2020年高中数学新教材人教A版必修第2册练习三十一直线与平面垂直二75

1、-1 - 课时素养评价三十 直线与平面垂直（二） 基咄练（25 分钟 50 分） 一、选择题（每小题 4 分，共 16 分，多项选择题全选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，有 选错的得 0 分） 1. 四棱锥 P-ABCD P 从平面 ABCD 且 PA=AB=AD 四边形 ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，则 AE 与 PC 的关系是（ ） A. 垂直 B. 相交 C. 平行 D. 相交或平行 【解析】选 A.因为 PA=AD E 为 PD 的中点，所以 AE1 PD,又 PA!平面 ABCD 所以 PAI CD 又 因为 CDL AD.PAA AD=A 所以 CDL 平面 PA

2、D 所以 CDL AE. 又因为 CDA PD=D 所以 AE1 平面 PCD. 所以 AE1 PC. 2. 已知 PA 丄矩形 ABCD 所在平面，PA AD, M N 分别是 AB, PC 的中点，贝 U MN 垂直于 （ ） A. AD B.CD C.PC D.PD 因为 N, O 分别为 PC, AC 的中点，所以 NO/ PA 因为 PA 丄平面 ABCD 所以 NC 丄平面 ABCD 所以NOL CD. 又因为 M O分别为 AB AC的中点， 所以 MOI BC.因为BCL CD 所以MOL CD因为NS MO=O -2 - 所以 CDL 平面 MNO 所以 CDL MN. 3.

3、 如图，在正方体 ABCD-ABiCD 中，若 E 是 AC 与 BiD 的中点，则直线 CE 垂直于 （ ） A.AC B.BD C.Ai D D.Ai D 【解析】 选 B.在正方体 ABCD-ABQD 中，E 是 AC, BD 的中点，设 O 是 AC, BD 的交点，连接 EQ 贝 U EO 丄平面 ABCD 所以 EO 丄 BD 又 COL BD, C6 EO=O 所以 BD 丄平面 COE 因为 CE? 平面COE 所以 BD 丄 CE. 4. （多选题）如图，直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面， ABC 内接于圆 O,且 AB 为圆 0 的直径， 点 M 为线段 PB 的中点.

4、以下各命题中，真命题为（ ） C A. BC 丄 PC B. OM/平面 APC C. 点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长 D. 三棱锥 M-PAC 的体积等于三棱锥 P-ABC 体积的一半 【解析】选 ABCD 因为 PA 丄圆 0 所在的平面，BC?圆 0所在的平面，所以 PAI BC,而 BC 丄 AC PAP AC=A 所以 BCL 平面 PAC 而 PC?平面 PAC 所以 BC 丄 PC,故 A 正确； 因为点 M 为线段 PB 的中点，点 O 为 AB 的中点，所以 OM/ PA,而 OM 平面 PAC PA?平面 PAC 所以 OIW平面 APC 故 B 正确；

5、 因为 BCL 平面 PAC 所以点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长，故 C 正确； 三棱锥 M-PAC 和三棱锥 P-ABC 均可以平面 PAC 为底面，此时 M 到底面的距离是 B 到底面距离 -3 - 的一半，故三棱锥 M-PAC 的体积等于三棱锥 P-ABC 体积的一半，故 D 正确 二、填空题（每小题 4 分，共 8 分） 5. ABC 的三个顶点 A, B, C 到平面a的距离分别为 2 cm、3 cm、4 cm,且它们在 a的同 侧， 则 ABC的重心到平面 a的距离为 _ . 【解析】如图，设 A, B, C 在平面a上的射影分别为 A, B, C, ABC 的

6、重心为 G,连接 CG 并延长交 AB 于中点 E, 又设 E, G 在平面a上的射影分别为 E, G , 则 E A B, G C E , 1 5 2 2 EE（A A+B B）, CC =4, CG： GE=2： 1，在直角梯形 EE C C 中， 可求得 GG =3. 答案：3 6. _ 如图所示， 在直四棱柱 ABCD-ABiGD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件 _ 时，有 AC 丄 BD. 【解析】 若 AC 丄 BQ,由四棱柱 ABCD-ABG D 为直四棱柱，AA丄 BD,易得 BiD 丄平面 AAGC, 则 AQ丄 BiD,即卩 AC 丄 BD（或四边形 ABCD 为菱形

7、）. -4 - 答案：AC 丄 BD 或四边形 ABCE 为菱形三、解答题（共 26 分） 7. （12 分）如图，四棱柱 ABCD-ABCiD 的底面 ABCD 是正方形，0 为底面中心， A0 丄平面 ABCD 证明：AC 丄平面 BBDD. 【证明】 因为 AiO 丄平面 ABCD 所以 AiO 丄 BD. 又底面 ABCD 是正方形， 所以 BDL AC,因为 ACA AiO=0 所以 BDL 平面 AOC 所以 BD 丄 AiC. 又 OA 是 AC 的中垂线， 所以 AiA=AC= -，且 AC=2 所以 AC=A +Ai C2, 所以 AA C 是直角三角形， 所以 AA 丄 A

8、i C. 又 BB / AA,所以 AiC 丄 BB,因为 BB n BD=B 所以 AQ丄平面 BBD D. 8. （ i 4 分）如图，三棱柱 ABC-AB C 中，侧面 BBC C 为菱形，Bi C 的中点为 O,且 AC 丄平面 BBC C. （i ）证明：B C AB. 若 ACL AB,/ CBB=60 , BC=i,求三棱柱 ABC-ABi C 的高. 【解析】（i ）连接 BG,则 O 为 Bi C 与 BC 的交点.-5 - 因为侧面 BBCQ 为菱形，所以 BC 丄 BG. 又 AOL平面 BBCC，所以 BC 丄 AQ 故 BiC 丄平面 ABO. 由于 AB?平面 AB

9、O 故 BC 丄 AB. 方法一：在平面 BBCC 内作 ODL BC 垂足为 D,连接 AD. 在平面 AOD 内作 OHLAD,垂足为 H. 由于 BCL AO BCL OD 故 BC 丄平面 AOD 所以 OHL BC. 又 OHLAD,所以 OHL 平面 ABC. 因为/ CBB=60,所以 CBB 为等边三角形. 又 BC=1,可得 OD= 由于 ACL AB ,所以 OA= BiC= 由 OH AD=OD OA 所以点 Bi到平面 ABC 的距离为 故三棱柱 ABC-ABG 的高为 方法二：由于侧面 BBGC 为菱形, / CBB=60 , BC=1. BiC=1, BO，又 AC

10、1 AB, 故 BiC=1, 1 则 AO=, AO= , AC= ，易得 AB=1, 又 O 为 BiC 的中点, -6 - 严 4 在厶 ABC 中，易得 AC 边上的高 h=, 由 创应=巾】“肮,得 21 所以 h三棱柱=丁 、/21 所以三棱柱 ABC-ABG 的高为 7 1.（4 分）已知矩形 ABCD 的边 AB=a, BC=3 PAL 平面 ABCD 若 BC 边上有且只有一点 丄DM 则 a 的值为 （ ） 1 3 2 2 A. B.1 C. D.2 【解析】选 C.因为 PA 丄平面 ABCD 所以 PAL DM 若 BC 边上存在点 M 使 PML MD 则 DML平面

11、PAM 所以 DML AM, 所以以 AD 为直径的圆和 BC 相交即可. 3 因为 AD=BC=3 所以圆的半径为, 3 要使线段 BC 和半径为匚的圆相切，B M C 1 护 A BB.C q AO= SMBC 1 I Q 2 2 T h三棱柱 3 T 所以 ； h三棱柱. 能力练 （15 分钟 M 使 PM -7 - 则 AB，即a，所以 a 的值是. 所在平面，那么 （ ） 【解【解析】 选 C.因为 PML 平面 ABC MC?平面 ABC 所以 PML MC PML AB. 又因为 M 为 AB 中点，/ ACB=90，所以 MA=MB=MC.以 PA=PB=PC. 【加练固】 正

12、方体 ABCD-ABQD 中 E 为线段 BD 上的一个动点，则下列结论中错误的是 （ ） A.AC 丄 BE B. BiE/平面 ABCD C. 三棱锥 E-ABC 的体积为定值 D. BiE 丄 BC 【解析】 选 D.对于 A.因为在正方体中， AC 丄 BD, AC 丄 DD, BDA DD=D, 所以 ACL 平面 BBDD,因为 BE?平面 BBDD,所以 ACL BE,所以 A 正确. 对于 B.因为 BiDi /平面 ABCD 所以 BiE/平面 ABCD 成立，即 B 正确. 对于 C.三棱锥 E-ABC 的底面 ABC 的面积为定值，锥体的高 BB 为定值，所以锥体体积为定

13、值, 即 C 正确. 对于 D.因为 DiCiL BG,所以 BiEL BG 错误.2.（4 分）如图，已知 ABC 为直角三角形，其中/ ACB=90 , M 为 AB 的中点，PM 垂直于 ABC A.PA=PBPC C.PA=PB=PC B. PA=PBPC M PB PC -8 - 3.（4 分）正三棱锥的底面边长为 2,侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积是 【解【解析】如图，由已知得 PU PB, PU PC, PBn PC=P 【解析】在三棱锥 P-ABC 中， 因为 PAL 底面 ABC / BAC=90 , 所以 AB 丄平面 APC. 因为 EF?平面 PAC 所以 EF

14、丄 AB, 因为 EFL BC, BCH AB=B 所以 EF 丄底面 ABC 所以 PA/ EF, 因为 F 是 AC 的中点，E 是 PC 上的点,2 所以 PU 平面 PBC.又 PB 丄 PC, PB=PC BC=2 所以 PB=PC=： 3 所以 VP-AB(=VA-PBC= PA * SA PBC 1 1 2 4.（4 分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，P 从底面 ABC / BAC=90 , F 是 AC 的中点, PE E 是 PC 上 EC 的点，且 EF BC,贝 U -9- PE 所以 E 是 PC 的中点，所以 M =1. 答案： i 5.(i4 2 分)如图直三棱柱

15、 ABC-ABiC 中，D, E 分别是 AB, BB 的中点，AA=AC=CB= AB=2. 证明：BG/平面 ACD. 求三棱锥 E-AiCD 的体积. 【解【解析】 连接 AG 交 AiC 于 F, 连接 DF,贝 U F 为 AC 中点，又 D 为 AB 中点, 因为 BC / DF,又 BC?平面 AiCD DF?平面 AiCD 所以 BC /平面 AQD. 7 T (2)因为 AC=BC= AB=2 2 所以 ACL BC, AB=2 , A/2 CDL AB CD=，因为三棱柱为直三棱柱， 所以 AA 丄底面 ABC 所以 AA 丄 CD 因为 AiAQ AB=A 所以 CDL

16、平面 A DE A -10 - 3 2 s - 在矩形 ABBAi中，求得“出, 1 Bp? 所以：二 r心聖=X 2 X -=1. 故三棱锥 E-AiCD 的体积为 1. 【加练固】 如图所示，已知矩形 ABCD 过 A 作 SA 丄平面 ABCD 再过 A 作 AE SB 交 SB 于点 E,过 点 E 作 EF 丄 SC 交 SC 于点 F. (1)求证：AF 丄 SC. 若平面 AEF 交 SD 于点 G,求证：AGL SD. 【证明】(1)因为 SAL平面 ABCD BC?平面 ABCD 所以 SAL BC 因为四边形 ABCD 为矩形, 所以 AB丄 BC,因为 ABA SA=A

17、所以 BCL平面 SAB 所以 BCL AE. 又 SB 丄 AE, SBA BC=B 所以 AE!平面 SBC 所以 AE! SC. 又EFL SC,所以 SC 丄平面 AEF, 所以 AFL SC. 因为 SAL平面 ABCD 所以 SAL DC 又 ADL DC, SAA AD=A 所以 DCL平面 SAD 所以 DCL AG. 由(1)知 SC 丄平面 AEF, 因为 A(?平面 AEF, 所以 SCL AG 因为 SCA DC=C 所以 AGL 平面 SDC 所以 AGL SD. 所以 州DE x CD -ii - 培优练-12 - 1. 如图，在矩形 ABCD 中, AB=2AD

18、E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻折成 ADE.若 M 为线段 AC 的中点，则在 ADE 翻折过程中，下列结论中正确的有 （ ） 总存在某个位置，使 CEL 平面 AiDE. 总有 BM/平面 AiDE. 存在某个位置，使 DE 丄 AiC. 由 MF/ AiD 与 FB/ ED 可得平面 MBF/平面 AiDE,所以总有 BM/平面 AiDE,故正确; 在中，AiC 在平面 ABCD 中的射影为 AC, AC 与 DE 不垂直，所以 DE 与 AC 不垂直，故错误 啓 2. （20i9 南昌高一检测）如图，在四面体 P-ABC 中，PA 丄平面 ABC, PA=AB=i BC= , AC=2. 证明： BC 丄平面 （2）在线段 PC 上是否存在点 D,使得 AC 丄 BD,若存在，求 PD 的值，若不存在，请说明理由 弋I kJ 【解【解析】由题知：AB=i, BC 仝,AC=2. 则 A$+BC=AC，所以 AB 丄 BC, A. 【解连接 MF B. C. D. 选 A.在中，总存在某个位置，使 1 BF,则 MF/ AD 且 MF=AD, CE!平面 AiDE正确；在中，取 CD 中点 F, ED 且 FB=ED FB/