向量知识点题型归纳

1、专题-平面向量（4）已知 ABC中，点D在BC边上，且CD 2 DB ,CD r AB s AC ,贝U r s的值是1.向向量的相关概念、（答：0）2.向量的线性运算二.向量的表小方法：1 .几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ,注意起点在前，终点在后；2 .符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 3, b, C等；3 .坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量；，为基底， r r r则平面内的任一向量a可表小为a xi yj x,y，称x, y为向量a的坐标，a= x, y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点

2、坐标相同。.平面向量的基本定理：如果ei和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数i、2 ,使a= iei+ 262。如r rrr1 r 3 r（1）若a （1,1）,b （1, 1）,c （ 1,2）, WJ c （答：a b）;22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是ur uuA. e (0,0), e2 (1, 2) B.ITUUG ( 1,2),e (5,7)ut ururuu 13C. 今C(6,10)D. e 3),Q(?4)（答：B）；四.实数与向量的积与向量a的积是一个向量，记作a,它的长度和方向规定如下:>0时,a的方向

3、与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反,当 =0时,a丰0o五.平面向量的数量积：uuu r uiur r1.两个向量的夹角：对于非零向量a, b,作OA a,OB b,AOB称为向量a , b的夹角，当 =0时，a, b同向，当2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a, b,它们的夹角为b的数量积（或内积或点积），记作：a?b,即a?b =积是0,注意数量积是个实数，不再是一个向量 。如时，a , b反向，当=一时,2r r一,我们把数量| a |b |c°s叫做a与(D(2)(3)(4) ABC中，| AB|3, |AC|,uuiit uuu t ,(3)已知AD

4、, BE分别是ABC的边BC,AC上的中线，且AD a,BE b,则BC可用向量 a,b表示为(答:|a4);,r已知a1 r(1,一 ),b2(0,-),C2r 已知a2,br r 5,a*3,已知a, b是两个非零向量，且b cosO规定：零向量与任一向量的数量r u r r r , it,二，一kb,d a b, c与d的夹角为一，则k等于4（答:1）；a 1b（答：%）;rb的夹角为 （答：30°）r3. b在a上的投影为|b |c°s ,它是一个实数,但不一定大于 0。如已知|a|3,|b|5,且ab 12,则向量a在向量b上的投影为(答：-5r r uuu uu

5、ir uuur a b AB BC AC ;4. a?b的几何意义：数量积a ? b等于ra的模|a |与b在a上的投影的积。uur r uur r r向量的减法：用“三角形法则”：设AB a,AC b,那么auuuABuuurACuuuCA ,由减向量的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。5.向量数量积的性质：设两个非零向量a,b ,其夹角为，则:r r r ra b a?b 0;当a , b同向时，a?b =2 ar ra?a盘;当2与b反向时，a?b =当为锐角时，a?b>0,且&b不同向,rb 0是 为锐角的必要非充分条件；当 为钝角时,(1)化

6、简：uuur(答：AD ;uuu uurAB BCUUlr ULUf UULTCD ； AB ADuuirDCuuir；(ABuurCD)UUU(ACuuirBD)CB;0);uur r uuur(2)若正方形ABCD的边长为1, AB a,BCr uur r b, AC c ,(答：2/2)；.r rb <0,且& b不反向,a b 0是为钝角的必要非充分条件；(3)若。是VABC所在平面内一点，且满足uuu uuurOB OCuuu uuirOB OCuuu2OA ,则VABC的形状为非零向量a , b夹角r ra?b _ r r r r .的计算公式：cosirTTri ;

7、 |a?b| |a|b| o 如ab(答：直角三角形)；uur uuu uuu(4)若口为 ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P ,满足PA BP CP(1)已知 a ( ,2 ),b (3 ,2),如果a与b的夹角为锐角，则 的取值范围是uuu0,设皿 |PD|则的值为(答：2);(2)已知 OFQ的面积为S ,且OFf-FQ 1,若1 S 型，则OF, FQ夹角 的取值范围是 22六.向量的运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”uuu r uuur ruuu r r:设AB a,BC b ,那

8、么向量AC叫做a与b的和，即(5)若点O是AABC的外心，且OA OB COr 0,则AABC的内角C为 (答120°);2.坐标运算：设 a (Xi,yi),b (X2,y2)r r向量的加减法运算：a b (x1 x2,ur已知作用在点A(1,1)的三个力4 r头数与向重的积：aXj, y1uuu若 A(x,y1),B(x2,y2),则 ABX2y1Y2)。uu(3,4), F2 (2,x, y1。urur uuuir5)E(3,1),则合力 FFiF2uuF3的终点坐标是X1,y2 % ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标uur1 uuu unr

9、uuu11设 A（2,3）, B（ 1,5）,且 AC-AB , AD3AB,则 G D的坐标分别是 （答：（1 二）,（7,9）;33r r平面向量数量积：a?b x1x2 y1y2。r r2 r 一 一 一向量的模：|a| J?, a |a| x y。如r ruu r已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60。，那么|a 3b| =（答： 尺）；两点间的距离：x/,B X2,y2,则 |AB|能约去为什么?七.向量的运算律1.交换律:r a,2.结合律:r r c,a3.分配律:r a,卜列命题中：a (b c) abac22|a|b| |b|;右 ab 0,则 aX1y22y1个向量，切记

10、两向量不能相除（相约）；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即（b?3） （a?b）c ,r r r r八.向量平行（共线）的充要条件：a/b a br r(1)若向量 a (x,1),b (4,x),当* =r r r r(a b)2 (| a |b |)2xm丫忆=0。如r r时a与b共线且方向相同(答:2)；.rr r rrr 一 r r(2)已知 a(1,1),b (4,x), ua2b , v2ab ,且 u/v,贝 x=(答:4);uuruuuuuir(3)设 PA (k,12),PB (4,5), PC (10,k),则 k =时，A,B,C 共线r ?br ra?br a?（答：

11、2或 11）九.向量垂直的充要条件x1x2 丫诙0 .特别地b ?ca?c b?c。0) a (b c) (a b) c ;(a b)2 | a |2r r r r r r r 20或b 0 ;若a b cb,则a c；ar r r2 " a b a (Z)-rT ar草;ar rr2r2 rrr2 r rr2(a bpab ;(ab)2a2a bb。其中正确的是(答：)提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不uuuuuuruuuuuurABACA

12、BAC(Ttuutii-uutTi )(rutuiruuuri ) oABACABACuuuuuruuu uuu(1)已知 OA ( 1,2),OB (3,m),若 OA OB ,贝m（2）以原点O和A（4,2）为两个顶点作等腰直角三角形 OAB B 90 ,则点B的坐标是(答:(1,3)或(3, 1);rr 11rM ur(3)已知n (a,b),向量n m ,且n m ,则m的坐标是（答：（b, 2）或（b,a）十.线段的定比分点：urnruur1 .定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数 ，使PPPP2 ,uuuruuur则 叫做点P分有向线段PP

13、2所成的比，P点叫做有向线段RP2的以定比为的定比分点；2.的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段巳P2上时>0；当P点在线段巳P2的uuuu延长线上时<1;当P点在线段P2P1的延长线上时10;若点P分有向线段P1P2所成uuuu1的比为，则点P分有向线段P2P1所成的比为-0如rH.平移公式：如果点P(x, y)按向量a h,k平移至P(x,y )/Ua = pp , x xh;曲线f(x,y) 0 y y kr按向量a h,k平移得曲线f(x h, y k) 0.注意：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ (2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！ 如(1)

14、按向量a把(2, 3)平移到(1, 2),则按向量a把点(7,2)平移到点(答：(-8, 3);若点P分AB所成的比为3,则A分BP所成的比为4(2)函数y sin 2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y cos2x 1,则2=(答：(T) 412、向量中一些常用的结论：uuiui(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;3.线段的定比分点公式：设P(x1,y1)、P2(x2,y2), P(x, y)分有向线段 PP2所成的比为 ，则X1X2x 1y 11_y21土生二线段P1P2的中点公式x2xy2yyx x22y1y2。在使用定比分点的坐标公式2时，应明确(x,

15、 y),(刈，山)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如.4 1 1 若M -3, -2 , N 6, -1 ,且MP - MN,则点P的坐标为 3(答：(6, 7);31uuuu uur i ”一(2)已知A(a,0), B(3,2 a)、直线y ax与线段AB交于M .且AM 2MB、则a等于 2rrrrrrr rr（2） |a| |b|a b|a| |b|,特别地，当 a、b 同向或有 0r r rr 、“ r r - rrr r r|a | |b| |ab|;当 a、b 反向或有 0

16、|ab| |a| |b|r r r r r r，|a| |b| |a b| |a| |b|（这些和头数比较类似）.在ABC中,r r r r|a b| |a| |b|rr r r|a| |b| |a b| ；r r当a b不共线若Ax1,y1 ,B x/ ,C x3, y3 ,则其重心的坐标为G ,3。如若/ABC的三边的中点分别为(2, 1)、(-3, 4)、(-1 ,-1),则，ABC的重心的坐标为2 4匚,”(答：2或一4)uur uuu uur rPA PB PC 0P为ABC的重心;uur . uuri uuu uurPG 1（PA PB PC） G为 ABC的重心，特别地 3uuu

17、PC且a D若存在实数，使得b a ,则uuu uuuuuuuuuruuruuu PA PBPBPCPCPAP 为 ABC 的垂心;uuruuur向量（_Ag_ -AC）（0）所在直线过 ABC的内心（是BAC的角平分线所在直线）;|AB| |AC|uuu uun uuin, ,uuiuuu（4）向量PA、PR PC中三终点A、B、C共线 存在实数、 使得PA PB平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知两点 A（3,1）, B（ 1,3），若点C满足OC 10A 2 OB ,其中1, 2 R且12 1,则点C的轨迹是（答：直线AB）12、向量与三角形外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.是三角形三

18、边中垂线的交点.（下左图）重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.（上右图）三、垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.（下左图）四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.是三角形三内角平分线的交点.三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例（上右图）题型一：共线定理应用例一：平面向量a,b共线的充要条件是（）A.a,b方向相 同B.a,b两向量中至少有一个为零向量C.存在 R, b a D存在不全为零的实数1, 2, 1a 2 b 0变式一：对于非零向量a,b , “ a b 0 ”是“ a/ b

19、”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二：设a, b是两个非零向量（）A.若 a b a_b 贝 Ua b B.若 a b,贝 Uab a _ bC.若a ba b，则存在实数，使得ba ba b例二：设两个非零向量e与e2 ,不共线，（1）如果 Q &e2,BC&2e2,CD 晶2e2,求证：A,C,D三点共线；（2）如果aB 0e2,BC203e2,CD2e；ke；,且A,C,D三点共线，求实数k的值。lrb-b- b*it-变式一：设e1与e2两个不共线向量，AB 2q ke2,CB e1 3e2,CD 2q e2,若三点

20、A,B,D共线, 求实数k的值。变式二：已知向量a,b,且AB a 2b,BC 5a 2b,CD 7a 2b,则一定共线的三点是（）A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 变式四：在平行四边形ABCm，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F,例一：设P是三角形ABC所在平面内的一点，2BP BC BA,则A. 0 PA PBB. 0 PC PA C.0 PB PC D. 0 PC PA PB1 -1/2-1-1-1-1-2 -右 AC a, BD b,则 AF ( )A.a- b,B. a

21、b,C. a一 b,D. a b,42332433题型三：三点共线定理及其应用变式一：已知。是三角形ABCff在平面内一点，D为BC边的中点，且0 2OA OB OC ,那么（）例一：点P在AB上，求证：OP OA OB且 =1（, RA. A0 OD B. A0 2OD C. A0 3OD D. 2A0 OD变式：在三角形ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AR AC于不同白两点M和N,若 AB mAM , AC nAN,则 m+n=变式二：在平行四边形ABCmABADb, AN 3NC ,M为BC的中点，则MN （用a,b表示）例二：在平行四边形ABCm，E,F分别是BC,C

22、D勺中点，DE与AF交于点H,设aB a, BC b,则aH【0，），例二：在三角形ABC, AB C, AC b,若点D满足BD 2DC ,则aD ()2 ,i.52 -2-1-1 - 2-A. b c, B.c b, C. b c, D. b c,33333333变式一：(高考题)在三角形ABC中，点D在边AB上，CDF分角ACB,CB a, CA b," 1,|b 2,则 CD ()一 1，2，2 1 134 4，3，A. a b, B. a b, C. ab, D. a b,33335555变式二：设D,E,F分别是三角形 ABC的边BC,CA,AB上的点，且DC 2bD,

23、CE 2eA, AF 2fB,则AD BE, CF 与 BC ()24242424;A. a b, B. ab, C. a b, D. ab,55555555变式：在三角形ABC中，点M是BC的中点，点N是边AC上一点且AN=2NC,AMr BN相交于点P,若 AP PM,求的值。题型四：向量与三角形四心一、内心例一：。是ABC所在平面内一定点，动点P满足OP OA变式三：在平行四边形ABCm，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC AE AF ,其，RMAB AC 10'且厨厨3,则ABC则点P的轨迹一定通过ABCM （） A.外心B.内心 C. 重心 D.垂心A.反向平行 B. 同

24、向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直，AB AC、一变式一：已知非零向量 AB与AC满足（尸二J 尸二P BC AB ACA.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形、重心AB PCBC PACAPB 0P为 ABC勺内心例一：。是ABC 内一点，OCOAOB 0 ,则为ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂变式一：在ABC, G为平面上任意一点，证明:GOA I-(GA GB GC ) O为 ABC的重ABC中，G为平面上任意一点，证明:GO1 ,-(AB AC )O为 ABC的重心三垂心:例一：求证：在 ABC中，OA OB OB OCOCOA O为

25、ABC勺垂心变式一：O是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的个点，动点P满足OP OA (ABACAB COSBAC COSC),R,则点P的轨迹一定通过 ABC勺(A.外心 B.内心 C. 重心D垂心四外心例一：若O是 ABC勺外心，H是 ABC勺垂心s则OH OA OC OB变式一：已知点q n,p在abc所在平面内，且|oA|oB|oC|,0 "NA"NB -NC,PA PB ?BPCPCPA ,则 O, N, P依次是 ABC的()A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、 内心题型五：向量的坐标运算例一：已知 A(-2,

26、4),B(3 , -1) , C(-3, -4),且CM 3CA,CN 2CB，试求点 M,N和 mN 的坐 标。变式一：已知平面向量a (J3, 1), b (2，)2，向量 x a (t 3) b, y ka tb,其中 t和k为不同时为零的实数，(1)若7 y ,求此时k和t满足的函数关系式k=f;(2) 若, 求此时k和t满足的函数关系式k=g.变式二：平面内给定3个向量.(3,2), b ( 1,2),c (4,1),回答下列问题。(1)求3之b 2 c ； (2)求满足a mb nc的实数 m,n; 若(a kc) /(2 b a),求实数k； (4)设 B*-*,=* I.d(x

27、, y)满足(dc)/(ab)且d 。1,求 d。题型六：向量平行(共线)、垂直充要条件的坐标表示例一：已知两个向量a (1.2),b ( 3,2),当实数k取何值时，向量ka 23与2a 4b平行？变式一：设向量a,b满足|a|= 2j5 , b= (2,1 ),且a与b反向，则a坐标为例二：已知向量 OA (k,12),OB (4,5), OC ( k,10)且 A,B,C 三点共线，则 k=()A: 3B: 2C:2D:32332一 一 31、变式一：已知a (-sin ),b (cos ,-),且2例,则锐角a为 23变式二： ABC勺三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量p

28、 (a c,b),q (b a, c a)pq,则/C的大小为()22A: - B: - C: - D:2-题型七：平面向量的数量积例一：(1)在 RtABCt, / C=90° , AC=4,则 AB AC ( ) A: -16 B:-8 C:8 D:16(2)(高)已知正方形ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点，则DE CB的值为; DE CB的最大值为(3)在4ABC中，M是BC中点，AM=1,点P在AM上满足AP 2PM ,则PA (PB PC)等于(A:B:D:变式一：(高)如图所示，平行四边形 ABCg, APIBD,垂足为P,且AP=3,则AP AC =变式二：在A

29、BC, AB=1, BC=2 , AC=/3 ,若O为AABC的重心,则AO AC的值为例二：(高)在矩形ABCW ,AB=5,BC=2,点E为BC的中点，点F在边CD±,若aB AF 行，则 M BF 的值是变式一：(高)在4ABC 中，A 900, AB 1,AC=2.设点 P,Q 满足 AP AB, AQ (1 )AC, R,若BQ CP 2,则)A：1B: -C: -D:2333例三：已知向量a,b,c满足a b c 0变式一：在 ABC中，若I AB4,|AC变式二：已知向量a,b,c满足a变式三：已知向量a,b,c满足a题型八：平面向量的夹角0,且a日, 1 1a6,贝U

30、 AB BC BC CA CA ABb,ia¥2,则c0,且(a b) c,a b,1,则例一：已知向量a (1,J3),b (2,0)，则W与b的夹角是例二：已知a,b是非零向量且满足(a 2b)变式一：已知向量a,b,c满足同1,|b 2,c变式二：已知20是非零向量且满足口 口变式三：若向量a与b不共线，a b 0,且c变式四：(高)若向量一与一满足 1,与的夹角的取值范围是+ 2+ 22a b |ca,(b 2a)b,则Ofb的夹角是b,a c,则a与6的夹角是a b,则a与a b的夹角是=)b则:与的夹角是a b1,且以向量一与一为邻边的平行四边形的面积为0 . 5 ,则例

31、二：已知口 三|耳1,1与b的夹角为45°,求使向量1 E与a 1的夹角为锐角的的取值范变式一：设两个向量e©,满足e 2, e2 1 , e与e2的夹角为一,若向量2te1 7e2与e te的火 3角为钝角，求实数t的范围变式二：已知a与b均为单位向量，其夹角为 ，有下列4个命题:p1 : a b1p4 : a b1rc 2 、，2、0,)；P2 ： a b 1(,；33(-,；其中的真命题是()A. PL B.3P3：a b 10,-)；Pl,P3 C.P2,P3 D.P2,P4题型九：平面向量的模长例一：已知a |b 5 ,向量a与b的夹角为目，求a b , a b。变式一：已知向量a与b满足.1,|b 2,a b 2,则a b =变式二：已知向量a与b满足同1,|b| 2,冉b的夹角为，则,b = -31变