2020年(新课改)数学高考总复习小测：空间点、线、面之间的位置关系

1、 课时跟踪检测（四十） 空间点、线、面之间的位置关系 、题点全面练 1下列四个命题： 存在与两条异面直线都平行的平面；过空间一点，一定能作一个平面与两条异面 直线都平行；过平面外一点可作无数条直线与该平面平行；过直线外一点可作无数个 平面与该直线平行其中正确命题的个数是 （ ） A1 C 3 D4 解析：选 C 将一个平面内的两条相交直线平移到平面外，且平移后不相交，则这 两条直线异面且与该平面平行，故正确；当点在两条异面直线中的一条上时，这个平面 不存在，故不正确；正确；正确.故选 C. 2. 已知直线 a, b 分别在两个不同的平面 a B内， 则“直线 a 和直线 b 相交”是“平 面a

2、和平面B相交”的（ ） A 必要不充分条件 B.充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析：选 B 直线 a, b 分别在两个不同的平面 a, B内，则由“直线 a 和直线 b 相交” 可得“平面a和平面B相交”，反之不成立.所以 “直线 a 和直线 b 相交”是“平面a和 平面B相交”的充分不必要条件.故选 B. 3. 已知 11, 12 ,13是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是 （ ） A . Il 丄 12, 12丄 I3? ll / I3 B . ll 丄 l2, l2 / l3? h 丄 l3 C I1/ I2/ I3? I1, I2, I3 共面 D .

3、ll, l2, l3 共点？ ll, l2, l3 共面 解析： 选 B 在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故 A 错；两条平行 直线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,故 B 正确；相互平行的 三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故 C 错；共点的三条直线不一定共面,如三 棱锥的三条侧棱,故 D 错 4. （2019 广东茂名联考）一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四 个命题： AF 丄 GC ； BD 与 GC 是异面直线且夹角为 60 BD / MN ； BG 与平面 ABCD 所成的角为 45 其中正确的个数是 （ ）B2 D c N

4、 r B AB.2 解析：选 B 将平面展开图还原成正方体 （如图所示）. 对于，由图形知 AF 与 GC 异面垂直，故正确； 对于，BD 与 GC 显然是异面直线.如图，连接 EB，ED，贝 U EB / GC,所以/ EBD 即为异面直线 BD 与 GC 所成的角（或其补角）.在等边厶 BDE 中，/ EBD =60所以异面直线 BD 与 GC 所成的角为 60故正确; 对于，BD 与 MN 为异面垂直，故错误； 对于， 由题意得， GD 丄平面 ABCD， 所以/ GBD 是 BG 与平面 ABCD 所成的角但 在 Rt BDG中，/ GBD 不等于 45故错误.综上可得正确. 5.如图

5、，ABCD-AiBiCiDi是长方体，0 是 B1D1的中点，直线 AiC 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论正确的是 （ ） A. A, M , 0 三点共线 B.A, M , O, Ai不共面 C. A, M , C, O 不共面 D. B, Bi, O, M 共面 解析：选 A 连接 AiCi, AC,因为 AiCi / AC,所以 Ai, Ci, C, A 四点共面，所以 AiC?平面 ACCiAi,因为 M AiC,所以 M 平面 ACCiAi，又 M 平面 ABiDi，所以 M 在平面 ACCiAi与平面 ABiDi 的交线上.同理 O 在平面 ACCiAi与平面 ABiDi的

6、交线上，所以 A, M , O 三点共线. 6.若平面a B相交，在a, B内各取两点，这四点都不在交线上， 这四点能确定 _ 个平面. 解析：如果这四点在同一平面内，那么确定 i 个平面；如果这四点不共面，则任意三 点可确定 i 个平面，所以可确定 4 个. 答案：i 或 4 7.在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，若/ BAC = 90 AB= AC= AAi, B B A ACi所成的角等于 解析：如图，延长 CA 到点 D，使得 AD = AC,连接 DAi, BD，则四边形 ADAiCi为 平行四边形，所以/ DAiB 就是异面直线 BAi与 ACi所成的角.又 AiD = AiB

7、= DB，所以 AiDB 为等边三角形，所以/ DAiB= 60 答案：60 8.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E, H 分别是边 AB, AD 的中点，点 F , G 分别是边BC , CD 上的点， 且等筹=有以下四个结论. EF 与 GH 平行； EF 与 GH 异面； EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上; EF 与 GH 的交点 M 定在直线 AC 上. 其中正确结论的序号为 _ . 解析：如图所示连接 EH , FG , 依题意，可得 EH / BD, FG / BD , 故 EH / FG,所以 E, F , G, H 共面. i

8、 2 因为 EH = 2BD , FG = BD,故 EH 工 FG , 所以四边形 EFGH 是梯形，EF 与 GH 必相交，设交点为 M.因为点 M 在 EF 上, 故点 M 在平面 ACB 上.同理，点 M 在平面 ACD 上, 所以点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点, 又 AC 是这两个平面的交线， 所以点 M 定在直线 AC 上. 答案： 9.如图所示，在正方体 ABCD-AiBiCiDi 中, 的中点.问： (1) AM 与 CN 是否是异面直线？说明理由； (2) DiB 与 CCi是否是异面直线？说明理由. 解：(i)AM 与 CN 不是异面直线.理由如下： 如图，

9、连接 MN , AiCi, AC.A A 因为 M , N 分别是 A1B1, B1C1的中点，所以 MN / A1C1. 又因为 AIA 綊 CiC, 所以四边形 AiACCi为平行四边形, 所以 A1C1/ AC, 所以 MN / AC, 所以 A, M , N , C 在同一平面内， 故 AM 和 CN 不是异面直线. DiB 与 CCi是异面直线理由如下: 因为 ABCD-A1B1C1D1是正方体， 所以 B, C, Ci, Di不共面. 假设 DiB 与 CCi不是异面直线， 则存在平面 a,使 DiB?平面a, CCi?平面a, 所以 Di, B , C , Ci a,这与 B ,

10、 C , Ci , Di不共面矛盾. 所以假设不成立，即 DiB 与 CCi是异面直线. iO.已知三棱柱 ABC-AiBiCi的侧棱长和底面边长均为 2 , Ai在底面 ABC 内的射影 O 为底面三角形 ABC 的中心，如图所示. 连接 BCi ,求异面直线 AAi与 BCi所成角的大小； (2)连接 AiC , AiB ,求三棱锥 Ci-BCAi的体积. 解：因为 AAi / CCi , 所以异面直线 AAi与 BCi所成的角为/ BCiC 或其补角. 连接 AO ,并延长与 BC 交于点 D,则 D 是 BC 边上的中点. 因为点 O 是正三角形 ABC 的中心, 且 AiO 丄平面

11、ABC , 所以 BC 丄 AD, BC 丄 AiO , 因为 AD A AiO = O , 所以 BC 丄平面 ADAi. 所以 BC 丄 AAi ,又因为 AAi / CCi , 所以 CCi丄 BC , BC= CCi= BiCi= BBi= 2 , 即四边形 BCCiBi为正方形， 所以异面直线 AAi与 BCi所成角的大小为； 4 (2)因为三棱柱的所有棱长都为 2 , 所以可求得 AD = 3 , AO = 2AD = 兮,C1 八i ()= /AAI f =务9 X J 所仪 V4RC A1 R Cj = S崩c * | 0=2 J2f 所以 Vq -pcA =VA BCCJ L

12、v _2jz 2V BCCBi 二、专项培优练 （一）易错专练一一不丢怨枉分 1 已知平面 a及直线 a, b,则下列说法正确的是 （ ） A 若直线 a, b 与平面a所成角都是 30则这两条直线平行 B.若直线 a, b 与平面a所成角都是 30则这两条直线不可能垂直 C .若直线 a , b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面 a平行 D .若直线 a, b 垂直，则这两条直线与平面 a不可能都垂直 解析：选 D 对于 A,若直线 a , b 与平面a所成角都是 30 , 则这两条直线平行、相交或异面，故 A 错误；对于 B,若直线 a , b 与平面a所成角都是 30 则这两条直线可

13、能垂直，如图，直角三角形 ACB 的直角顶点 C 在平面a内，边 AC, BC 可以与平面a都成 30角，故 B 错误；C 显然错误；对于 D,假 设直线 a , b与平面a都垂直，则直线 a , b 平行，与已知矛盾，则假设不成立，故 D 正确.故 选 D. 2.在三棱柱 ABC-AiBiCi中，E , F 分别为棱 AA , CC,的中点，则在空间中与直线 AiBi , EF, BC 都相交的直线（ ） A .不存在 B.有且只有两条 C .有且只有三条 D .有无数条 解析：选 D 如图，在 EF 上任意取一点 M,直线 AiBi与 M 确 定一个平面，这个平面与 BC 有且仅有 i 个

14、交点 N ,当 M 的位置不同 时,确定不同的平面，从而与 BC 有不同的交点 N ,而直线 MN 与 AiBi , EF , BC 分别有交点 P , M, N ,故有无数条直线与直线 AiBi , EF , BC 都相交. 3.如图，三棱锥 P-ABC 中，PA 丄平面 ABC , D 是棱 PB 的中点，已 知 PA= BC = 2 , AB= 4 , BC 丄 AB ,则异面直线 PC , AD 所成角的余弦值 为 _. 解析：如图，取 BC 的中点 E,连接 DE , AE.则在 PBC 中，PD B 1 =DB , BE = EC,所以 DE / PC,且 DE = ?PC.故/

15、ADE 为异面直线 PC, AD 所成的角或 其补角.因为 PA 丄平面 ABC ,所以 PA 丄 AC, PA 丄 AB.在 Rt ABC 中，AC= BC2+ AB2 = FTTu 2 5在 Rt PAC 中，PC = PA2 + AC2 = 22 + 2 一 5 2= 2 6.故 DE = PC = 6.在 Rt PAB 中，PB= AB2+ PA2= 42+ 22= 2 5.又 PD = DB，所以 AD = PB = 5.在 Rt （巴堆与严一弊故异面直线PC，AD 所成角的余弦值为導 解析：借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面 a, B互相垂直，如图（1） 所示，故正确；

16、对于，平面 a, B可能垂直，如图（2）所示，故不正确；对于，平面 a, B可能垂直，如图 所示，故不正确；对于，由 m 丄a, a/ B可得 m 丄因为 n / 3,所以过 n 作平面Y且3= g,如图所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 m 丄 g,所 以 m 丄 n,故正确. 答案： （二）素养专练一一学会更学通 5. 直观想象如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2, 长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 DD1上运动， 点 N 在正方体 的底面 ABCD内运动，贝U MN 的中点 P 的轨迹的面积是（ ） A. 4 n B. n n D. n 解析：选 D

17、连接 DN，则 MDN 为直角三角形，在 Rt MDN4.已知 m, n是 两条不同的直纟 戋， a, 3为两个不同的平面，有下列四个命题 若 m a, n丄 3 m n,贝U a丄 3 若 m / a, n/ 3 m n,贝U a/ 3 若 m a, n/ 3 m n,贝U a/ 3 若 m a, n/ 3 a/ 3,则 m n. 答案: 其中所有正确的命题是 _ （填序号） EAB 中，AE = AB2+ BE2= 42+ 12= 17.在厶 DAE 中, cos/ ADE _ AD2+ DE2- AE2 _ 2AD DE 30 To 中，MN = 2, P 为 MN 的中点，连接 DP，

18、贝 U DP = 1,所以点 P 在以 D 为球心，半径 R = 1 的球面上，又因为点 P 只能落在正方体上或其内部，所以点 P 的轨迹的面积等于该球面面 积的1故所求面积 s=1X 4冗只2=彳. 8 8 2 6. 直观想象、逻辑推理(2017 全国卷川)a, b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直 角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a, b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转, 有下列结论: 当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30 角; 当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60 角; 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45

19、 直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60 其中正确的是 _ .(填写所有正确结论的编号) ) 解析：由题意，AB 是以 AC 为轴，BC 为底面半径的圆锥的母线， 又 AC 丄 a, AC 丄 b, AC 丄圆锥底面，在底面内可以过点 B,作 BD / a,交底面圆 C 于点 D，如图所示，连接 DE，贝 U DE 丄 BD , DE / b,连接 AD，设 BC= 1,在等腰 ABD 中，AB= AD = , 2，当直线 AB 与 a 成 60 角时, / ABD = 60 故 BD =谑，又在 Rt BDE 中，BE = 2, DE =迟, 过点 B 作 BF / DE，交圆 C 于点 F，连接 AF , EF , BF = DE = 2, ABF 为等边三角形， / ABF = 60 即 AB 与 b 成 60角，故正确，错误. 由最小角定理可知正确； 很明显，可以满足平面 ABC 丄直线 a, 直线 AB 与 a 所成角的最大值为 90错误. 正确的说法为. 答案： 7. 直观想象、逻辑推理、数学运算如图所示，AC 是圆 O 的直径, B,