随机事件的概率

1、一、随机现象1）必然现象：在一定条件下必然发生某种结果的现象叫做必然现象；2）随机现象：在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象叫做随机现象；3）试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验；把观察结果或实验的结果称为试验的结果一次试验是指事件的条件实现一次二、事件与基本事件空间1）事件： 不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 必然事件：在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件； 随机事件：在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件通常用大写英文字母.来表示随机事件，简称为事件2）基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件

2、的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件；它包含所有可能发生的基本结果3）基本事件空间：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用表示三、频率与概率1）频率：在相同的条件下重复次试验，观察，某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率2）概率的统计定义：一般地，在次重复进行的试验中，事件发生的频率，当很大时，总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件的概率，记为从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率满足：当是必然事件时，当是不可能事件时，3）频率与概率的区别： 频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一

3、个常数，它是频率的科学抽象 当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率四、概率的加法公式1）互斥事件与事件的并： 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件 事件的并：由事件和事件至少有一个发生（即发生，或发生，或发生）所构成的事件，称为事件与的并（或和），记作2）互斥事件的概率加法公式 若、是互斥事件，有 若事件两两互斥，有事件“”发生是指事件中至少有一个发生.3）对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件事件的对立事件记作有五、一条规律互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个

4、事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件一、事件及样本空间【题干】在个同类产品中，有个正品，个次品，从中任意抽出个检验，据此列出其中的不可能事件，必然事件，随机事件【答案】（1）不可能事件：件都是次品.（2）必然事件：至少有一件是正品.（3）随机事件:件都是正品；件正品，件次品；件正品，件次品.【解析】因为共有个次品，从中任意抽出个.所以，（1）不可能出现件都是次品；（2）抽出的个，至少有一件是正品；（3）抽次会出现种情况：件都是正品；件正品，件次品；件正品，件次品.属于随机事件.【点评】【题干】将

5、一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数（1）写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数；（2）“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件；（3）“两次点数之和为”这一事件包含了几个基本事件；（4）“两次点数之差为”这一事件包含了几个基本事件【答案】（1）这个试验的基本事件空间为，共个基本事件；（2）“两次得到的点数相同”包含的基本事件有，个；（3）“两次点数之和为”包含的基本事件有，个（4）“两次点数之差为”包含的基本事件有，个【解析】略【点评】【题干】在天气预报中，如果预报“明天的降水概率为”，这是指（ ）.A明天该地区约有的地区降水，其它的地区不降水B明天该地区约有的时间降水，其它时间不降水

6、C气象台的专家中，有的人认为会降水，另外的专家认为不会降水D明天该地区降水的可能性为【答案】D；【解析】概率是指某一事件发生的可能性，故选D【点评】二、随机事件的概率概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率【题干】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数进球次数进球频率（1）在表中直接填写进球的频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？【答案】（1）进球频率依次为：，.（2）.【解析】（1）进球的频率分别为：，.（2）用频率来估计

7、概率，频率一般都在左右摆动.【点评】【题干】李老师在某大学连续年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课年来的考试成绩分布：成绩人数分以上分分分分分分分分分以下经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)（1）分以上；（2）分分；（3）分以上【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】人数总数为，那么分以上的概率为；分分的概率为；分分的概率为；分分的概率为；分分的概率为；分以下的概率为.所以，分以上的概率为.【点评】【题干】袋子中装有编号为的个黑球和编号为的个红球，从中任意摸出个球（1）写出所有不同的结果；（2）求恰好摸出个

8、黑球和个红球的概率；（3）求至少摸出个黑球的概率【答案】（1）（2）（3）【解析】（1） （2）记“恰好摸出个黑球和个红球”为事件，则事件对应的基本事件为，共个基本事件，所以 答：恰好摸出个黑球和个红球的概率为（3）记“至少摸出个黑球”为事件，则事件包含的基本事件为，共个基本事件，所以答：至少摸出个黑球的概率为【点评】三、互斥事件与对立事件及其概率互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生的概率；实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力【题干】若，互斥，则_. 【答案】【解析】

9、根据题意，互斥，.【点评】【题干】 某商场有奖销售中，购满元商品得张奖券，多购多得，张奖券为一个开奖单位，设特等奖个，一等奖个，二等奖个设张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为、，求：（1）；（2）张奖券的中奖概率；（3）张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1），.（2）张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“张奖券中奖”这个事件为，则， 、两两互斥，.（3）设“张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事，则事件与“张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，.【点评】【题干】抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的数是奇数”，事件为“落地时向上的数是偶数”，事件

10、为“落地时向上的数是的倍数”，事件为“落地时向上的数是或”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A与B与C与D与【答案】C【解析】与是对立事件；与可同时发生，不是互斥事件；与不是互斥事件；选项C满足条件【点评】四、高考汇编【题干】（2014江西）随机将，这个连续正整数分成，两组，每组个数，组最小数为，最大数为；组最小数为，最大数为，记，.（1）当时，求的分布列和数学期望；（2）令表示事件与的取值恰好相等，求事件发生的概率；（3）对（2）中的事件，表示的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由.【答案】（1） （2）（3）见解析【解析】（1）当时，所有可能值为，.将个正整数平均分成，两组

11、，不同的分组方法共有种，所以的分布列为： （2）和恰好相等的所有可能值为，又因为和恰好相等且等于时，不同的分组方法有种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有种；所以当时，当时，（3）由（2）当时，因此，而当时，理由如下：，等价于用数学归纳法来证明：当时，式左边，式右边，所以式成立. 假设时式成立，即成立那么，当时，式左边式右边，即当时式也成立，综合得，对于的所有正整数，都有成立.【点评】【题干】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品设甲、乙两组的研发相互独立（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；

12、（2）若新产品研发成功，预计企业可获利润万元；若新产品研发成功，预计企业可获利润万元求该企业可获利润的分布列和数学期望【答案】（1）（2）【解析】（1）记=甲组研发新产品成功，=乙组研发新产品成功.由题设知，故所求的概率为.（2）设企业可获利润为（万元），则的可能取值为，.因， ， ，故所求的分布为： 数学期望为：【点评】【题干】（2014江西）随机将，这个连续正整数分成，两组，每组个数，组最小数为，最大数为；组最小数为，最大数为，记，.（1）当时，求的分布列和数学期望；（2）令表示事件与的取值恰好相等，求事件发生的概率；（3）对（2）中的事件，表示的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由.【

13、答案】（1） （2）（3）见解析【解析】（1）当时，所有可能值为，.将个正整数平均分成，两组，不同的分组方法共有种，所以的分布列为： （2）和恰好相等的所有可能值为，又因为和恰好相等且等于时，不同的分组方法有种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有种；所以当时，当时，（3）由（2）当时，因此，而当时，理由如下：，等价于用数学归纳法来证明：当时，式左边，式右边，所以式成立. 假设时式成立，即成立那么，当时，式左边式右边，即当时式也成立，综合得，对于的所有正整数，都有成立.【点评】【题干】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组

14、研发新产品，乙组研发新产品设甲、乙两组的研发相互独立（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品研发成功，预计企业可获利润万元；若新产品研发成功，预计企业可获利润万元求该企业可获利润的分布列和数学期望【答案】（1）（2）【解析】（1）记=甲组研发新产品成功，=乙组研发新产品成功.由题设知，故所求的概率为.（2）设企业可获利润为（万元），则的可能取值为，.因， ， ，故所求的分布为： 数学期望为：【点评】【题干】（2014江西）随机将，这个连续正整数分成，两组，每组个数，组最小数为，最大数为；组最小数为，最大数为，记，.（1）当时，求的分布列和数学期望；（2）令表示事件与的取值恰好相等

15、，求事件发生的概率；（3）对（2）中的事件，表示的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由.【答案】（1） （2）（3）见解析【解析】（1）当时，所有可能值为，.将个正整数平均分成，两组，不同的分组方法共有种，所以的分布列为： （2）和恰好相等的所有可能值为，又因为和恰好相等且等于时，不同的分组方法有种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有种；所以当时，当时，（3）由（2）当时，因此，而当时，理由如下：，等价于用数学归纳法来证明：当时，式左边，式右边，所以式成立. 假设时式成立，即成立那么，当时，式左边式右边，即当时式也成立，综合得，对于的所有正整数，都有成立.【点评】【题干】某企业有甲、