柯西不等式(优质课)

1、2021/6/161柯 西 不 等 式二维形式的柯西不等式2021/6/162 柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法国数学家、力学家。 27岁成为巴黎综合工科学校教授， 并当选为法国科学院 院士. 柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性，实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程等方面的研究 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义，以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义，实质上都是柯西给出的。2021/6/163设设 为任意实数为任意实数. ., , ,a b c d()()2222abcd联联 想想2021/6/1642222

2、22222222222()() ()()()abcda cb da db cacbdadbcacbd研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系2021/6/165二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式定理：二维形式的柯西不等式定理：若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2当且仅当ad=bc时,等号成立.仔细观察上述定理，概括它的特点平方的和的乘积平方的和的乘积不小于不小于乘积的和的平方乘积的和的平方2021/6/166例例1：已知：已知a,b为实数，求证为实数，求证 2332244)()(bababa分清（找准）a,b,c,d2021/6/167补全a,

3、b,c,d2021/6/168 证明思路2：(构造向量法)2222( , ),( , ),.a bc dabcdacbd 设则利用两边平方后得证2222()acbdabcd柯西不等式的几何意义2021/6/169“=”何时成立2222()acbdabcd,. kk 当且仅当 是零向量 或存在实数 使时等号成立柯西不等式的几何意义( , ),( , ),a bc d 设则2021/6/16102021/6/1611变变形变变形,可得下面不等式可得下面不等式: :2021/6/1612例例2.求函数求函数 的最大值xxy21015变形，使之出现常数2222()acbdabcd2021/6/1613

4、1220,0,1,2132ababab 设且求证：变形，使之出现条件中的表达式或表达式的倍数练习22021/6/1614220,0,2,22xyxyxyxy例3.设且的最小值。2021/6/1615cdbabdac dcbabcad 不等式不等式：不等式不等式：2222222222()()()()()()abdcadbcabcdacbd 不不等等式式成成立立吗吗？与与不不等等式式矛矛盾盾吗吗？它它们们之之间间有有什什么么区区别别？2021/6/1616220,0,2,22xyxyxyxy例3.设且的最小值。灵活对调前后项2021/6/161722231,49.xyxy变式1：若求的最小值222

5、222222:(49)(11 )(23 )1,149.22131,23.1234123161492xyxyxyxyxyxxyxyyxy 解 由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为2021/6/161821,236.a bRabab变式2：设求的最小值2021/6/16192、二维形式的柯西不等式的变式、二维形式的柯西不等式的变式小 结2021/6/1620123123,nna aaab b bb设是实数 则2222221212()()nnaaabbb思 考222222123123()()aaabbb ?2021/6/16212021/6/1622114,abcabbcac例4.若求证：2

6、021/6/16232021/6/16242021/6/1625l定理3：(二维形式的三角不等式)221221222221211)()(R,221yyxxyxyxyxyx则则设设l证明思路1：(几何法)l证明思路2：(代数法)OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)221222221212221222221212122222121212222222221212122222212122222)()( )( )( :121212121yyxxyyyyxxxxyxyyxxyxyxyyxxyxyxyxyxyxyxyx证证明明2021/6/1626 .,),()()()(等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba222221 .,.(4)等等号号成成立立时时使使或或存存在在实实数数是是零零向向量量当当且且仅仅当当柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式 kkbdacdcba22222)(bdacdcba22223)(小小 结结22122122222121)()(5)yyxxyxyx二二维维形形