求数列通项公式的八种方法

1、求数列通项公式的八种方法、公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项、累加、累乘法1累加法适用于：an 1 an f(n)a2 af (1)若an 1 an f (n) (n 2),则a3a2f IIIIIIan 1 anf(n)n两边分别相加得an I a1 f(n)k 1例1已知数列an满足an 1an 2n 1，a1 1 ,求数列 an的通项公式解：由 an 1 an 2n 1 得 an 12n 1 则所以数列an的通项公式为an n2例2已知数列an满足an 1an 2 3n 1，a1 3 ,求数列佝的通项公式解法一：由an 1an 2 3n 1 得 an 1 an2 3n 1

2、 则(anan 1 )(an 1an 2)(a3 a2)n(2 31 1)(23n21)(2 32n 12(33n2III3231) (n1) 3c 3(13n1)2(n1)313n33n 13an(a2 a) a11) (2 31)3nn 1所以 an3nn 1解法二：an3an2 3n 1两边除以3n1an 1 an尹37OL 23n 3(1 3n 1)因此冬心3n (I 3 ) 1 2n 1丄 3n31 33 2 2 3n2 11则 an2n 3n13n13 222、累乘法适用于：an 1 f(n冋若an 1anf(n)，则亚a1f(1),鱼a2f(2),IllIharf(n)an两边分

3、别相乘得,an 1a1f(k)例3已知数列an满足an2(n1)5nan，a13 ,求数列an的通项公式。解：因为 an 12(n1)5n an，a13，所以an0 ,则也an2(n 1)5n ,故an an 1 山 a3 a2 ranaan 1 an 2a2 ai2(n 1 1)5n 12(n 2 1)5n 2卅2(2 1) 522(1 1) 51 32n 1n(n 1)3 2 5(n I) (n 2M I 2 1 33 2n 1n( n 1)5 2 n!所以数列an的通项公式为ann(n 1)3 2n 1 5 2n!、待定系数法适用于an I qanf(n)分析：通过凑配可转化为an I

4、1f(n)2an1f(n);解题基本步骤：1、确定f(n)1f (n),公比为21f(n)2an1 f (n)2f(n)的通项公式2、设等比数列an3、列出关系式an4、比较系数求5、解得数列an的通项公式6解得数列an例4已知数列an中，a1 1,an 2an I 1(n 2),求数列an的通项公式解法一 ：；an2an 1 1(n 2),又:a1 1 2,an 1是首项为2,公比为2的等比数列an1 2n ,即 an 2n 1解法二：；an 2an I 1(n2),两式相减得an an 2(an an )(n 2),故数列K是首项为2,公比为2 的等比数列，再用累加法的例5已知数列an满足

5、an i 2an 4 3n1,务1 ,求数列 可 的通项公式。解法一：设an113n 2(an3n1),比较系数得14, 2 2 ,则数列an 4 3n1是首项为a1 4 31 15 ,公比为2的等比数列，所以 an 4 3n1 5 2n1 ,即 an 4 3n 1 5 2n 1解法二：两边同时除以3n 1得：%$ ,下面解法略3n 13 3n 32注意：例6已知数列an满足an 1 2an 3n2 4n 5,印1 ,求数列 何的通项公式。解：设 an 1 x(n 1)2 y(n 1) Z 2(a. xn2 yn Z)比较系数得X 3,y10,z 18 ,所以 an I 3(n 1)210(n

6、 1) 182(an 3n210n 18)由 a1 3 12 10 1 18 1 31 32 0 ,得 an 3n2 10n 18 0则苑迤*他2 ,故数列an 3n2 10n 18为以an 3n 10n 18a13 12 10 1 181 3132为首项，以2为公比的等比数列，因此 an 3n2 10n 18 32 2n 1 ,则 an 2n 4 3n2 1On 18。注意：形如an 2 Pan 1 qan时将an作为f(n)求解,数列分析：原递推式可化为an 2an I ( P)(an Ian)的形式，比较系数可求得an 1 an为等比数列。1,a2 2 ,求数列an的通项公式例7已知数列

7、an满足an 2 5an 1 6an,a1解：设 an 2an 1 (5)(an 1 an)比较系数得 3或2 ,不妨取2，则an 22an13(an 1 2an),贝Uan 12an是首项为4,公比为3的等比数列an 12an 4 3n 1 ,所以 a.43n 15 2n1四、迭代法例8已知数列an满足an 1 a3(n 1J a1 5 ,求数列务的通项公式。解：因为an 1 an I) ,所以n(n 1)又a1 5 ,所以数列an的通项公式为an 53"1 n!2=。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式例9

8、已知数列an满足an 1 2 3n a5 ,印7 ,求数列如的通项公式 解：因为 an i 2 3n an5,印 7 ,所以 an 0, an I 0。两边取常用对数得lgan1 5lg an n Ig3 Ig 2设 Igan i x(n 1) y 5(lg a. Xn y) (同类型四)比较系数得，Ig3X,yIg3Ig 24164由 Ig a1gI Ig3Ig 2Ig 7Ig3I Ig3Ig 20 ,得 Ig ang nIg3Ig2 0 ,416441644164所以数列IgIg3 annIg3 Ig 2是以 Ig 7Ig3Ig3Ig2为首项，以5为公比的等比数41644164列，贝U I

9、g anIg3 n4Ig316Ig42(Ig7 Ig344Ig316")54n1 ,因此Ig 3 Ig 3 Ig 2 _n i Ig 3 Ig 3 Ig 2Igan(Ig 7)5n -4 164464111n 11Ig(7 34 3正 24)5n 1 Ig(34 3亦 2”)111n 11cn 1Ig(7 3431624)5Ig(3431624)5n 4n 15n 1 1Ig(75n 1 3 162)5n 4n 15n 1 1n 1则 an753 162 4 。2、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例10已知数列an满足an 12an_ O2,a11 ,求数列an的通项

10、公式an解：求倒数得1an 11_12an1an 111an21an 11 1 1an为等差数列，首页-1 ,公差为-1an1尹 I)，an3、换元法适用于含根式的递推关系例11已知数列an满足an 11 .(1 4an , 1 24an), a1 1 ,求数列a.的通项公式16 、1解：令 bn ,1 24an ,则 an 刃(b； 1)1164an413)On4a2 l m3an3（4）1（2）六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前 n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例12已知数列an满足an Ian8(n 1)(2n 1)2(2n 3)2a1-,求数列an的通项

11、公式9a解：由am a(2n 8')n(2当 n=1 时，S1 a1(a1 1)(a1 2),解得 a1 1 或 a1 26n)抄及预8，得由此可猜测an (2n 1) 21 ,下面用数学归纳法证明这个结论。(2n 1)2(1) 当n 1时，a 邑1I) 2 1 8 ,所以等式成立。(2 1 1)9(2) 假设当n k时等式成立，即ak (2k 1T ,则当n k 1时,(2k 1)2由此可知，当n k 1时等式也成立。根据(1)，( 2)可知，等式对任何n N*都成立。七、阶差法1、递推公式中既有Sn ,又有3nSn 1分析：把已知关系通过an转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用

12、相nSl S.1 ,n 2n应的方法求解。1例13已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn -(an 1)(an 2),且a2,a41a96成等比数列，求数列an的通项公式。1解：对任意 n N 有 Sn -(an 1)(an 2)61当n2时，和点皆12)-整理得：(an an 1)(anan 13)0 an各项均为正数,an an 1当a11 时，an 3n此时a4a2a9成立当a12 时，an 3n此时a4a2a9不成立，故a12舍去所以an 3n 22、对无穷递推数列例14已知数列an满足a11,an a2 a2 3a川（n 1応1（n 2）,求a.的通项公式。解：因为ana

13、1 2a2 3a3 川(n 1)am(n2)所以 an I a1 2a2 3a3 川(n 1)an I nan用式一式得an 1ann an.则an 1(n 1)an(n 2)故孔ann 1(n2)所以ananan 1a3an 1an 2a2a2 n(n 1川| 4Cl n!3a2a2.2 2 211由 ana12a2 3a3 川(n1)an1 (n 2),取n2得a2a12a2,则 a2a1 ,又知a11,则a2 1 ,代入得an 1 3 4 5 H In号。所以，an的通项公式为an卫.2八、不动点法不动点的定义：函数f(x)的定义域为D ,若存在f (x)xo D ,使f(x°

14、) X。成立，则称Xo为f (x)的不动点或称(Xo,f(x。)为函数f (x)的不动点。分析：由f (X)X求出不动点X0 ,在递推公式两边同时减去X0 ,在变形求解。类型一：形如an1qan d例15 已知数列an中，a1 1,an 2an 1 1(n 2),求数列an的通项公式解：递推关系是对应得递归函数为f (x) 2x 1 ,由f (x) X得，不动点为-1 an 112(an 1),类型二：形如an 1a anbCand分析：递归函数为f(x)a x bCXd除得亚二k乩，其中kan 1 q an q7 , ana qc(1)若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q ,再将两式相(ae pq)kn 1 (a1 P Pq)(a1 p)kn 1 (a1 q)an 1PanPk ,其中k2c例16已知数列an满足an 121an 24, a1 4 ,求数列an的通项公式4an 1解：令X21x 244x得4x220x 240，则 x12, X23是函数21x 242IX 24的两个不1动点。因为21an4an24