随机变量及其分布

1、第第2 2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布 为了深入研究和全面掌握随机现象的统计规律，我们将随机试验的结果与实数对应起来，即将随机试验的结果数量化，为此引入随机变量的概念 2.1 随机变量随机变量分析分析 我们发现有些试验的结果可以直接表现为数我们发现有些试验的结果可以直接表现为数值比如，在抽样检验产品中，出现废品的个数；值比如，在抽样检验产品中，出现废品的个数； 、 掷骰子出现的点数掷骰子出现的点数 可是有些试验的结果没有直接表现为数字，但可是有些试验的结果没有直接表现为数字，但我们仍然可以用数字来表示它我们仍然可以用数字来表示它比如（比如（1 1）某一工人一天）某一工人一天e e1

2、1=“=“完成定额完成定额”记为记为1 1， e e2 2=“=“没完成定额没完成定额”记为记为0 0； （2 2）抛一枚硬币观察其正面（）抛一枚硬币观察其正面（H H）、反面（）、反面（ T T） 的情况试验中：的情况试验中：“H”H”记为记为1 1，“T”T”记为记为0 0等等，2101S6543212，S一、随机变量的定义一、随机变量的定义 由此可见，由此可见，对于任何一个试验的各种基本结果，对于任何一个试验的各种基本结果，都可以用数量与之对应都可以用数量与之对应这样一来，对于试验的结这样一来，对于试验的结果就都可以给予数量的描述果就都可以给予数量的描述， 例例 1 袋中有袋中有3只黑球

3、，只黑球，2只白球，从中任意取出只白球，从中任意取出3只只球，观察取出的球，观察取出的3只球中的黑球的个数只球中的黑球的个数我们将我们将3只黑球分别记作只黑球分别记作1，2，3号，号，2只白球分别只白球分别记作记作4，5号，则该试验的样本空间为号，则该试验的样本空间为 543542532432541531431521421321，S返回主目录例例 1（续）（续）我们记取出的黑球数为我们记取出的黑球数为 X，则，则 X 的可能取值的可能取值为为1，2，3因此，因此， X 是一个变量是一个变量但是，但是， X 取什么值依赖于试验结果，即取什么值依赖于试验结果，即 X的的取值带有随机性，取值带有随机

4、性，所以，我们称所以，我们称 X 为随机变量为随机变量X 的取值情况可由下表给出：的取值情况可由下表给出：第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 随机变量返回主目录例例 1（续）（续）样本点样本点黑球数黑球数 X样本点样本点黑球数黑球数 X321，3541，1421，2432，2521，2532，2431，2542，1531，2543，1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 随机变量返回主目录 由上表可以看出，该随机试验的每一个结由上表可以看出，该随机试验的每一个结果果e都对应着变量都对应着变量 X 的一个确定的取值，的一个确定的取值，因因此变量此变量 X 是样本空间是样

5、本空间S上的函数上的函数： SeeXX第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 随机变量返回主目录ReSX(e)X(e)随机变量的定义随机变量的定义设设E E是一个随机试验，是一个随机试验，S S是其样本空间我是其样本空间我们称样本空间上的函数们称样本空间上的函数）（SeeXX)(为一个为一个随机变量随机变量，随机变量通常用大写字母，随机变量通常用大写字母X,Y,ZX,Y,Z等表示。等表示。第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 随机变量 我们定义了随机变量后，就可以用随机我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件例如变量的取值情况来刻划随机事件例如2X

6、表示至少取出表示至少取出2个黑球这一事件，等等个黑球这一事件，等等 22XeXe： 表示取出表示取出2个黑球这一事件；个黑球这一事件；二、随机变量的取值表示事件二、随机变量的取值表示事件 其实，如果对于任意的实数其实，如果对于任意的实数 ，集合，集合xxX 都是都是随机事件随机事件 例例 2 上午上午 8:009:00 在学校门口观察，在学校门口观察，令：令： Y表示该时间间隔内通过的汽车数表示该时间间隔内通过的汽车数 则则 Y 就是一个随机变量它的取值为就是一个随机变量它的取值为 0，1，100Y 表示通过的汽车数小于表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；辆这一随机事件；10050Y 表

7、示通过的汽车数大于表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过辆但不超过 100 辆这一辆这一随机事件随机事件 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 随机变量返回主目录例例 3 掷一颗骰子，令：掷一颗骰子，令：X表示表示“出现的点出现的点数数” 求求4XP第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 随机变量返回主目录解：因为试验为古典概型，且基本事件总数为解：因为试验为古典概型，且基本事件总数为, 6n事件事件4X包含的基本事件数为包含的基本事件数为4k644nkXP一.离散型随机变量的概念与性质第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2离散型随机变量1.离散型随机变量的定义

8、离散型随机变量的定义如果随机变量如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无的取值是有限个或可列无穷个，则称穷个，则称 X 为离散型随机变量为离散型随机变量2离散型随机变量返回主目录第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2离散型随机变量离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的所有可能取值为的所有可能取值为，nxxx21并设并设,2, 1npxXPnn则称上式或则称上式或X1x2x，nxP1p2p，np为离散型随机变量为离散型随机变量 X 的分布律的分布律返回主目录说说 明明离散型随机变量可完全由其分布律来刻划离散型随机变量可完全由其分布律来刻划即

9、离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定些值的概率唯一确定第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2离散型随机变量离散型随机变量分布律的性质离散型随机变量分布律的性质:0npn，有对任意的自然数1nnp返回主目录例例 1将将 1 枚硬币掷枚硬币掷 3 次，令：次，令：X：出现的正面次数与反面次数之差：出现的正面次数与反面次数之差 试求试求 X 的分布律的分布律解：解： X 的取值为的取值为-3，-1，1，3 并且并且X-3-113P81838381第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录例例

10、2设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布律为的分布律为X012345P161163161164163164 则则2102XPXPXPXP161163161165第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布返回主目录例例 2（续）（续）543XPXPXP1641631672135 . 0XPXPXP161163164第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录二、三种重要的离散型随机变量的概率分布)10(1,0,)1(1 pkppkXPkk（一）（一） 分布分布)10( 设随机变量设随机变量X只可能取只可能取0与与1两个值，其分布律是两个值，其分布律是则称则称

11、X服从服从 分布。分布。)10( )10( 分布的分布律也可写成分布的分布律也可写成Xkp10pp 1样本空间只包含两个样本点的试验可用此分布样本空间只包含两个样本点的试验可用此分布描述描述又称两点分布又称两点分布（二）贝努利试验、二项分布定义定义1 1 设试验设试验E E只有两个可能结果：只有两个可能结果： , ,且且则称则称E E为为伯努利试验伯努利试验。定义定义2 2 将试验将试验E E独立地重复地进行独立地重复地进行n n次，则称这次，则称这一串重复的独立试验为一串重复的独立试验为n n重伯努利重伯努利( (Bernoulli) )试试验验。AA 及及. )10(1)(,)( pqpA

12、PpAP注：注：（1 1）伯努利试验符合（）伯努利试验符合（0-10-1）分布）分布（2 2）独立指每次试验的结果互不影响）独立指每次试验的结果互不影响（3 3）重复指每次试验中）重复指每次试验中 保持不变保持不变如：一枚硬币抛如：一枚硬币抛n n次，一个袋中有黑白两种球次，一个袋中有黑白两种球放回抽样摸球放回抽样摸球n n次等都是次等都是n n重伯努利试验重伯努利试验pAp)(问题：问题：若用随机变量若用随机变量X X表示表示n n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A A发生的次数，求发生的次数，求X X的分布律。的分布律。解：解：X X的所有取值为：的所有取值为：0 0，1 1，2 2，

13、n.n.nPXp)1 (011)1 (1nnPpCXp221)1 (C2nnPpXpknkknPpCkXp)1 (), 2 , 1 , 0(nk验证：验证：1)1 ()1 (00nnkknkknnkppppCkXP二项式2）二）二 项项 分分 布布如果随机变量如果随机变量 X X 的分布律为的分布律为 nkppCkXPknkkn，101 为参数为参数为自然数，为自然数，其中其中10 pnpnBXpnX,记作的二项分布，服从参数为则称随机变量（1 1）显然，当）显然，当 n=1 n=1 时时 二项分布就是（二项分布就是（0-1)分布分布 （2 2）且）且n n重伯努利试验可用服从二项分布的随机重

14、伯努利试验可用服从二项分布的随机 变量描述变量描述)10(1,0,)1(1 pkppkXPkk例例3 一张考卷上有一张考卷上有5 5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4 4个可个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能答对生靠猜测至少能答对4 4道题的概率是多少？道题的概率是多少？分析：每答一道题相当于做一次分析：每答一道题相当于做一次BernoulliBernoulli试验，试验，对的题数表示该学生靠猜测能答解：设X 41APA，则答对一道题则答则答5 5道题相当于做道题相当于做5 5重重BernoulliBernoulli试验试验415

15、，则BX返回主目录所以所以44XPP道题至少能答对54XPXP5445414341 C6412离散型随机变量返回主目录例例4对同一目标进行对同一目标进行400400次独立射击，设每次射击时的命次独立射击，设每次射击时的命中率均为中率均为0.020.02，试求至少击中两次的概率，试求至少击中两次的概率分析：对目标进行分析：对目标进行400次射击相当于做次射击相当于做400重重Bernoulli试验试验数次射击中命中目标的次表示令解400:X 则由题意则由题意4000.02XB，2离散型随机变量返回主目录4003992111011 0.98400 0.02 0.980.9972p Xp Xp XP

16、 X 由例题可以看出，在实际中，把概率很小由例题可以看出，在实际中，把概率很小( (一一般要求在般要求在0.050.05以下以下) )的事件称为小概率事件在一的事件称为小概率事件在一次试验中小概率事件几乎是不可能发生的，但当试次试验中小概率事件几乎是不可能发生的，但当试验次数充分大时，小概率事件至少发生一次却几乎验次数充分大时，小概率事件至少发生一次却几乎是必然的，因此不能忽视小概率事件。是必然的，因此不能忽视小概率事件。 （三）（三） 泊松分布泊松分布(Poisson) 如果随机变量如果随机变量 X X 的分布律为的分布律为 ，210! kekkXPk 为为常常数数其其中中0 则称随机变量则

17、称随机变量 X X 服从服从参数为参数为的的Poisson Poisson 分布分布记为记为)(XPoisson分布的应用分布的应用PoissonPoisson分布是概率论中重要的分布之一分布是概率论中重要的分布之一自然界及工程技术中的许多随机指标都服从自然界及工程技术中的许多随机指标都服从PoissonPoisson分布分布例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，及书本上出错隔内来到某服务台要求服务的人数，及书本上出错误数等等，在一