第九章-质点动力学的基本方程学习教案

1、会计学1第九章第九章-质点动力学的基本质点动力学的基本(jbn)方程方程第一页，共40页。动力学的形成和发展与社会进步(jnb)的关系 （1) 动力学与钟表(zhngbio)中国古代计时方式，主要(zhyo)有三种： 铜漏；香篆；圭表。世界上最早的机械钟雏形：东汉张衡所造的浑象仪。 计时方法的关键：标准等时运动。 伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置摆奠定了基础。伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。 1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。 167

2、6年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。 现代钟表由三部分组成：动力部分、传动部分和控制部分。更精密的时标：石英晶体振动或原子振荡 电子表。第1页/共39页第二页，共40页。（2）动力学与现代(xindi)工业 机器和机械设计上的均衡问题、振动问题和稳定问题，结构物在冲击和振动环境中的动态响应，交通运输工具(gngj)的操纵性、稳定性和舒适性以及动力学载荷的作用、震动等都属于动力学问题； 高速运转机械的动力计算、高层结构受风载及地震的影响(yngxing)，宇宙飞行、火箭的

3、推进技术和运行等，更包含着许多动力学问题。第2页/共39页第三页，共40页。动力学(l xu)的力学(l xu)模型 （1）质点 ： 指具有(jyu)一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。 （2）质点系： 指由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。包括(boku)固体、弹性体和流体。 （3）刚体： 其中任意两个质点间距离保持不变的固体。 （4）力学模型简化的条件 由所研究问题的性质所决定，具有相对的概念。 第3页/共39页第四页，共40页。第九章 质点(zhdin)动力学的基本方程第4页/共39页第五页，共40页。本章内容及分析(fnx)思路根据(gnj)动力学基本定律质点动力学

4、的基本(jbn)方程求解质点的动力学问题第5页/共39页第六页，共40页。9-1 动力学的基本定律 第一定律(dngl) (惯性定律(dngl):不受力作用的质点(zhdin)，将保持静止或作匀速直线运动。第二定律(dngl) (力与加速度之间的关系的定律(dngl) 惯性：不受力作用的质点(包括受平衡力系作用的质点)，不是处于静止状态，就是保持其原有的速度(包括大小和方向)不变。基本表达式： Fmvdtd（91） 在经典力学范围内，上式可写为 maF（92） 式(102)是质点动力学的基本方程，建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。第三定律 (作用与反作用定律)第6页/共39页第七

5、页，共40页。9-2 质点的运动(yndng)微分方程由质点动力学第二定律，有 nFFF,21质点受到n个力作用时，22ddiimaFrmFt 或（93）（93）式（103）是矢量(shling)形式的微分方程。 第7页/共39页第八页，共40页。1 、质点运动微分方程在直角坐标(zh jio zu bio)轴上的投影riFziyixiFFF, 39设矢径在直角坐标(zh jio zu bio)轴上的投影分别为x，y，z ，在轴上的投影(tuyng)分别为，则式在直角坐标轴上的投影形式为: 力222222,xiyizixyzmFmFmFttt dddddd（94）第8页/共39页第九页，共40

6、页。2、质点运动微分方程(wi fn fn chn)在自然轴上的投影 ,0,tnbaaa n a点的全加速度 n式中和为沿轨迹切线和主法线的单位矢量，如图所示。式(93)在自然(zrn)轴系上的投影式为 2, 0ttinibivmaFmFF （95）nitiFF ,biF式中和分别是作用于质点的各力在切线、为轨迹的曲率半径。主法线和副法线上的投影，而第9页/共39页第十页，共40页。3 、质点(zhdin)动力学的两类基本问题 1) 第一类基本(jbn)问题：已知质点的运动,求作用于质点的力.2) 第二类基本问题：已知作用(zuyng)于质点的力,求质点的运动. 作用在质点上的力可以是常力或变

7、力，变力可以是时间、坐标、速度的函数或同时是上述三种变量的函数。 求质点的运动就是求式（94）或（95）的解，一次、二次积分。积分常数由质点运动的初始条件决定。可见，质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关。 第10页/共39页第十一页，共40页。补例1 电梯如图所示。已知电梯的加速度常数、方向向上(xingshng)。电梯重量为，放在电梯地板上的物质重量为，求：（1）物体对地板的压力；（2）电梯吊绳的拉力。 分析：由题意(t y)动力学问题已知运动求作用力，故属于质点动力学第一类基本问题。解 （1）求物体(wt)对地板的压力 选取重物为研究对象，进行受力分析和运动分析（如图

8、b所示）。建立直角坐标轴，列运动微分方程求解式中FN,为物体对地板的压力。或 PFagPN )1(NNFgaPF 第11页/共39页第十二页，共40页。（）求吊绳的拉力(ll)。式中，称为(chn wi)绳索的静反力。讨论 压力FN,由两部分组成：物体的重量，静压力； ，附加动压力。 超重。agP当=时，FN,=0 如果加速度方向向下，总压力为:)1(gaPFN )(PQTagPQd 解得)1()1)(gaTgaPQTd 讨论 把绳索动反力的值Td和静反力的值的比值称为动荷系数，用d表示： gaTTKdd 1取电梯和重物整体(zhngt)为研究对象，受力如图a所示。选坐标轴x，由式（94）得投

9、影形式的质点运动微分方程第12页/共39页第十三页，共40页。补例2如图所示桥式起重机上，小车吊着质量为的重物，沿横向作匀速运动，速度为。，吊绳长为。由于突然原因急刹车，重物因惯性绕悬挂点向前(xin qin)摆动。试求刹车后绳索的最大张力及刹车前后瞬间绳索张力的比。 分析：由题意动力学问题质点动力学第一类基本(jbn)问题，先分析重物位于一般位置时。 解 取重物为研究对象，受力如图所示。取自然(zrn)轴如图示，由式（95）得重物的运动微分方程投影式为 cossin2PTlvmPdtdvm （1）（2）式中与均为变量。第13页/共39页第十四页，共40页。 讨论 起重机的小车急刹车时，绳索张

10、力(zhngl)发生急剧变化。由式（）得: )(cos2glvPT 由式（1）知： ，而，故重物作减速运动。因此，在初始位置（刚刹车，）时，重物的速度最大，此时，绳索的张力获得最大值，0dtdva 1cos,0max vvv即)1(20maxmaxglvPTT 刹车前，重物作匀速直线运动。由平衡条件知。因此刹车前后瞬间动荷系数glvTTKd20max1 第14页/共39页第十五页，共40页。分析(fnx)：由题意动力学问题质点动力学第一类基本问题。运动方程是 ,补例3 质点M的质量为 ,mtdytbxsin,cos、db其中求作用在此质点上的力。为常量，解：该质点(zhdin)的加速度在坐标轴

11、上的投影分别为 ytddtydaxtbdtxdayx22222222sincos 第15页/共39页第十六页，共40页。代入式(94)，得作用在此质点上的力在yx、轴上的投影为 ymmaFxmmaFyyxx22 从运动方程中消去时间t，得此质点的轨迹方程12222 dybx合力可以(ky)表示为 rmyjximjFiFFyx22 第16页/共39页第十七页，共40页。例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当 比较小时,以O 为坐标原点,滑块B 的运动方程可近似写为 lr /ttrlx2cos4cos412 如滑块的质量为m, 忽略摩擦及连杆AB的质量,试

12、求当 ,连杆AB所受的力.时和20t第17页/共39页第十八页，共40页。解:研究(ynji)滑块cosFmax其中ttrxax2coscos2 1,lrmlABrOA设。常量已知:则ttrlx2cos4cos412求:?2, 0FAB受力时杆第18页/共39页第十九页，共40页。lrlrax222cos,2且时当有lrlFmr222得2222rlmrF这属于(shy)动力学第一类问题。当, 0,1,02且时rax得12mrF第19页/共39页第二十页，共40页。FeE例9-2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强度垂直,如图所示。

13、质点在电场中受力 作用。已知常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。第20页/共39页第二十一页，共40页。 tvytktmeAvy00dcosd0d0 xvvxv分析：1）由题意动力学问题质点动力学第二类基本问题。2）求质点的运动(yndng)轨迹质点运动(yndng)方程。解:y取质点为研究对象，受力如图10-3所示。质点运动微分方程在轴和轴上的投影式 xkteAtvmtymtvmtxmyxcosdddd, 0dddd2222 (a)按题意, 0,00yxvvvt时以此为下限,式(a)的定积分为，解解得得0ddvtxvx ktmkeAtyvysindd(b)第21页/共39页第二十

14、二页，共40页。做定积分做定积分为下限为下限时时以上两式以以上两式以,00 yxt,dd000tvxxt tytktmkeAy00dsind得质点运动(yndng)方程轨迹(guj)方程 1cos02xvkmkeAy 1cos,20 ktmkeAytvx(c)00 v0 xy讨论如果，则运动方程式(c)为， 式不变，这是一个直线运动。 第22页/共39页第二十三页，共40页。mRF补例4 在均匀的静止液体中，质量为 的物体M从液面处无初速下沉，如图a所示。假设液体阻力，其中为阻尼系数。 试分析该物体的运动规律及其特征。 分析：由题意动力学问题质点(zhdin)动力学第二类基本问题。第23页/共

15、39页第二十四页，共40页。解：将坐标系的原点固结在该点的起始位置上，x轴铅垂向下。该质点的受力图如图b。 运动微分方程为或 式中 .mb/ 0 t00 v起始条件：时， ，式(a)的定积分为 解得第24页/共39页第二十五页，共40页。0 t00 x再分离变量，运动起始条件为时，则有积分得这就是该物体下沉(xi chn)的运动规律。 时，该物体下沉速度将趋近一极限值由式(b)知，当 t0 bte时， mgbgv 称为(chn wi)物体在液体中自由下沉的极限速度。应用(yngyng)：采矿工程中的选矿、农业中的选种。 第25页/共39页第二十六页，共40页。讨论 另选坐标系，其原点O在液体底

16、部，x轴铅垂向上。 轴的正向画出，则该物体的受力图如图c所示。xx 、x设 仍按为运动微分方程或 0 t0,00 vHx运动起始条件为时， 。通过两次分离变量和积分，可得 第26页/共39页第二十七页，共40页。 (说明)在选择参考系、建立(jinl)质点的运动微分方程时，宜尽可能将质点置于参考坐标系的正向位置，使其速度、加速度的分量也沿着坐标轴的正向；倘若质点的真实速度、加速度的分量是沿着坐标轴的负向，也应沿正向来假设，并画出其受力图，建立(jinl)它的运动微分方程。 3) 第一、二类基本问题(wnt)的综合问题(wnt)：有的工程问题(wnt)既需要求质点的运动规律，又需要求未知的约束力

17、，是第一类基本问题(wnt)与第二类基本问题(wnt)综合在一起的动力学问题(wnt)，称为混合问题(wnt)。 第27页/共39页第二十八页，共40页。60例9-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成 角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度(sd)v与绳的张力。第28页/共39页第二十九页，共40页。运动微分方程，得运动微分方程，得选取在自然轴上投影的选取在自然轴上投影的受力如图。受力如图。以小球为研究的质点，以小球为研究的质点，解解:N96. 121/8 . 91 . 0cos2smkgmgF sm1 .

18、2sin2 mFlv 绳的张力与拉力(ll)F的大小相等。 sin2Fvm 0cos mgF 解得其中 sinl 分析：由题意动力学问题质点(zhdin)动力学第一、二类基本问题的综合问题。第29页/共39页第三十页，共40页。例9-4粉碎机滚筒半径为，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石(kungsh)的能量，铁球应在时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。0第30页/共39页第三十一页，共40页。解：视铁球为质点(zhdin).受力如图b. cos2mgFRvmN Rnv30 其中其中21)cos(30 mgFmRRnN 0 NF分析：由题意（滚筒

19、转动；求使铁球在处筒壁的法向约束力0的滚筒转速）动力学点动力学第一问题 质、二类基本问题的综合问题。 列出质点运动(yndng)微分方程在主法线上的投影式于是(ysh)解得第31页/共39页第三十二页，共40页。于是得于是得铁球将落下，这时铁球将落下，这时时时当当, 0,0 NF 0cos549. 9 Rgn 球不脱离筒壁。球不脱离筒壁。时时当当,49. 9Rgn 第32页/共39页第三十三页，共40页。）求出末知的力或运动。对第二类问题要应用运动初始条件确定积分(jfn)常数。 总结 求解质点(zhdin)动力学问题的主要步骤：1 ）选取(xunq)某质点为研究对象；）分析作用在质点上的力；）分析质点的运动情况。）选择恰当的投影轴，写出在该轴上的运动微分方程的投影式；第33页/共39页第三十四页，