一元二次方程的解法归纳总结(共27页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上一元二次方程的解法归纳总结 一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解.一、直接开平方法解形

2、如（0）和（0）的一元二次方程,用直接开平方法.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为（0）或（0）的形式;（2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程,当时,方程无解;（3）对于一元二次方程:当时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当时,一元二次方程有两个相等的实数根;当时,一元二次方程没有实数根.例1. 解下列方程:（1）; （2）.分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（0）的形式,所有选择

3、用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.解:（1）;（2）.例2. 解下列方程:（1）; （2）.分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.解:（1）或;（2）或.习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是 【 】（A） （B）（C） （D）习题2. 若,则_.习题3. 若为方程的两根,且,则 【 】（A） （B） （C）1 （D）3习题4. 解下列方程:（1）; （2）.习题5. 解下列方程:（1）; （2）.习题6. 对于实数,我们用符号表示两数中较小的数,如.（1）_;（2）若,则_.习题7. 已知直角三角形的

4、两边长满足,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）二、因式分解法因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:（1）移项 把方程的右边化为0;（2）化积 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;（3）转化 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;（4）求解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.例1. 用因式分解法解方程:.解:或.例2. 用因式分解法解方程:.解:或.例3. 解方程:.解:.例4. 解方程:.解:或.因式分解法解高次方程例5. 解方程:.解:或或或.例6. 解方程:.解:或.用十字相乘法分解因式解方程对于一元二次方程,当0且的值为完全平方数时,可以用十字相乘法

5、分解因式解方程.例7. 解方程:.分析:,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.解:或.例8. 解方程:.分析:,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.解:或,.例9. 设方程的较大根为,方程的较小根为,求的值.专心-专注-专业解:或是该方程的较大根或是该方程的较小根.习题1. 方程的根是_.习题2. 方程的根是_.习题3. 方程的解是_.习题4. 方程的解是_.习题5. 如果,那么的值为 【 】（A）2或 （B）0或1（C）2 （D）习题6. 方程的根是_.习题7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根,则该三角形的周长为_.习题8. 解下列方程:（1）; （

6、2）;（3）; （4）.习题9. 解下列方程:（1）; （2）.习题10. 解方程:.三、配方法解用配方法解一元二次方程共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.（1）一移 把常数项移到方程的右边,注意变号;（2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数,化二次项系数为1;（3）三配 即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;（4）四开 直接开平方; （注意:当0时方程有实数根）（5）五转 把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;或（6）解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数

7、根的条件和求根公式:一元二次方程有实数根的条件是0,求根公式为:.例1. 用配方法解方程:.解:或.例2. 解方程:.分析:按照用配方法解一元二次方程的一般步骤,在移项之后,要化二次项系数为“1”.解:或.例3. 用配方法解关于的方程:（0）.解:0.说明:0既是二次根式有意义的条件,也是一元二次方程有实数根的前提.因此把叫做一元二次方程的根的判别式.习题1. 用配方法解方程,配方后的方程是 【 】（A） （B）（C） （D）习题2. 若方程可以通过配方写成的形式,那么可以配成 【 】（A） （B）（C） （D）习题3. 用配方法解方程:（1）; （2）;（3）; （4）.四、公式法一元二次方

8、程的求根公式一元二次方程（）的求根公式为:（0）当时,一元二次方程无实数根.例1. 证明一元二次方程的求根公式.分析:用配方法可以证明一元二次方程的求根公式.证明:或即一元二次方程（）的根为（0）.注意:当0时,一元二次方程（）有实数根;当时,二次根式无意义,方程无实数根.公式法解一元二次方程的一般步骤:用公式法解一元二次方程的一般步骤是:（1）把一元二次方程化为一般形式;（2）确定的值,包括符号;（3）当0时,把的值代入求根公式求解;当时,方程无实数根.例1. 用公式法解方程:.分析:用公式法解一元二次方程时要先将方程化为一般形式,并正确确定的值,包括符号.解:.例2. 解下列方程:（1）;

9、 （2）.解:（1）;（2）.说明:当时,一元二次方程（）有两个相等的实数根.例3. 解方程:.解:.用公式法解一元二次方程获得的启示 对于一元二次方程（）,可以用的值确定方程解的情况以及方程的解,并且求根公式里面的二次根式有意义的条件即为方程有解的条件:当0时,二次根式,一元二次方程有实数根;当时,二次根式无意义,一元二次方程无实数根.（1）当时,一元二次方程有两个不相等的实数根;（2）当时,方程有两个相等的实数根. 把叫做一元二次方程根的判别式,用“”表示,所以.在不解方程的前提下,可以由的符号确定一元二次方程根的情况.习题1. 解方程:（1）; （2）;（3）; （4）.习题2. 已知是

10、一元二次方程的两个实数根中较小的根.（1）求的值;（2）化简并求值:.五、换元法 解某些高次方程或具有一定结构特点的方程时,我们可以通过整体换元的方法,把方程转化为一元二次方程进行求解,从而达到降次或变复杂为简单的目的. 换元法的实质是换元,关键是构造元和设元,体现的是转化化归思想.用换元法解某些高次方程例1. 解方程:.分析:这是一元四次方程,可设（注意:0）,这样通过换元就把原方程转化为关于的一元二次方程.解:设,则有:0或0（舍去）.用换元法解具有一定结构特点的方程例2. 解方程:.分析:注意到该方程中整体出现了两次,可整体设元,从结构上简化方程.解:设,则有:或或.例3. 解方程:.分

11、析:本题中的方程若展开整理,则得到的是一个高次方程,但方程本身具有非常明显的结构特点,可整体换元,不用展开即可得到一个简洁的一元二次方程.解:设,则有:或或解方程得:;解方程得:综上,原方程的解为.例4. 解方程:.分析:方程中与互为倒数,若设,则,经过这样的换元,最后可把原方程转化为关于的整式方程,且为一元二次方程.解:设,则有:整理得:或由得:,此时方程无解;由得:,解之得:.综上,原方程的解为.例5. 解方程:.分析:设,则.解:设,则有:或或由得:,此时方程无解;由得:,解之得:.综上,原方程的解为.本题变式: 已知实数满足,那么的值是 【 】（A）1或 （B）或2 （C）1 （D）例

12、6. 已知,求的值.分析:整体设元:设,则0,据此注意根的取舍.解:设,则有:0整理得:解之得:0 的值为3.习题1. 解下列方程:（1）; （2）.习题2. 解方程:.习题3. 阅读下面的材料,回答问题:解方程,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设,则原方程变形为:解之得:当时,解之得:;当时,解之得:.综上,原方程的解为:.（1）在由原方程得到方程的过程中,利用_法达到_的目的,体现了数学的转化思想;（2）解方程:.特殊一元二次方程的解法举例 某些方程的解需采用特殊的处理和方法,下面列举几例.例1. 解方程:.分析:若把该方程展开并整理,会得到一个一元四次方程,这不是我们想看到的结果.可使用换元法解该方程:设,这样就能把原方程转化为关于的一元二次方程.解:设,则原方程可转化为:或或由得:,解之得:;由得:,此时方程无解.综上,原方程的解为.例2. 解方程:.解法1:当0,原方程可化为:,解之得:（舍去）;当时,原方程可化为:,解之得:（舍去）.综上所述,原方程的解为.解法2:原方程可化为:原方程