高中数学北师大版必修4学案：1.4.1+4.2 单位圆与周期性 Word版含解析

1、§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性1理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用(重点)2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系(重点)3.理解周期函数的定义(难点)基础·初探教材整理1正、余弦函数阅读教材P13P15“例1”以上部分，完成下列问题任意角的正弦、余弦函数的定义(1)单位圆的定义在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆(2)如图141所示，设是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：图141正弦函数余弦函数定义点P的纵坐标v定义为角

2、的正弦函数，记作vsin_点P的横坐标u定义为角的余弦函数，记作ucos_通常表示法ysin x定义域为全体实数，值域为1,1ycos x定义域为全体实数，值域为1,1在各象限的符号判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数的自变量都是角()(2)正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，而不用角度制()(3)角确定，则角的正弦、余弦函数值与点P在终边上的位置无关()(4)若sin <0，则为第三或第四象限角()【解析】根据三角函数的定义，知(1)正确，(3)正确；尽管在正弦函数、余弦函数的定义中，角的值既可以用角度制，又可以用弧度制来表示，若用角度制表示时，如3

3、0°sin 30°就无法进行运算，改用弧度制时，sin就可以运算了，即自变量的单位与函数值的单位都用十进制数统一了，因而(2)正确；若sin <0，的终边也可能落在y轴的负半轴上，因而(4)错【答案】(1)(2)(3)(4)×教材整理2周期函数阅读教材P16P17练习以上部分，完成下列问题1终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(xk·2)sin_x(kZ)(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(xk·2)cos_x(kZ)2一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个

4、x值，都有f(xT)f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期3特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k(kZ，k0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)2k(kZ)是正弦、余弦函数的周期()(2)f(x)x2满足f(36)f(3)，故f(x)x2为周期函数()(3)对正弦函数f(x)sin x有ff，所以是f(x)的周期()【解析】(1)错误kZ且k0时，2k是正弦、余弦函数的周期(2)错误因为f(26)f(2)(3)错误ff()不满足任意性【答案】(1)×(2)

5、×(3)×质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型正弦、余弦函数的定义已知的终边经过点P(a，a)，a0，求sin ，cos .【精彩点拨】利用正弦函数、余弦函数的定义可求sin ，cos .【自主解答】当a>0时，ra，得sin ，cos .当a<0时，ra，得sin ，cos .利用三角函数的定义求值的策略1求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离2若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理3若已知角，

6、则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标再练一题1已知角的终边在直线y2x上，求角的正弦值和余弦值. 【导学号：66470006】【解】设直线上任意一点P(a,2a)，a0，则r|a|.当a>0时，sin ，cos .当a<0时，sin ，cos .三角函数值的符号判断(1)判断符号：sin 340°·cos 265°；(2)若sin 2>0，且cos <0，试确定所在的象限【精彩点拨】(1)由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号，进一步确定各式符号(2)根据正弦、余弦在各个象限的符号确定2的象限，进而确定所在的象限【自主解答】(1)340

7、°是第四象限角，265°是第三象限角，sin 340°<0，cos 265°<0，sin 340°·cos 265°>0.(2)sin 2>0，2k<2<2k(kZ)，k<<k(kZ)当k为偶数时，设k2m(mZ)，有2m<<2m(mZ)；当k为奇数时，设k(2m1)(mZ)，有2m<<2m(mZ)为第一或第三象限角又由cos <0，可知为第三象限角1正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余弦右为正”，即当角的终边在x轴的上方

8、时sin >0；当角的终边在y轴的右侧时，cos >0.2对于确定角所在象限的问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后根据各三角函数的符号来确定角所在象限，则它们的公共象限即为所求3由k<<k(kZ)确定所在象限时应对k进行分类讨论再练一题2(1)判断的符号；(2)若sin >0，cos <0，判断角所在象限【解】(1)2，3，4，6，sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0，>0.(2)sin >0，的终边在一、二象限或y轴的正半轴上cos <0，的终边在二、三象限或x轴的负半轴上故当s

9、in >0且cos <0时，在第二象限探究共研型利用正弦、余弦函数的周期性求值探究130°与390°的终边相同，两角的同一三角函数值相等吗？【提示】相等探究2终边相同的角的同一函数值都相等吗？为什么？【提示】都相等因两角终边相同，其始边与单位圆交于同一点，由三角函数定义知函数值相等探究3公式sin(2kx)sin x，kZ，cos(2kx)cos x，kZ，揭示了什么规律，有什么作用？【提示】(1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2(或0&

10、#176;到360°)角的三角函数值求下列各角的三角函数值(1)sin；(2)cos 1 500°；(3)sin ；(4)cos .【精彩点拨】当角不在02之间时，常利用“终边相同的角的三角函数值相等”，把该角转化到02之间，再求值【自主解答】(1)sinsinsin .(2)cos 1 500°cos(4×360°60°)cos 60°.(3)sin sinsin .(4)cos coscos .1利用终边相同的正弦、余弦值之间的关系可把任意角的三角函数化归为0,2)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归

11、(转化)思想2一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值3.正弦1余弦0再练一题3求下列三角函数值(1)cos(1 050°)；(2)sin；(3)log2(4 sin 1 110°)【解】(1)1 050°3×360°30°，1 050°的角与30°的角终边相同cos(1 050)°cos 30°.(2)4×2，角与角的终边相同sinsin.(3)sin 1 110°sin(3×360°30°)sin 30°，log2(4sin 1 110°)log2log221.构建·体系1已知P(3,4)是终边上一点，则sin 等于()A.BCD【解析】r5，sin .【答案】C2cos的值为()ABCD【解析】coscoscos.【答案】D3已知函数yf(x)是周期函数，周期T6，f(2)1，则f(14)_. 【导学号：66470007】【解析】f(14)f(2×62)f(2)1.【答案】14使得lg(cos ·tan )有意义的角是第_象限角【解析】要使原式有意义，必须cos ·tan &g