因式分解的9种方法

1、因式分解的多种方法-知识延伸，向竞赛过度1 .提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：2x2 -3x = 0解：x(2x-3)=0 , x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个 (x-a)因式，这对我们后面的学习有帮助。2 .公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。例二：x24分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2,适用平方差公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3 .十字相

2、乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2 ,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2 ,并使a1c2+a2c1 正好是一次项b,那么可以直接写成结果例三：把2x2 7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数分解二次项系数(只取正因数):2 = 1X2 = 2X1 ；分解常数项：3=1X3=3X 1=(-3) X(-1)=(-1) 牛3).用画十字交叉线方法表示

3、下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7.解原式二(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式axA2+bx+c(a 0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即 a=a1a2 ,常数项c可以分解成两个因数之积，即 c=c1c2，把a1 , a2 , c1 , c2 ,排列如下：a1 c1Xa2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2+a2c1 ,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数 b,即a1c2+a2c1=b ,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2 之积，即ax2+bx+c

4、=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。4 .分组分解法也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来，需要可持续性！ 22例四：x 4x 4 - y可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式解：原式 =(x+2) A2-yA2=(x+2+y)(x+2-y)总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。5 .换元法整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上2例五：(x + y) -2(x + y)+1分解因式考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用 a代替x+y那么原式=aA2-2

5、a+1 =(a-1)A2 ,回代原式=(x+y-1 ) A26 . 主元法这种方法要难一些，多练即可。即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数例六：因式分解 16y 2x2(y -1)2 8x2y x4(y -1)2分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以 x为主元的话，原式的难度就大大降低了。原式=x4(y 1)2 +2x2(y _1)2 +8x2y +16y 主元法=仅人2yA2-2xA2y+xA2+8y)(xA2+2) 【十字相乘法】可见，十字相乘十分重要。7 .双十字相乘法难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如ax2 +bxy +cy2 +dx

6、 +ey + f的二次六项式在草稿纸上，a = mn, c = pq, f = jk如果mq + np = b, pk + qj = e , mk + nj = d ,即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式=(mx + py + j) (nx + qy+k)要诀：把缺少的一项当作系数为 例七：ab + b2 + ab 2分解因式解：原式= 0X1 xaA2 + ab + bA2 + a b 2=(0Xa+b+1) (a+b 2)=(b+ 1 ) ( a+ b 2)8 .待定系数法将式子看成方程，将方程的解代入，这时就要用到“1 ”中提到的知识点了当一个方程有一个解 x=a时，该式分

7、解后必有一个 (x-a)因式例八：x2 , x -2该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做，xA2+x-2=0一眼看出，该方程有一根为 x=1 ,那么必有一因式为(x-1)结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2 (因为乘-1要为-2)一次项系数必为1 (因为与1相乘要为1),所以另一因式为(x+2),分解为(x-1)(x+2)9 . 列竖式让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上，不足的项要用0补除的时候，一定要让第一项抵消例九：3x3 +5x2 -2分解因式提示：x=-1可以使该式=0,有因式(x+1 )那么该式分解为(x+1) (3xA2+2x-2)因式分解有9种方法，这么多其实是不止的，还有很多很多。不过了解这些，初中的因式分解是不会有问题了。考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。3, 2- 2, 2 22 3xy + 6 2x 3y3a b c -6a b c 9ab c(3a -b)2 -4(3a -b)(a 3b) 4(a 3b)2(x+2)(x 3)+ (x+ 2)(x + 4)2 一 ,12x -29x+ 15x(y