基于切尔诺夫界和中心极限定理的随机变量和的尾部概率的估计

1、第49 第5期2009年S月Vol 49 No. 5 M3 20»电机& NTeiemmflBunkMian Enpneering文.号：IOO -893X(2009)05 - 0001 -04基切尔诺夫界和中心极限定理的随机变量和的尾部概率的估计毕建叁，仰根帆（南京叙文“天大学,要：£5龙了"立田命卒靖令的中。快他文M棋及切尔送女界.然后宙这胃个才金东体奸« 个M机工量粕种儿年在段*JLM阜分右下*机亶加种儿保收隼传泉鳍暮袅/利用中。 M爪史&6M皿炙立个蠹月及第大时彳痔利岐发"的倒；第M加尔语文泉北解可以居山无邦总 “上界,

2、恒4 A实值之同冷左一定的候4,因此.关贪刖“尔诺夫不等良开网一个欠加繁，立界. 飨MM尔诺夫军件必金S修正.美钝：叙字父；几界帐承；十火偏上我爸，切尔修A界中图分Uq,O2n.4文 1UMR码：Adoh 10. 3969“ 2. 1001-眇3L2009.05.001Calculation of Tail Probability Based on Central UmitTheorem and ChernofT BoundRI Jian - xE. YANG F.ng - fan(Q4kgr of Infomadan Scietwr aid Tz*k3< . Niuijing Uiuv

3、<!nMr> ci AeroMuUc* and Astmnmxic.Nwjtnr 210016, Chtna)AbvtrKl ： Findy.thc central li»it theorm for i. i. d( independent and kfetttkally diMfibuted) nndim van- ahlct and Omw>(T bound are rettrwed, with wfurh the uu! pCMklxbilMy of 4 1.1, d. randocs vangles c«i cuhlcd Krwlts ci the

4、 tail probability obtained under two cxyhrioa probability diKribuOcvM wfjorY tha* cenii“ limit theorem een prcnxle reUtively precise values oo cunditxm tWt a ts tufBciendy 1a while thrrr ahrwyt <nirt ccham rrroo betwem the upper bound at the Mil probabihly arquired by Cbrmoff bnurvl and the exact

5、 value. CcmequecAi, . in ofdtt io Main lifter bound far the mil pmbobtMy -rth Chcmoff infx)uality. ilb nrerweary Io modify the Qirawfl bmind.Key wvrdt dipul comnumicaUon ； Ual prababdity ； cntral lumt thcomB j laq9r ddntione theory* ； ChernofT butml1 91 «平均偏柒槌隼是评估数字通信系姚怪徒的一个 要揩标,在计算平均橘谡钱率时往往施邂估

6、计加 的堂的艇雷横率L即随扒变量息率道度诿& （PDF）用部下阖的自帜,例如W十二迸符号检 舞”,即发送发送物号。或I.M锋区概率已是点”施过门限值的幡率。为了计算生常襄分 利计算上用都晨奉（七21*410）加下尼蕉 *几代们00将用匕和乙的 上界,从R依什2的上界.时于一敝的电机变.由于其概率常度褊散 （POF）的一般性,其率分布的尾都可以通过蜕分 求碑.但有婆情况下,琼以精算得出牌机变收梅日期：X«9-02-08;修圆出$289-03-26童子目：东南大学“奇通信滥本金.#.东宜弁故修宛塔（*2«加）第49卷笫，期2009年5月Mil 49 Na. 52009*

7、“ k %Trlccomniuni<*iwi F.ninctfmg左方用机变之加大f it门*的尾即<1率，文， (I利用切比号火不等式处到了尾部概率的上界. «!&上界相当何松;切尔诺夫不等式,是切比京夫 不写式的一个HL仲，HU*实砧果帕比场尔比夫 界比前，更依近食实伍 ESQ.可 以通过计算切尔塔大界对MJUMI率遇行限定,以必刎 定性研究同的目的.牝外中心H限定理也提供f 一冲近似墟计WRI机支和的尾8WR零的方法.本文的土姿工作必利用切尔诺夫界和中心极剧 定丹估算两"隽兄分布的随鬼交融之林附髭知息率 的上界及茂近似(并分析”比较所得结果的差异.

8、2大偏差理论与切尔诺夫界我阳n光阖我同履中心故限定理。谓定理彻石 1”形式,下面蛤出题口同分布条件下依中心极不 定理.即列堆-稼力格(if - Imad 定理： 2.1城立同分布条件下的中心程限定理定理KLen-Undeberg) 设|苒 为相互独 立网分布的碣机变*.£! £(J.) 三-。(凡)，J (0</< )作妇一化融帆安匕工J £(西-G,剜对任危女敷有：limPir. <«! -”曲-0(>) (1)注定理亶?袤义在于.它指出了、Q克分大驾.a，亡X(儿)近蚁(从wo.”分布,工3 ，3y近似融从曲”/分从而在： 也

9、*F*卜暇若) (3) 这就事决了独立同分布随机变量之总的H*近 似计算，尽管中心幔限定对反映的圮制时 相互依正的随机1Ht序川的和的锹限分布是正态分 布,轲在放阳定厝X次实际同0N.只要先分大 (一侬划为)就可以利用定理作近似计算.本文 将我立同分布辙况变裕之和近做电力正品随快变 安.从而怙，微率.2.2切尔塔夫先大偏差(以 DiwuHsa理论是率论的吸 2- 戏及枪中极富或果的一个分支，它处壳和中心极浓 定理不同的%突授网问16 ,是大败定律的情身化. 大修短程讹必关于一个微年分&嫌腓清点为0间的 表观.设工为拽分布的修机费. 令及£«,大偏差理论的出r如下极奴

10、bm -IglS. > n<| a>/(*)(4) n式中."Gifiei称为Gamer福敷“微朋上式町以B 出当足”大时的燃睾>a| .如下P|5a > m| > eip ( - o/(«)(5)如果已知凡的口率分布.剜讪救，)可迸一 步去示力/(>) 大口力-(8)】(6)式中称为累粗母击数,可我小为= lg£.eip«DU卜我们玲出大偏差埋枪的一个只体应用 切尔诺夫界.当时大倒控之网分布网机变&(£ 1.2")求平均时，其结果收敛于均值.假对 于年 而宫均倍本。电星一个隔机变量.

11、当求 fc中的I#员蛰置收增大时康均(R的尾茄星率分冬 将金掰很小.定a 2(CJm4TB*md) ” OS.为显个81 立同分布的随机变量 Ld1.2/)的和.即， 士为维个阳机变的微率分布为，/“月均做 *i(x>.对于任大于£(A)的南改，表PlS.rl *。«吟")(8)式中,5家武人指数6,")为A；(r) -lri£f(eMP(>X)l (»)WM式(8)和式(9)町以估算5.尾部一率的上 界.除此之外在证明Slumron %好信道金研定 HT”我打也利用了恸尔谭矢不等式.该定变 诔明的思踣玄装始修于联合4兵S

12、1序列的思JB。K 设发送的对字为q切尔诺夫不答式合诉衽们：当码 长由f无力时,发送的码7.应的相仪序列 ，必定构成取介,翼不序列.从而使济科的诲息隼 上于零.3月部概事的估算与分析方ufldn分别然丸均匀分e”正左分布的随机 长u之时,利用中心槌取*短和切尔诏夫r估算它 门的尾部假也，“丁均”分布,我n还与我夜城依第8卷第5期2009年5月Vd.49 No. 5May 2009TelccxuntMumcMion Enginemnf进行了比较于正态分布,中心极限建得给出的始 果本身就是准31均匀分花的情况&甚,西工为曲宜帆序列,均为K从 < -I/2J/2)上均为分布的防帆变.其

13、概率密度 效(哂)为: _S (io)厢机变苒的均值和力要为£(Xt) = 0,例西)* 1/12 (II)令及二宫西以下f鬣中心槌定理和切尔诏 AWftif r=0.1时均句分布微机变和的尾称假 率的近似值上界同时依据均匀分布的变 Ml的概率分布嫉敷定其籍呻I率的懵值.3 11方澹1(中心1定)由中心慑限定理可皿,当充分大时.5.近叙 (从正亳分出M0,V12) ,故，FjSa>»r| *1» I - ( /lS/K)/MI2(I2)3.12 方法2(切尔ig关界)由式(9)可播切尔诺夫IS收r.(ai).国皿巧幺半出±上?2(B)目标福航为y

14、a, r 0.1 )0.帖 “至皿誉今 以下求,(人0 ”的 大假C卜”(S) y Cl. 44a ' exp(f/2) - exp( - «/2)>(M)由计算euaia可将曹在区间(。内的疑蛾. 如图1所示.mi (o.jixwjatt以下我力刈用一元JI线性力程的-二分法”,通 过计算机收戢来求导函数普在区间(0A)上的椒. 其绪果为L229 9.冈比晦y(，.T0> I) I2299.r-a I) .aO6O7w 由式 (B)可flh 当， 01时的切尔诺夫界如下： PIS.才 E I-I $中-4”)(15)3.13 方法乂均匀分布总机更物的分布福) 令

15、从均勾分<11/房的秀个独立越机1:之*1的分布承为0。< “一八 jrAnX(- -h* -)r.r(y) (4-r时气 riMS -«) *no <y <(A 1乂6 一) .no hy(16) 式中 上=0.1.2e -1.令-1/2.S .】可博暨从均匀分布 V( 1/21/2)的*2«机变景之和的分布由数入(八. 剜髭部口率的充硝值为”向-I -Fjar) (17) 由式(12人(15).( 17)可用.M于任意的机堂 个数跖尾瓢率P|S.»”I的近但值、上界及塞一 值,模2结果如图2所示.6印B2局部/学附近他值上鼻以及班累81

16、承，当启足第大MC>20) .基于中心松 定理所押到的储果巳经昨余近准确值切尔 诺夫界与准豌俱有一定的差距。基于以上绪果,我们在。更大筋他用内,博切尔 洋关界与近似施比较,结累加照3所示.所得站累 发示两者蛤弊存在一定的差异。第49卷第5期2009年5月Vol. 49 No. 5Ma, 20094U4L ZTelxcamMimc4rtg EnfinerfinfiC)基于中4强定药的近©值与<0家诏大W3.2正有分布的a况设,工为我立网序列.均为91从 阳0,1)的用机费,其微卑密度函数为<>(，)-JL EtXJ «0.D(Xt)1令 3.£

17、;为.则&同样*从正套分布,即s.-MOm). W 立.昆明tt率的圈椅他很容易求帮.令0.1 >£(*3剜：CIS. >«rl = l-em/隔=l-4K/»)(B) 然后,计算切尔诺夫界由式(9)称切尔诺夫指 畋如下,“6 11 *m(Q. b -？/2)(19)目标函数力,Ck Q. 1) -0.阳当,0.l时,。“0. I)可麻将大值(1005“ 曲式C)»IW r-0. I3的坨尔诺夫界如卜， PIS. I,. <«P(-n£.(r» -匕尔-(1小)(20)由成(18)*式(20)可网.

18、对于仟意同机变个 数号正名分布随机变的尾非R*P|S.#“ 的符央值加上界,侵旭站累如图4所示.所博果 区示两也同怦存在一定的短斤.ffl< 4r值/切尔谒大男堂会以上网肿情况.我的可以发现.由切尔诺夫 界所求树的硼交贵和的足部横掌的上界冥做 或基于中心翻眼定耳所种的近似ffl相比小淀的空 第,但它却是一个在任何条件下均可以应用筋上界：4结论家用切尔谎夫界.负然可以求出此部概率的上 畀.祖，食女位之时存在一定的谀舞,而何用中。0 限定值时q足够大方可烟剜较松磅的0L因 此，若叟用切尔诺夫不等式将刿一个更1案漆的界. 演时切尔诺夫界迸行必要的修正.8 ,可以为虔馀 切尔诺夫界m单收成d时凡作假数履开等.这息