sin121nn)2(n当4/1P时，为最大值；33121)3(时，当n4/1P21这时结果趋于经典，概率相等。粒子在阱内各处出现的级。函数，并求出所对应能为线性谐振子的定态波，试证：为、设线性谐振子的势能)32(e3)(21433212222x

4、xxxx解：)()(21)(dd222222xExxxx0)(2)()(dd22422xExxxx)(dd22xx而)()7(222xx02)7(224222Exx E27为定态波函数)(xE而)21( n n3能级的总能量。玻尔半径绕核圆周运动以等于经典图像中电子时，氢原子能量、证明：0115aEn 证：经典：)(0aE2e21m02041ae02eam而F20024ae)(0aE02081ae0a而2e204em)(0aE2204e)2(4em1E库仑势能的平均值。及，电子离核的平均距离、求氢原子处于基态时r6解： 1r02210drrRr0/2303de40rarar023apE0221

5、002d4rrRre0/23002de0rraear0024aeeV2 .27的原子基态电子排布。，溴，氩，、写出硼)35Br()18Ar()5B(7ZZZ解：:B122p2s2s 1:Ar62622p3s3p2s2s 1:Br521062622p4s4d3p3s3p2s2s 1最大值位置。度，求电子径向概率密、氢原子处于基态)(810100rP解： n1l0m0)(10rP2102)(rRr0/2230e4arra)(dd10rPr001e80/2300ararar，00ar为所求。0ar 例例: : 一个电子沿一个电子沿 x 方向运动方向运动, , 速度大小速度大小 vx=500 m/s,

6、 , 已知已知其精确度其精确度 0.010.01. .求测定电子坐标求测定电子坐标 x 所能到达的最大精确度所能到达的最大精确度. .解解: :, exmpm103 . 2105001011. 928. 610626. 6343134xexmpx若一个子弹若一个子弹, , 质量为质量为 10g, 10g, 具有同样的速度大小和方向具有同样的速度大小和方向, ,测量精度测量精度: :m101 . 21050001. 028. 61062. 631434xxmpxxpx例例 如果钠原子所发出的黄色谱线如果钠原子所发出的黄色谱线( =589nm)的自然宽度为的自然宽度为8106 . 1试问钠原子相应

7、的激发态的平均寿命约为多少试问钠原子相应的激发态的平均寿命约为多少?解解:光子能量光子能量已知自然宽度已知自然宽度光子能量不确定性光子能量不确定性,即为即为钠原子激发态能级能量的不确定量钠原子激发态能级能量的不确定量hchE8106 .12hcE由不确定关系由不确定关系2tE激发态的平均寿命约为激发态的平均寿命约为: schcEt9108 . 9422用不确定关系作粗略估算用不确定关系作粗略估算所以原子中电子的运动必须所以原子中电子的运动必须抛弃轨道抛弃轨道的概念的概念, , 例例 牛顿力学，氢原子中的电子的轨道运动牛顿力学，氢原子中的电子的轨道运动,速度约速度约106m/s， 而用而用电子云

8、电子云图象（说明电子在空间的概率分布）图象（说明电子在空间的概率分布）xmxm/s102 . 1101011. 91005. 16103134电子的速度与速度的不确定度有相同的数量级，波动性电子的速度与速度的不确定度有相同的数量级，波动性十分显著。十分显著。1.1.动量动量p p4202242cmcpcm20222EcpE或或cEEp2022.2.动能动能kE0EEEk0EEEkcEEEkk022ccmEEkk202202022EEcpEk3.3.波长波长 ph 2022cmEEhckk微观粒子动量微观粒子动量p p、动能、动能 和波长和波长 的计算的计算kE 时时当当20cmEkkEmh02

9、 时时当当20cmEkkEhc 2042022cmcmcp补充：补充：时时当当20cmEk为低速粒子为低速粒子2400.51151.1*10m cMeVeV例如电子：动能低于动能低于几万电子伏特几万电子伏特的电子可以看作低速粒子，的电子可以看作低速粒子，可以不考虑相对论效应可以不考虑相对论效应J141018. 8022mpEkkEmp02kEmh02 eUmh02202cmmcEk220mccmEk时时当当20cmEk220mccmmm 02201cmm c 例例 一束带电粒子经一束带电粒子经 206V 电压加速后，测得其德布罗电压加速后，测得其德布罗意波长为意波长为 2.0 pm。已知粒子所

10、带电量与电子相等，试求这粒子的。已知粒子所带电量与电子相等，试求这粒子的质量。质量。) 1 (hmvp粒子动能粒子动能) 2(212eUmvEk（1），（），（2） 联立，解得联立，解得234221221927(6.63 10)22(2.010)1.60102061.6710()hmeUkg 解解: （忽略相对论效应）（忽略相对论效应） 粒子动量为粒子动量为例例. .设一粒子沿设一粒子沿x方向运动，其波函数为方向运动，其波函数为( )1xCix（1 1）由归一化条件定出常数）由归一化条件定出常数C。 （2 2）求出此粒子按坐标的概率密度分布函）求出此粒子按坐标的概率密度分布函数；数；（3 3）

11、在何处找到粒子的概率最大？）在何处找到粒子的概率最大？ 解解 （1 1）由归一化条件求）由归一化条件求C由由 1dx 211( )11ixxCCixx211ixCx2222222211arctan(1)1xdxCdxCdxCxCxx 得得 1C21C由由 得到得到 （2 2） 粒子按坐标的概率分布函数粒子按坐标的概率分布函数21( )(1)xx ( )1x（3 3）由上式可知，当）由上式可知，当 x = 0 时时 最大最大, ,其值为其值为 ( )x例例:设粒子处在设粒子处在0,a范围内的一维无限深方势阱中范围内的一维无限深方势阱中,波函数波函数为为 24sincosxxxaaa试求粒子试求粒

12、子能量能量的的可能可能测量测量值值及相应的及相应的概率概率.解解:能量本征值能量本征值2222,1,2,32nnEnma本征函数本征函数 2sin, 0nn xxxaaa题中所给波函数为本征函数的线性组合题中所给波函数为本征函数的线性组合,做变换如下做变换如下:测量能量为测量能量为22122Ema223292Ema其概率为其概率为其概率为其概率为2112c2312c 24sincos2xxxaa22sin(1cos)xxaaa22 13()sin(sinsin)2xxxaaaaa1223sinsin2xxaaaa 1133131,2cxcxcc式中例例1: 求线性谐振子在第一激发态时求线性谐振

13、子在第一激发态时, 概率最大的位置概率最大的位置.解解: 第一激发态波函数为第一激发态波函数为 mxHHeA,2,112112令令 021dd12,30(,1 可得二阶导数大于0，舍去）10 xm因此有mx0!2 nAnn其中例例. .粒子在一维无限深势井中运动粒子在一维无限深势井中运动, ,其波函数为其波函数为 2sin000nn xxxaaaxxa或计算动量和动能的平均值。计算动量和动能的平均值。解解：动量算符为：动量算符为 xpix 动量的平均值为动量的平均值为 *nn0n0n2sinsind2sinds0dcodaaxxpx pn xn xixaaxann xn xixaaaaxxxi

14、xxx 动能算符为动能算符为 222222xpTmm x 动能的平均值为动能的平均值为 222022222*n22220nnn2sinsindsindd2d2aan xn xxmaaxann xnxmTx Txxxxaaamaxm x 例例 .原子内的量子态由原子内的量子态由n, l, ml, 及及 ms 四个量四个量子数表征。子数表征。当当 n, l, ml 一定时，不同的量子态数目为一定时，不同的量子态数目为；当当 n, l, 一定时，不同的量子态数目为一定时，不同的量子态数目为；当当 n 一定时，不同的量子态数目为一定时，不同的量子态数目为。22 ( 2l+1 )2102)12(2nln

15、l例例 多电子原子中，多电子原子中， 电子的排列遵循电子的排列遵循原理和原理和原理。原理。泡利不相容泡利不相容能量最小能量最小 例例 在氢原子的在氢原子的 L 壳层中，壳层中， 电子可能具有的量子数电子可能具有的量子数 （n , l ,ml , ms ） 是是.)21, 1, 1, 3()(;)21, 1,0,2()();21, 1, 1,2()(;)21,0,0, 1 ()(DCBA答案：答案： L 壳层壳层 n=2 , （B）例例 氩原子氩原子 （ z=18） 原子基态的电子组态是原子基态的电子组态是.333221)(;33221)(;3221)(;321)(242622626228622882dpspssDpspssCdpssBpssA答案答案 ： (C) 例例. .锂锂 (Z=3) 原子中含有三个电子，电子的量子态可用原子中含有三个电子，电子的量子态可用 （n, l , ml , ms ）四个量子数来描述，若已知其中一）四个量子数来描述，若已知其中一 个的量子态为个的量子态为 （1， 0， 0， 1/2 ），则其余两个电），则其余两个电 子的