案例变式平行四边形完成

1、上海市中国中学张荣教学案例集之一课堂的大容量是课外轻负担的保证按：张荣老师的教学特点是课堂的容量大，节奏快,而学生的课外负担比较轻.这里记录的是她在2008年4月23日上的”平行四边形性质习题课”。这节课，张老师的教案上准备了14道题.应该说容量是很大的。有位外校的青年教师听说张老师一节课上要讲14道题，感到很吃惊，他一定要来听一听。一开始,她快速地让学生回忆了平行四边形的定义和性质.接下去,就运用这些知识解题.张老师用PPT显示了一个平行四边形ABCD,问:“这是个平行四边形,它给我们提供什么信息?”学生回答:两组对边分别平行,两组对边分别相等这句“它给我们提供了什么信息?”在后面反复提出,

2、成为整节课的一句关键句.然后出示了第一道题目: 1. 如图1所示，已知平行四边形ABCD的周长为30 cm, (1)则AB+BC=_cm, (2)若AB:BC=2:3,则AB=_cm,(3)若,求四个内角的度数. A D B C (图1)这是平行四边形性质1和2的简单运用。之后,张老师提出解了这个题目之后,有没有小结出一些小经验?生1:平行四边形的两条邻边之和等于周长的一半.生2:平行四边形的相邻的两个内角互补.张老师指出,很好,这两条小经验也是这个平行四边形能够提供的信息.有学生问:今后可不可以将这两条小经验直接使用?张老师作了说明,我们几何证明时每一步都要有根据,这个依据只能是书上的定义,

3、公理和定理,所以尽管我们已经看出了这个结果,还是要根据要求,一步一步写出依据.但是在选择题.填空题是可以直接用来做判断的.接着,PPT出现了一幅新的图,这是画了一条对角线的平行四边形.老师问:“这个图形提供了什么信息?”之后第2题随之出现了. A D B C (图2) 2. 如图2,在平行四边形ABCD中,BD是对角线,则图中有_对相 等的角, _对全等三角形.再接着,出示了有两条对角线的平行四边形.还是这句问话: “这个图形提供了什么信息?”之后出现了第3,4,5三道题.3. 如图3, 平行四边形ABCD中对角线AC、BD交于点O。则图中有_对相等的角,_对全等三角形. A D OB C (

4、图3) 4. 如图,在平行四边形ABCD中对角线AC、BD交于点O， 若 AC=8,AD=6,则边AB的取值范围是_; 若AC=6，BD=8，则边AB的取值范围是_。 5. 如图：在平行四边形ABCD中对角线AC、BD交于点O， AB=8，如果把下列数值作为两条对角线的长，能组成平行四边形的是（ ） (A) 4, 12 (B) 6, 8 (C) 8, 26 (D) 12, 20 然后,在这个图形里添了过对角线交点的一条线,还是问”提供了什么信息?”之后 出示了第6题和第7题. A E D O B F C (图4) 6. 如图4：在平行四边形ABCD中对角线AC、BD交于点O, 线段EF过点O交

5、AD于E,交BC于F,图中共有 ( )对全等三角形. 7. 如图4：在平行四边形ABCD中对角线AC、BD交于点O, 线段EF过点O交AD于E,交BC于F,AB=5,BC=6,OE=2,则四边形EFCD的周长是( ) . (A) 11 (B) 13 (C) 15 (D)17师:小结一下,添了这条EF之后,增加了哪些信息?生3:EO=OF.生4;这条EF将平行四边形的周长也平分了.师:很好,象EF这样的过对角线交点的任意的线段,它本身被对角线交点平分,并且把平行四边形周长平分了.还有吗?师:EF是不是把平行四边形面积也平分了呢?很快得到了大家肯定的回答. 接着张老师将EF两头延长,出现第8题.

6、M A E D O B F C N (图5) 8. 如图5：在平行四边形ABCD中对角线AC、BD交于点O,直线 EF过点O交AD、BC于E、F,交BA、DC延长线于点M、N. 求证:EM=FN. 做了第8题之后,张老师出了一道发散性的第9题: 9.请在下列平行四边形（图6）中,画两条直线,将平行四边形分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等. 满足这样的要求的分割线有多少组?你能找到什么规律吗? (图6)老师请了三个同学上台作图.很巧,三个学生是三种答案.第一位是画了两条对角线,第二位是画了两条分别经过两组对边中点的直线，第三位是画了过对角线交点的两条直线.（图7） (图7)（第三位学

7、生画的是过对角线交点的两条直线,理由是这样的每条直线都将平行四边形面积分成两个相等的部分,其实,这理由还没有那么简单.）10. 请在下列图形（图8）中,画一条直线,将这个图形分割成两个部分,使这两部分的面积相等. 你能找到什么规律吗? （ 图8） 张老师在教案上有这道第10题，但张老师临上课前决定在课堂上不讨论它，让学生回去探究。 接着出现了另一种基本图形,就是出现了平行四边形内角的平分线的情形.11如图9：在平行四边形ABCD中,对角线AC是的角平分线,AD=6,则平行四边形ABCD的周长为_. D C A B (图9) 这是特殊的情形,我们知道其实这个平行四边形是菱形了.张老师还是问:“提

8、供了什么信息?”学生回答说:出现了两个等腰三角形.12. 如图10：在平行四边形ABCD中,的角平分线AE, 把DC边的长度分为2, 3两部分。则平行四边形ABCD的周长_. D E CA B (图10) 13如图11：在平行四边形ABCD中, 的角平分线交CD于点E,交BC的延长线于点F,的角平分线交AB于点M，交DA的延长线于点N，图中有_个平行四边形。若BC=5,AB=8,则CE+CF=_. F D E CA M B (图11) N14如图12:在平行四边形ABCD中,AB=8cm,AD=5cm, 的平分线交CD于点E, ABC的平分线交CD于点F,则线段EF=_cm. D F E C

9、A B (图12)课的最后是小结.张老师的PPT出现了5幅图, 第一幅是一个平行四边形.第二幅是添了一条对角线的平行四边形.第三幅是添了两条对角线的平行四边形.第四幅是添了过对角线交点的一条直线的平行四边形.第五幅是添了一条内角平分线的平行四边形.问这几个图,分别给我们提供了什么信息?（图13） （图13）整节课十分紧凑,学生发言也很踊跃,而且回答问题时,使用的语言很规范.总的说,完成的很顺畅.最后,张老师留下了两道这样的作业:1.善于思考,寻找规律（请您留下宝贵的经验）.2.奇思异想,展示风采（请您留下精彩的题目）.课后有听课老师问张老师,“为什么不布置具体的数学题作为作业?”张老师回答说:

10、“一是课堂上我们已经做了好多题目了,另外这张习题纸,学生们回家后会再做一遍的.”至于“这样做学生间会不会产生差距？”,张老师的回答是：“我另外有互助小组的”综观这节课，为什么容量可以这么大，而且从学生的反映看，是能够掌握的呢？我们认为，原因有以下几点：第一， 张老师对数学内容的把握比较到位，并且把这节课的知识技能组成了一个“双基模块”。几何证明的思考方法一般是两种:一是从求证倒溯:“要证明这一点,需要证明什么?”,二是把已知条件伸展:“从这个条件,可以得到什么新的信息?”两者能够接通了,证明方法也就出来了,余下的只是按照要求书写证明了.这两种思考方法都是重要的.张老师在这节课里，强调了已知条件

11、的正面伸展.她给出了5个基本图形,发掘了它们各自所提供的信息.这5个基本图形,应该说是她在林林总总的有关平行四边形性质的习题中提炼出来的.这是一个双基模块.学生掌握了模块，就容易记忆，提取和迁移，因此，这节课，学生应该说基本上把握了平行四边形的性质的应用。第二， 利用了变式教学。变式是一种很好的呈现方式.张老师就是这样做的.你看从第一题开始,添条线,就是第二题了,再添一条线一直到第八题,组成了一串题目.变式的好处,第一是节省时间,第二是把题目归了类,容易总结出题目的异同,方法的异同,容易形成良好的认知结构.同时，是使整节课有一种美感,爱美之心人皆有之,美的东西,学生是喜欢的.这既有利于知识的接

12、受,也陶冶了情操.第三， 利用了多媒体。张老师的14道题都用多媒体展现的，这样就省了在黑板上写字画图的时间。第四， 张老师长期的对学生的思维进行敏捷性的训练。整节课，张老师没有要求学生书写证明，但是从学生的口头回答是有条有理的。应该说，这是长期训练的结果。也就是说，在几何教学的早期，张老师已经基本上把书写证明的问题解决了，所以现在就可以大容量地教学了。而大容量的教学，使学生的思维敏捷性大大提高。正是由于这一点，想把这些内容，搬到别的班级去上，学生一时是很难适应的。张老师的课内大容量，快节奏，是她的班级学生课外轻负担的重要原因之一。 中国中学初中数学“提高课堂教学实效性的研究”课题组 2008年

13、5月附录：教学设计及课堂实录平行四边形性质练习课教学设计中国中学:张荣 2008年4月20日一、教学设计思想：分析这节课的知识在教材中的地位和作用：“平行四边形及其性质”是二期课改后，九年制义务教育课本八年级第二学期第二十二章的内容，是在学生对平行线、三角形基本概念，三角形全等，特殊的三角形有一个清楚的认知基础上，进一步研究特殊四边形的基本概念及其性质。这一部分的内容也是论证线段相等、角相等和两直线平行的依据之一，在实际生产和生活中有广泛的应用。它既是本节的重点，又是本章的重点，平行四边形及其性质地学习是对已学的平行线、三角形等知识的综合运用和深化，是进一步研究特殊平行四边形和有关定理的基础，

14、具有承上启下的作用。2、教学内容的确定：按教材编排，平行四边形性质共分两课时完成，因为学生刚刚进行完期中考试。接到陈教授让我开一节复习课的任务后，正赶上我们准备学习平行四边形性质，当初因为预测学生学习四边形后会提出：“老师，三角形刚刚学明白，现在又学四边形，会不会图形越来越繁，题会越来越难？”针对这个问题，我便选择了这样一节平行四边形的性质复习课，为了除去学生心中对四边形学习的恐惧心理找到一个对策。3、教学目标：（因为本学期荣幸的成为徐汇区“陈永明教授名师工作室”学员，又参加了“徐汇区数学沙龙活动”，荣幸的在陈教授的介绍下能有两次机会与张奠宙教授交流教学的感悟和教学中的一些想法以及自己小小的教

15、学经验和体会，又在两位教授的帮助下研读了“中学数学双基教学”。因此根据大纲要求，结合教材特点，学生特点，我的教学特点，这节课的教学目标是在教学模块的思想下设立的：）(1)使学生能在平行四边形基本图形结构中抓住解题信息，运用平行四边形的定义、性质，以及自己的小经验进行有关的论证和计算。进而学生能够主动的、积极的学习。(2) 使学生在原平行四边形基本图形结构中添加线段后，除原有信息保持不变外，抓住图形中的新的信息，培养学生观察、分析、推理、概括以及实践能力和创新能力。使学生乐于参与学习，并能在学习过程中体会到图形越繁，信息越多，解题方法越多。(3) 培养学生善于观察、乐于探索、勇于探索的学习精神，

16、并对学生进行由一般到特殊的辨证唯物主义观点教育。4、教学重点和难点重点：平行四边形的概念和性质的运用。难点：观察图形，抓住信息，灵活运用平行四边形的概念和性质解题。二、教法：由于本校学生学习基础、学习条件相对较薄弱。考虑到如何增大课堂容量，提高课堂效率，减轻学生回家后的课业负担，如何更直观、更形象地突破教学重点和难点，如何使几何课上得有趣、高效，我采用了电脑多媒体教学辅助手段，以知识小模块的形式设计课堂教学，以学生为主体、教师的启发、诱导为辅的教学方法。在教学过程中，通过设置带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生观察、思考、对基本图形、题型进行变式。让学生亲身体验知识的产生过程，知识

17、的变化过程，激发学生探求知识的欲望，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，使获取新知识水到渠成。三、学法：叶圣陶说“教是为了不教”，也就是我们传授给学生的不只是知识内容，更重要的是指导学生一些数学的学习方法。在这节课的学习过程中，让学生认识事物总是互相联系的，而通过对本节课的学习收获的讨论，让学生大胆的说出自己认识事物的结论，判断和归纳。在讨论的过程中，加强师生互动、生生互动，提高学生的语言表达能力和对自己的学习能力认识。四、作业：学生的作业问题也是我对自己教学反思的一个重要方面。尽管我留的作业是活的，是弹性的，但往往弹性化的教学和管理却能带来意想不到的良好教学效果，因为这次学生完成的作业远远

18、超过我所布置的，有的学生还把作业做成了ppt。在特殊的平行四边形学完后，全班35人，有18个同学参与小组制作教学ppt,特别地，沈嘉明同学制作的正方形的复习小模块反映很好，他在课堂教学中不时获的同学们的掌声，尽管在他的判断题中有两道题编题失误，但这个失误却可以让他终生难忘。至于有的老师提出几何作业格式问题，这应该是学生在刚刚接触几何说理证明时，就应该强调的，加以训练的，并要在平时的学习中不断注重，培养学生养成由因导果的书写格式,以后传授每一个新知识点的时候，应该不断注重学生的数学语言和图形结合，使之结合到位，这是接触几何时就应该夯实的基本功。平行四边形性质练习课教学实录讲课人：张荣讲课时间：2

19、008年4月23日整理：中国中学数学组课堂实录:师：同学们好。生：老师，您好。师：请坐。师：这两天我们一直在学习平行四边形的性质，请同学们回顾一下，什么样的四边形叫平行四边形？生：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。师：好，那接下来，平行四边形它具有什么样的性质？好，不要说了，找人，XX。生：平行四边形对边相等。师：好，请坐。你再接着说。生：平行四边形对角相等。师：好，请坐。你说。生：平行四边形是一种对称图形，它的对称中心是平行四边形两条对角线的交点。师：这是性质几啊？生：四师：顺序说反了，他先把“四”说在前面了。好，你接着说，补充一个。生：平行四边形对角线互相平分。师：好，刚才同学们已

20、经回忆了平行四边形的四个性质。那么我们平行四边形还有一个推论，大家想一想，推论。好，你来说。生：夹在两条平行线间的平行线段相等。师：他想说“处处相等”。同学们回顾了这些知识点，在使用的时候，请同学们看黑板上的图形。如何说你看到了一个平行四边形，那么你脑中刚才所说的信息有哪些？生：对边相等，且平行。师：接下来，生：对角相等。师：再接下来，生：对角线互相平分。师：再接下来生：是中心对称图形。师：对称中心是生：两条对角线的交点。那么当这些信息出现以后，请同学们来看题： 1. 如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为30 cm, (1)则AB+BC=_cm, (2)若AB:BC=2:3,则AB=_cm

21、, (3)若,求四个内角的度数.请回答。生：15。师：告诉我，为什么这么快？生：因为AB和BC都是平行四边形的两组邻边。师：两组邻边？生：一组邻边。根据经验知，AB+BC是平行四边形周长的一半。师：在我们解题的过程当中，因为平行四边形两组对边分别相等，所以我们还有一个小经验。你记得吗？好，你说生：邻边之和是周长的一半。师：邻边之和是周长的一半。好，请坐。还有一个小经验：一组邻角好请你说：生：一组邻角之和是180°。师：一组邻角之和是180°。好，请坐。师：也就是说，你通过刚才的信息，你再看这道题容易吗？生：容易。师：好，接下来继续看：如果给你的是AB：BC=2：3，则AB等

22、于多少？生：因为AB和BC是一组邻边，它们周长是30，根据经验可知，他们两个相加之和是15；因为他们之比是2：3，可设AB的长度是2x，BC长度是3x；2x+3x=15；解得x=3，又AB=2x，所以AB=6。师：对吗？生：对。师：解答非常清楚。接下来，对于这道题，知道A和B的关系，现在来让我们求四个内角。生：由经验知，A+B=180°；因为A=；师：为什么由经验知，A+B=180°？生：因为A和B是邻角。师：为什么邻角相加是180°？生：因为这两条线平行，这两个角是同旁内角，同旁内角互补。A+B=180°；因为A=；将其代入，+B=180°；

23、解得B=80°，A=100°，这样四个角都知道了。师：为什么四个内角都知道了？其他两个角怎么算出来的？生：因为平行四边形对角相等，B=D，因为B=80°，所以D=80°；A=C，A=100°，所以C=100°。师：他说得非常好。 张荣老师这节课从平行四边形的定义入手，先复习了平行四边形有关边、角、对角线及对称性方面的四条性质。然后从两组对边相等入手得到邻边之和等于平行四边形周长的一半；从两组对边分别平行得到一组邻角互补。通过学生掌握这两条小经验张老师举出例1.学生看到邻边之比2：3，马上想到邻边之和等于平行四边形周长的一半，列出方程，

24、求出两条边，再从平行四边形对边相等得到四条边的长度；看到一个角是邻角的五分之四，马上想到邻角互补，列出方程，再从平行四边形对角相等求出四个角。在例1中张老师把平行四边形的性质1，2全部应用进去，学生在掌握这些性质的同时又得到两条小经验，对于双基训练落实到了实处，课堂教学效果好。 2. 如图,在平行四边形ABCD中,BD是对角线,则图中有_对相等的角, _对全等三角形. 师:在平行四边形的基础上多了一条对角线,平行四边形的性质还存在吗?多了什么信息? 生: 多了内错角和全等三角形.平行四边形的性质仍然存在. 师:如图平行四边形ABCD,BD是对角线,图中有几对相等的角?有几对全等三角形? 生:图

25、中有4对相等的角.1对全等三角形. 师:哪4对角相等? 生:2对内错角和2对平行四边形的对角.ABD与CDB全等.l 张老师在学生熟悉了平行四边形边角性质后，在平行四边形的图形上增加了一条对角线，以增加一条线段提升为增加信息，活跃了课堂气氛，增强了学生的求知欲，从中巩固了平行四边形的性质，复习了平行线的性质和全等三角形的判定，同时使学生感性地认识到复杂图形可以从基本图形中分解出来。 3. 如图, 平行四边形ABCD中对角线AC、BD交于点O。 则图中有_对相等的角,_对全等三角形. 生: 有8对角相等.? 师: 它们分别是什么? 生: 4对内错角和2对平行四边形的对角以及2对对顶角相等. 对角

26、线分得4对全等三角形.ABO与CDO,AOD与COB,ABD与CDB,ABC与 CDA 对角线互相平分有2对相等线段AO=CO,BO=CO,加上平行四边形的对边相等,AB=CD和AD=CB共有4对线段相等.l 张老师在平行四边形的一条对角线上又增加了一条对角线，采用了逐渐增加的方法，使学生直观地认识到，平行四边形的对角线互相平分这一性质，一定要有两条对角线。当在平行四边形中出现一条对角线时，为了使用对角线互相平分的性质，自然会添一条对角线，为以后几何学习打下了基础。 4. 如图,在平行四边形ABCD中对角线AC、BD交于点O， 若 AC=8,AD=6,则边AB的取值范围是_; 若AC=6，BD

27、=8，则边AB的取值范围是_。第四题师：请看黑板，如果我们出现了这样的问题的时候，利用了对角线来分析这道题的时候，看看怎么分析呢？AC知道，AD知道，那AB的取值范围呢？到黑板上去讲。生：AC=8，AD=6，如果要让它成为一个三角形的话，CD要小于6加8，也就是说CD要小于14，因为是平行四边形，对边相等，所以AB也要小于14。师：对，AB小于14，好！还有什么？生：要大于2。AB和CD都要大于2。师：也就是说陈燕刚才研究的是哪条边呢？生：CD师：CD,那是间接研究AB生：AB师：所以她看到所给的正好CD构成了一个三角形，利用三角任意两条边之和大于第三条边，任意两边之差小于第三条边，研究出CD

28、的范围从而就生（师）：对边相等！师：AD的长度等于BC 的长度，那么我们来研究如果老师给你两条对角线AC，BD，这时候让你研究AB的长，用到了我们的哪一个性质？师（生）：平行四边形对角线互相平分。师：那么这位同学请你来研究一下。那么这时AB的取值范围又是多少？生：因为这两条对角线互相平分。AC=8可以知道AO=4，然后BD=10。就知道OB=5。根据三角形第三条边大于两边之差，小于两边之和。所以知道AB的取值范围是大于2小于18。师：对吗？生：不是。师：大于2小于18吗？生：应该是大于1小于18。师：那么为什么他会说成2呢？生：因为他看成了10减8。师：他忘了把对角线除以2互相平分了。你要算的

29、是A。不是AC，明白了吗?再说一遍，AO是几？生：哦，AO是4。师：标在上面，然后呢？生：OB是5。师：这回还会算错AB吗？生：不会了。师：非常好，请回。师：AB边取值范围大于多少、小于多少？生：9！师：好、 这道题，张老师通过任意三角形两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边为基桩，让学生在平行四边形的相关线段上，找出相关的三角形，从而通过平行四边形的性质，算出这个三角形两条边的长度，求出第三边的取值范围，在复习旧知识的基础上，让学生探究出平行四边形中线段之间的依赖关系，从而达到了温故知新的目的。 5. 如图：在平行四边形ABCD中对角线AC、BD交于点O， AB=8，如果把下列数值作为两

30、条对角线的长，能组成平行 四边形的是（ ） (A) 4, 12 (B) 6, 8 (C) 8, 26 (D) 12, 20 第五题师：根据你刚才的经验，再看黑板。现在看这个图的时候，怎样来分析呢？ AB是8。告诉你了，如果把下列数值作为两条对角线的长，能组成平行四边形吗？作为两条是什么？生：对角线的长师：AD是什么？AB是四边形的一条边，那么两条对角线的数值在下面，你要怎么办？那么第一组AO要变成什么？ 生：2！ 师：BO？ 生：6！ 师：能不能？ 生：不能！师：第二组？生：3、4！师：行不行?生：不行！师：不行，好！第三组？生：413师：两边之和大于第三边，因为我们讲的是三角形任意两边之和，

31、而现在这两边相加就不是这个了，对么？所以4加8呢？生：12！师：小于第三边行不行呢？生：不行。师：那么（1）呢？可不可以？生：可以的。师：所以答案是（D）。师：如果老师把条件这样给你。AC=12、BD=20，则三角形AOB的周长，这回你会了么？快回答！是多少？生：24！师：好，那么三角形AOB的面积是多少？生：24！师：你怎么知道是24的？AO是几啊！生：AO是6！师：6，BO哪？生：10。师：利用的是平行四边形对角线互相平分，那么现在让你求三角形AOB的面积啊！生：24.这道题，张老师在上一题的基础上，进行了变式训练，起到了强化和巩固的作用。6. 如图：在平行四边形ABCD中对角线AC、BD

32、交于点O, 线段EF过点O交AD于E,交BC于F,图中共有 ( )对全 等三角形.第6题、第7题师：那么，我们研究到这里知道，平行四边形通过对角线的添加，信息是越来越多，那么老师再来添加一条线，经过平行四边形的对称中心，你能告诉我这个图形又可以看到什么信息？l 教师引导，过渡语言中用“研究”二个字用得好，体现了学生在课堂上不是知识的被动接受者，而是以研究者，探究者的身份投入学习，激发学生的求知欲。下面的语言同样进一步激发学生的求知欲，教师把几何图形及图形中的线段与“信息”联系在一起，线段越多，图形越复杂，信息量越大，解题的条件越多，解决问题的途径也越多。因此教师引导学生把精力放在看图形读信息上

33、。师：什么多了？生：全等三角形多了。师：还有呢？生：对顶角也多了。师：还有呢？生：内错角也多了。师：还有吗？OE和OF相等吗？怎么证？生：证全等。师：证那两个三角形全等？生：AOE和COD师：依据呢？生：角，边，角师：哪个角？生：对顶角师：还有？生：内错角师：还有？生：对角线互相平分师：两个三角形？生：全等师：那么同理可证EOD和BOF生：全等师：所以我们可以得到AE这条线段生：等于FC师：ED这条线段生：等于BF师：AB等于CD，所以EF这条经过对称中心的线段与平行四边形两边相交，这条线段被对称中心平均分成两部分，把原平行四边形的周长分成相等的两部分，把原平行四边形的面积分成相等的两部分。l

34、 教师及时归纳小结，“经过对称中心的线段把原平行四边形的周长分成相等的两部分，把原平行四边形的面积分成相等的两部分”很好，可作为以后解题的小经验。师：那么信息多了没有？（出示题6）那么根据刚才的信息，图中全等三角形的数量共有几对？l 教师这时候出示题6，已经是水到渠成了。第6题练习顺序的设计有利于发展学生的看图形的能力，同时发展学生的思维，而不是就题论题，做到练习一道题，复习一块知识。生：6对7. 如图：在平行四边形ABCD中对角线AC、BD交于点O, 线段EF过点O交AD于E,交BC于F,AB=5,BC=6,OE=2,则四边形EFCD的周长是( ) . (A) 11 (B) 13 (C) 1

35、5 (D)17师：那么再来看，（出示题7）AB=5，BC=6，OE=2，求EFCD的周长。（描一下图）师：你能不能很快回答出来。师：根据你刚才的经验，谁来说说看？生：因为AB=5，平行四边形对边相等，所以CD也等于5，因为刚才证出来AEO和CFO全等，所以AE=FC，因为BC是6，AD边也等于6师：为什么？生：因为平行四边形对边相等师：很好生：四边形因为OE=OF，所以OE=2，EF=4，所以四边形EFCD的周长等于EF+FC+CD+ED=ED+AE+EF+CD=6+5+4=15师：认同的举手师：那么根据刚才的信息，我们来做这道题容易吗？生：容易！8. 如图：在平行四边形ABCD中对角线AC、

36、BD交于点O,直线 EF过点O交AD、BC于E、F,交BA、DC延长线于点M、N. 求证:EM=FN. 师：如果现在张老师把这条线段延长成为直线，那么OE=OF还成立吗？生：成立。师：现在把它与AD，BC的延长线分别相交于M，N，老师要问你：OM和ON相等吗？生：相等。师：你的证明是靠什么？生：全等。师：OK，那么OM=ON，你刚才又证了OE=OF，现在老师让你们再证EM=FN，会证吗？生：会。师：怎么证的？刚才老师已经说了一个是两次全等的，然后再来一个等量减等量，那么，你体会一下，刚才通过你读题以后，信息多了，再来看这些题目的时候，是不是线多了，图繁了，题就难了？你感觉是吗？为什么？生：不是

37、。第8题，在平行四边形的对称中心上引入任一条直线，使所能得到的结论更加丰富。教师在图形变得复杂的情况下，提出：“信息多了，线多了，图繁了，题就难了？”，进一步引导学生要善于抓住图形中所给的信息，我觉得教师在图形的变化上下了一些工夫，从而带领学生透过现象看本质，抓住问题的要害。 9.请在下列平行四边形中,画两条直线,将分割成四个部分,使含 有一组对顶角的两个图形全等.这样的满足分割要求的分割线 有多少组,你能找到什么规律吗?师：线多了，条件多了，抓住什么？图形中所给的信息，好，请你来根据刚才的经验，看看这些题，这些图，将这个平行四边形分成四部分，使含有一组对顶角的两个图形全等，会吗？师：那你刚才

38、的经验是什么？ 经过什么？ 经过对称中心，这条线怎么回事呢？想想看，给你点启发。有谁能画出来？ 好，你做一个看看，我也找一个人，看还有谁。好，沈昕昱，跃跃欲试，那你等一会。我们看沈嘉明做的对吗？师生：对的。师：平行四边形两条对角线把平行四边形分出了全等的三角形，沈嘉明这个，大家一目了然，她很自信，肯定对的。这个我们来看看，对吗？生： 不对。师：为什么？你说说。生：取CE的中点，过点F做BC的平行线。师：他这样做是非常特殊的，可以。那你们还有什么经验呢？我们看看直线呢？大家刚刚都画成什么了？这样做的目的是什么 ？生：找对称中心。师：那么他的经验从哪里来的，找对称中心干什么？如果张老师把线画的歪一

39、点呢？刚才讲过对称中心的直线把原平行四边形分成面积相等的两部分，满足这样的分割线有多少组？生：无数组。师：但交点一定要过对称中心。第9题中，通过学生的分析，讨论，作图，教师将其归纳为利用对称中心作图的问题，是站在某一高度上对问题做了合理的处理。 10.画一条直线,将下面的图形分成面积相等的两部分.11. 如图：在平行四边形ABCD中,对角线AC是 的角平分线,AD=6,则平行四边形ABCD的周长为_.（11）题师:刚才我们研究的是平行四边形中的对角线,现在我们研究的是在平行四边形中添上一条角平分线,老师问你,我添上角平分线AC,这里是角1,这里是2,告诉我有什么信息?生:1=2师: 1=2,什

40、么图形出现?生:等腰三角形师:这里是3,2=3,几个等腰三角形?生:2个师:好,你发现除了平行四边形的信息以外,它还有等腰三角形出现,请回答下面问题生:24师:非常好,这样回答是不是快了? 为什么是24, 因为刚才说了等腰三角形,这是6和6,平行四边形对边相等,所以说周长是24.十一题由之前讨论的平行四边形的对角线继续追加条件，让对角线具有双重身份（也是一个内角的角平分线），很好地激发了学生的探索积极性，教师改变了以例题、示范、讲解、为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动中去，以学生为主体地位，教师为辅的地位，让学生自己在探索过程中，理解和应用数学的知识，思想和方法，去寻求平形四边

41、形的有关解题方法，并为接下来的菱形的学习埋下了伏笔。12. 如图：在平行四边形ABCD中,CD=10cm,的角平分线把边DC分为两部分，长度比为2:3,则平行四边形ABCD的周长_.(12) 题如果老师给你的是这样的图形,把DC分成两部份长度比为2：3，求平行四边形ABCD的周长? 告诉我边长呢？生：4和6师：好，这时候求平行四边形ABCD的周长是多少？生：28师：请你注意一下？你还有32呢？好，沈嘉明也说是28和32，我们来看一看他怎么想的？生：在平行四边形ABCD中，CD等于10，DAB的角平分线把DC分成两部风，角平分线所以1=2 因为平行四边形ABCD，所以DCAB，所以2=3 所以1

42、=3 就是说AD等于DE其中有告诉我们，这条线把DC分成两部分长度比是2：3，一个是4，还有一个是6当DE为4，那么AD等于4，在平行四边形ABCD中AD是等于BC的，所以BC也等于4，AB 等于10，那么第一种情况就是28第二种情况是DE为6，AD边为6，BC为6，AB还是为10，那么第二种情况周长为32。师：好，你们考虑到了吗？几种情况？生：2种师：沈嘉明的思维非常严密，我要向他学习，本来我想出这道题看看同学们是不是想不到两种情况，没想到你们都做出来了有了第十一题作为铺垫，后面一题的难度相对降低了一点，但老师在这里巧妙地增添了分类讨论的思想，对学生解题的严密性又提出了一定的要求。13如图：

43、在平行四边形ABCD中, 的角平分线交CD于点E,交BC的延长线于点F,的角平分线交AB于点M，交DA的延长线于点N，图中有_个平行四边形,BC=5,AB=8,则CE+CF=_.13题师：刚才同学们已经知道，我们添了一条角平分线后，平行四边形中就多了什么样的信息出现？生：等腰三角形师：现在老师将两个对角分别取角平分线，并延长，请观察图中有几个平行四边形出现？生：3个师：有几个等腰三角形出现？（引导学生从三角形形状大小的小号、中号、大号来看）生：6个师：三个平行四边形，六个等腰三角形，那么这样的信息出来以后，同学们来计算下面的题，是否会更加容易呢？生：（有个别学生马上回答）CE+CF=6师：这么

44、快就出来了，那么为什么是6呢？（师）生：因为等腰ABF，得AB=BF=8，因为BC=5，所以CF=3，CE=3，CE+CF=6师：还有同学可能从其他角度来看这道题，所谓角度不同，深度不同。所以大家可以从不同的角度来看这道题，答案是6。通过分析和讨论添加一条角平分线所获得的信息量，到增添两条角平分线后所获得的信息量的不同，使学生很自然的过度到如何正确搜索题目给出的信息，这个层次性的铺设并没有让学生感到一丝丝的难度，而且能很快的解答出答案，恰到好处的提高了学生对学习几何的学习兴趣。我觉得这是我们常规教学中的一个基本功。14如图:在平行四边形ABCD中,AB=8cm,AD=5cm, 的平分线交CD于点E, AB