八年级三角形讲义

1、 教学内容三角形1、 课本回顾（要求熟练掌握！）知识点1全等三角形的判定1、 三边对应相等的两个三角形全等.(SSS)2、 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS)3、 两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等.(ASA)4、 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(AAS)5、 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL)知识点2特殊三角形的判定1、如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.2、三个角都相等的三角形是等边三角形.或有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形.3、有两个角互余的三角形是直角三角形.关于三角形还有哪些定理？请课后回去

2、自己翻书看！二、课前小测1. 已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，B=D求证：ADBC（用两种不同的方法证明）证明一：如图，在四边形ABCD中，ABCD，B+C=180°，A+D=180°又B=D，A=C，四边形ABCD是平行四边形，ADBC；证明二：如图，在四边形ABCD中，ABCD，A+D=180°又B=D，A+B=180°，ADBC2、已知：如图，中，于D。求证：。 分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与的关系。 证明：过点A作于E， 所以（等腰三角形的三线合一性质） 因为 又，所以

3、所以（直角三角形两锐角互余） 所以（同角的余角相等） 即 说明： 1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线； 2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出的等角等。三、典例分析题型一 全等三角形的判定（综合题）专题一 三角形全等的判定例1-1（2015昆明）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，A=D，B=DEF，BE=CF求证：AC=DF（虽然简单，但是易错！）【考点】全等三角形的判定与性质菁

4、优网版权所有【专题】证明题【分析】根据BE=CF，求出BC=EF，根据AAS推出ABCDEF，根据全等三角形的性质推出即可【解答】证明：BE=CF（已知），BE+EC=EC+CF，即BC=EF，在ABC和DEF中，ABCDEF（AAS），AC=DF（全等三角形对应边相等）【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出ABCDEF，注意：全等三角形的对应边相等变式训练1-1：（2011玉溪）如图，点B、C、D、E在同一条直线上，已知AB=FC，AD=FE，BC=DE，探索AB与FC的位置关系？并说明理由【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】探究型【分析】AB与C

5、F的位置关系为平行，理由：由BC=DE，根据等式性质在等号两边同时加上CD，得到BD=CE，又AB=FC，AD=FE，根据SSS可得三角形ABD与三角形FCE全等，由全等三角形的对应角相等可得一对同位角相等，根据同位角相等，两直线平行即可得证【解答】解：AB与FC位置关系是：ABFC，理由为：证明：BC=DE（已知），BC+CD=DE+CD（等式的基本性质），即BD=CE，在ABD和FCE中，ABDFCE（SSS），B=FCE（全等三角形的对应角相等），ABFC（同位角相等，两直线平行）【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，判定两三角形全等的方法有：SSS；SAS；ASA

6、；AAS及HL（直角三角形），证明三角形全等，不仅要注意文字条件，还需从图形中捕捉公共角、公共边等图形条件，本题不是直接求证三角形全等，而是探究两直线的位置关系，此时要联系三角形全等的性质，分析出先证哪两个三角形全等，再进一步推出对应角的相等，然后由平行线的判定方法即可得证例1-2（2013秋东莞校级期中）如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，A=B，求证：EFCD【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定菁优网版权所有【专题】证明题【分析】根据已知条件得出AEFBCD，即可得出AFE=BDC，再根据内错角相等两直线平行，即可证明EFCD【解答】证明：AD=BF，AD+E

7、F=BF+EF，AF=BD，在ACB和DEF中，ACBDEF（SAS），AFE=BDC，EFCD【点评】本题考查了两直线平行的判定方法，内错角相等，两直线平行，解决本题的关键是证明ACBDEF，得到AFE=BDC，即可解答变式训练1-2：（2015高新区一模）如图，在AFD和CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，BEDF，ADBC求证：AD=BC【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】根据BEDF，ADBC，得到BEC=DFA，A=C，根据AE=CF，得到AF=CE，根据ASA证出ADFCBE即可【解答】证明：BEDF，ADBC，BEC=DFA，A=C，

8、AE=CF，AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在ADF和CBE中，ADFCBE（ASA），AD=BC【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS专题二 全等三角形的判定与性质例2【2012·襄阳】如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，将ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N.求证：AMAN.证明：如图所示， AEB由ADC旋转而得， AEBADC. 31，6C ABAC，ADBC， 21，7C. 32，67 45，

9、ABMABN 又ABAB，AMBANB AMAN变式训练：【2012·泸州】如图，ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE求证：AEBC证明：ABC和EDC是等边三角形， BCADCE60° BCAACDDCEACD， 即BCDACE 在DBC和EAC中， BCAC，BCDACE，DCEC， DBCEAC（SAS） DBCEAC 又DBCACB60°， ACBEAC AEBC备选：（2013东营）（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，CE

10、直线m，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据BD直线m，CE直

11、线m得BDA=CEA=90°，而BAC=90°，根据等角的余角相等得CAE=ABD，然后根据“AAS”可判断ADBCEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）与（1）的证明方法一样；（3）由前面的结论得到ADBCEA，则BD=AE，DBA=CAE，根据等边三角形的性质得ABF=CAF=60°，则DBA+ABF=CAE+CAF，则DBF=FAE，利用“SAS”可判断DBFEAF，所以DF=EF，BFD=AFE，于是DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到DEF为等边三角形【解答】证明：（1

12、）BD直线m，CE直线m，BDA=CEA=90°，BAC=90°，BAD+CAE=90°，BAD+ABD=90°，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180°，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）DEF是等边三角形由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF和ACF均为等边三角形，ABF=CAF=60°

13、;，DBA+ABF=CAE+CAF，DBF=FAE，BF=AF在DBF和EAF中，DBFEAF（SAS），DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60°，DEF为等边三角形【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了等边三角形的判定与性质点评【温馨提示】1两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等2有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等3“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等【方

14、法技巧】1应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角） 全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若ABCDEF，说明A与D，B与E，C与F是对应点，则ABC与DEF是对应角，边AC与边DF是对应边2判定两个三角形全等的解题思路：题型二 特殊三角形（综合题）例1、（2008乌鲁木齐）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，如图，并写下了四个等式：A

15、B=DC，BE=CE，B=C，BAE=CDE要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED是等腰三角形请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由（写出一种即可）【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】开放型【分析】要证明AED是等腰三角形，既可证明AE=AD，也可证明EAD=ADE，所以根据这两种途径就可以找到所需要的条件，当然要利用这些首先证明三角形全等，利用对应边相等或对应角相等就可以得到AE=AD或EAD=ADE【解答】解：已知：（或，或，或）证明：在ABE和DCE中，ABEDCE，AE=DE，即AED是等腰三角形【点评】本题考查了等腰三角形的判定及全等三

16、角形的判定及性质；此题既要求熟练掌握全等三角形的判定，也要求熟练掌握等腰三角形的判定，三角形全等的证明是正确解答本题的关键变式1 （2015中山校级三模）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到MNK（1）若1=70°，求MKN的度数；（2）当折痕MN与对角线AC重合时，试求MNK的面积（3）MNK的面积能否小于0.5？若能，求出此时1的度数；若不能，试说明理由【考点】翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出KNM，KMN的度数，

17、根据三角形内角和即可求解；（2）当折痕MN与对角线AC重合时，此时AKC为等腰三角形，设MK=AK=CK=x，则DK=5x，在RtADK中，根据勾股定理得：AD2+DK2=AK2，即12+（5x）2=x2，求得x=2.6，所以MK=AK=CK=2.6，根据三角形面积公式即可解答；（3）不能，过M点作MEDN，垂足为E，通过证明NK1，由三角形面积公式可得MNK的面积不可能小于0.5【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形，AMDN，KNM=1，KMN=1，KNM=KMN，1=70°，KNM=KMN=70°，MKN=40°；（2）如图1，折痕即为AC，此时AKC为等腰

18、三角形，设MK=AK=CK=x，则DK=5x，在RtADK中，根据勾股定理得：AD2+DK2=AK2，即12+（5x）2=x2，解得：x=2.6，MK=AK=CK=2.6，MNK的面积的为1.3（3）不能，如图2，理由如下：过M点作AEDN，垂足为点E，则ME=AD=1，由（1）知，KNM=KMN，MK=NK，又MKME，ME=AD=1，MK1，又，即MNK面积的最小值为，不可能小于0.5【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用翻折变换的性质得到相等的角，掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想例2：如图,已知正方形ABCD中,EAF=45°,求证：EF=B

19、E+DF.证明：（1）延长CB到G，使GB=DF，连接AG（如图）AB=AD，ABG=D=90°，GB=DF，ABGADF（SAS），3=2，AG=AF，BAD=90°，EAF=45°，1+2=45°，GAE=1+3=45°=EAF，AE=AE，GAE=EAF，AG=AF，AGEAFE（SAS），GB+BE=EF，DF+BE=EF；变式2 证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AGABG=ABC=D=90°，AB=AD，ABGADFAG=AF，1=21+3=2+3=EAF=BADGAE=EAF又AE=AE，AEGAEFEG=EF

20、EG=BE+BGEF=BE+FD（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE-FD证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AGB+ADC=180°，ADF+ADC=180°，B=ADFAB=AD，ABGADFBAG=DAF，AG=AFBAG+EAD=DAF+EAD=EAF=BADGAE=EAFAE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BE-BGEF=BE-FD课堂总结全等三角形判定方法总结：一、全等三角形的定义（能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形）；（容易忽略）二、在全等三角形中找对应边和对应角1、公共边是对应边；2、对

21、应角的对边是对应边；3、公共角是对应角；4、对顶角是对应角；5、对应边的对角是对应角。三、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。                      全等三角形的周长相等、面积相等             

22、60;         全等三角形的对应线段都相等四、判定三角形全等的方法：基本事实：SAS,ASA,SSS,  定理AAS,   判定直角三角形全等的方法：基本事实：SAS,ASA,SSS, 定理AAS,  HL五、证明题的思考思路：拿到证明题首先看是证明什么的，比如是要证明线段相等，那就要看这两条线段在哪两个三角形中，结合图形看一看这两个三角形是否全等，结合全等证明的依据看全等条件可够，不够的条件能否从其他已知条件中得到；再结合已知

23、条件看从给的已知条件能得到什么，两头一凑，基本上证明思路就出来了。六、证明角相等的依据1、由角平分线得角相等； 2、同角或等角的余角相等3、同角或等角的补角相等3、由平行线得角相等或角的互补；4、三角形内角和是180度；5、全等三角形的对应角相等；6、三角形的外角等于与它不相邻的两内角和；七、证明线段相等的依据  全等三角形的对应边相等八、证明角不等的依据  三角形的外角大于与它不相邻的任一内角九、证明线段不等的依据  三角形两边之和大于第三边课后作业1如图，已知ABC中，ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE

24、的交点，则线段BH的长度为（）AB4 CD51B 解析：ABC=45°，ADBC，AD=BD，ADC=BDH，AHE=BHD=CADCBDHBH=AC=4故选B2（2014荆州）如图，在第1个A1BC中，B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个A2A3E，按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）A（）n75°B（）n165°C（）n175°D（）n85°【考点】等腰三角形

25、的性质菁优网版权所有【专题】规律型【分析】先根据等腰三角形的性质求出BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出DA2A1，EA3A2及FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数【解答】解：在CBA1中，B=30°，A1B=CB，BA1C=75°，A1A2=A1D，BA1C是A1A2D的外角，DA2A1=BA1C=×75°；同理可得，EA3A2=（）2×75°，FA4A3=（）3×75°，第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n1×75°故选：

26、C【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出DA2A1，EA3A2及FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键3、（2014春东营区校级期末）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=11【考点】全等三角形的性质菁优网版权所有【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案【解答】解：这两个三角形全等，两个三角形中都有2长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6同理可得y=5x+y=11故填11【点评】本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法；根据两个三角形中都有2找对对应边是解决本题的关键4、（20

27、12海曙区模拟）如图是由四个大小不等的、顶角为120°的等腰三角形拼接而成已知三角形ABC面积为100，三角形ACD面积为32，三角形ABF的面积为37组成图形的四个等腰三角形中，最小的一个面积为9.61【考点】等腰三角形的性质；三角形的面积；三角形内角和定理菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】设ABC的高为h，由已知三角形ABC面积为100，求得h2=，再分别求出BF，CM的长，然后可得MN的长，再根据勾股定理求出NME的高，然后求得三角形MNE的关系式，将代入即可【解答】解：设ABC的高为h，由已知三角形ABC面积为100，可得h2=，设SABF的高为x，则x=，由sin

28、60°=，得BF=BN=，同理可得CM=，MN=2h，NME的高为（2h）×，SMNE=×（2h）×（2h）×，将代入得SMNE=9.61故答案为：9.61【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形面积，勾股定理的理解和掌握，此题步骤繁琐，计算时数值精确，没有一处保留，此题难度较大，稍有疏忽，就可能导致错误，属于难题5、（2012珠海）如图，在ABC中，AB=AC，AD是高，AM是ABC外角CAE的平分线（1）用尺规作图方法，作ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断ADF的形状（只写结果）【

29、考点】等腰三角形的判定与性质；作图基本作图菁优网版权所有【专题】作图题【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F（2）求出BAD=CAD，求出FAD=×180°=90°，求出CDF=AFD=ADF，推出AD=AF，即可得出答案【解答】解：（1）如图所示：（2）ADF的形状是等腰直角三角形，理由是：AB=AC，ADBC，BAD=CAD，AF平分EAC，EAF=FAC，FAD=FAC+DAC=EAC+BAC=×180°=90°，即ADF

30、是直角三角形，AB=AC，B=ACB，EAC=2EAF=B+ACB，EAF=B，AFBC，AFD=FDC，DF平分ADC，ADF=FDC=AFD，AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形【点评】本题考查了作图基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中6、（2016春太仓市期末）已知：MON=40°，OE平分MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D设OAC=x°（1）如图1，若ABON，则ABO的度数是20°；当BAD=ABD时，x=

31、120°；当BAD=BDA时，x=60°（2）如图2，若ABOM，则是否存在这样的x的值，使得ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由【考点】三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内角和定理菁优网版权所有【专题】计算题【分析】利用角平分线的性质求出ABO的度数是关键，分类讨论的思想【解答】解：（1）MON=40°，OE平分MONAOB=BON=20°ABONABO=20°BAD=ABDBAD=20°AOB+ABO+OAB=180°OAC=120°BAD=BDA，ABO=20°

32、;BAD=80°AOB+ABO+OAB=180°OAC=60°故答案为：20 120，60（2）当点D在线段OB上时，若BAD=ABD，则x=20若BAD=BDA，则x=35若ADB=ABD，则x=50当点D在射线BE上时，因为ABE=110°，且三角形的内角和为180°，所以只有BAD=BDA，此时x=125综上可知，存在这样的x的值，使得ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和7、（2014德州）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120°，B=ADC=90°E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60°探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；探索延伸：如图2，若在四边形ABC