第十四讲 薄板小挠度弯曲(一)

1、第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一）研究生48学时概念和假定薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。荷载纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。xy中面弯曲所形成的曲面称为薄板的弹性曲面，中面内各点的横向位移称为挠度。薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）（1）垂直于中面方向的正应变ez可以不计，由¶w/¶z = 0得到 w = w (x, y)板厚度内各点具有相同的挠度。放弃物理方程：目地：允许sz-m(sx+sy) ¹ 0（2）应力分量txz、tyz、sz远小于其余三个应力分量，它们所引起的应

2、变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为gxz = gyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，txz、tyz是次要应力，sz则为更次要应力） ， ，放弃物理方程：，即：允许gxz和gyz等于零，但txz和tyz不为零。只有三个物理方程 与平面应力问题相同。（3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u)z = 0 = 0，(v)z = 0 = 0，因此，(ex)z = 0 = 0，(ey)z = 0 = 0，(gxy)z = 0 = 0薄板弯曲后，在xy平面的投影形状不变。弹性曲面微分方程按位移求解，基本未知量为挠度w，需将其它物理量用w表示，由 ，积分得到：，由：(u)z = 0 = 0

3、，(v)z = 0 = 0得到：f1(x, y) = f2(x, y) = 0，因此 ，则： ，将应力分量sx、sy、txy用w表示 w仅为x、y的函数，因此应力分量与z成正比。将应力分量txz和tyz用w表示不考虑纵向荷载，fx = fy = 0，由平衡方程 因w = w(x, y)，以上二式积分得 由板的上下边界条件(txz)z = ±d/2 = 0，(tyz)z = ±d/2 = 0，得到 最后，将应力分量sz用w表示，设fz = 0（如果fz ¹ 0，可以将板的单位面积内的体力归入板面上的面力，只对sz产生影响） 在板的下边有边界条件(sz)z = d/2

4、 = 0，因此xy 在板的上边有边界条件(sz)z = -d/2 = -q，因此 或： 薄板的弹性曲面微分方程，薄板小挠度弯曲问题的基本方程。 称为薄板的弯曲刚度横截面上的内力和应力薄板弯曲问题中，要求应力分量在板的侧面上处处满足应力边界条件有困难，需应用圣维南原理，使板在厚度方向上的应力分量整体满足边界条件。三边长度分别为dx、dy和d 的六面体，在x为常数的横截面上sx和txy的合力（积分）为零，分别合成弯矩Mx和扭矩Mxy，考虑单位宽度上的内力 剪应力txz合成横向剪力FSx 同理，在y为常数的横截面上 1. 内力为单位宽度的力，弯矩和扭矩的量纲为力，剪力的量纲为力长度-1；2. 内力的

5、符号规定：按右图为正；3. 薄板弯曲问题中主要计算弯矩和扭矩，横向剪力一般不计算。各应力分量可由内力表示为 ， ，按各应力分量对薄板作用效应sx，sy：弯应力；txy：扭应力；txz，tyz：横向剪应力；sz：挤压应力。边界条件，扭矩的等效剪力矩形薄板OABC，OA边是夹支边，OC边是简支边，AB、BC边是自由边yxOABCab1. 夹支边OA (w)x = 0 = 0，(¶w/¶x)x = 0 = 0(¶w/¶y)x = 0 = 0不是独立边界条件2. 简支边OC (w)y = 0 = 0，(My)y = 0 = 0或写为 ，如(w)y = 0 = 0

6、得到满足，则必有¶2w/¶x2 = 0，简支边的边界条件简化为 ，3. 自由边AB自由边的弯矩、扭矩和横向剪力均为零，三个边界条件 (My)y = b = 0，(Myx)y = b = 0，(FSy)y = b = 0简化：将扭矩变换为等效横向剪力，与第三式合并。设任意边界上的微段EF = dx上作用有扭矩Myxdx，可以变换为等效的两个力Myx，分别作用于E点和F点。相邻微段FG = dx上作用有扭矩，可以变换为等效的两个力，分别作用于F点和G点。在F点合成向下的，边界上的分布扭矩Myx变换为等效分布剪力，自由边AB上的总剪力：。角点（A点和B点）还有未被低消的集中力 F

7、SA = (Myx)A，FSB = (Myx)B自由边AB的边界条件（不包括角点）最终可简化为 ，或写为 ，4. 自由边BC与AB边类似，边界条件 ，或写为 ，角点（B点和C点）还有未被低消的集中力 FSB = (Mxy)B，FSC = (Mxy)C两自由边的交点B，总的集中反力（注意方向定义） 注意：按内力方向的规定，FSB沿z轴的负向为正，同理，FSO也沿z轴的负向为正，FSA和FSC则沿z轴的正向为正。如B点无集中力作用，则 B点有沿z轴正向的集中力F，则 讨论：1. B点有支撑时，角点条件 (w)B = 0 或 (w)B = z其中z为支柱沉陷，解出w后，可由上式求支柱反力。2. 与梁

8、刚性连接的板，梁的弯曲和扭转刚度都很大时，板边可作为夹支边。3. 梁的弯曲和扭转刚度都很小时，板边可作为自由边。4. 梁的弯曲刚度大而扭转刚度小，板边可作为简支边。例一，两边简支，两边自由的矩形薄板，边长分别为OC = a，OA = b，试求板的内力和角点反力；（1）在角点B处受向下的集中力F作用；（2）在角点B处设有支柱，且支柱有一微小沉陷d。xyABCOFabzxyABCOabz解：（1）考虑板的边界x = 0和y = 0时要求挠度为零，可设板的挠度为 w = mxy可满足AO和OC两边简支条件容易验证，挠度w满足弹性曲面微分方程 板的内力 ，自由边界上 ，满足薄板的全部边界条件角点B处作

9、用有沿z轴正向的集中力F，则 得到：板的挠度和内力 ， ， ，（2）仍设挠度表达式为 w = mxy板的内力表达式同上角点B处的位移边界条件，(w)B = d，得到 板的挠度和内力 ， xyABOCbba例二，半椭圆形薄板，边界AB为简支边，ACB为夹支边，受荷载q = q0x/a作用，试证 能满足一切边界条件，并求挠度及最大值。解：在简支边x = 0上，板的边界条件要求 ，容易验证，挠度w满足边界条件在夹支边ACB上，要求 (w)ACB = 0，(¶w/¶n)ACB = 0n为椭圆边界的外法线方向，第一式恒满足，第二式要求 因此第二式也满足。由薄板弯曲基本方程：得到： 板的挠度 求最大挠度，需要解联立方程求驻点 1.