斯托克斯定理ppt课件

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析主主 要要 内内 容容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理1. 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度2. 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度3. 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度4. 无散场和无旋场无散场和无旋场5. 格林定理格林定理 6. 矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理7. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系正交曲面坐标系1. 1. 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度方向导数方向导数: :标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上的变化率。

2、上的变化率。 lPPllP)()(lim0 例如标量场例如标量场 在在 P 点沿点沿 l 方向上的方向导数方向上的方向导数 定义为定义为Pl PllP梯度梯度: :标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方 向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。量。zyxzyeeexgradzyxzyxeeegrad在直角坐标系中，标量场在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为的梯度可表示为式中式中grad 是英文字母是英文字母 gradient 的缩写。的缩写。若引入算符若引入算

3、符，它在直角坐标系中可表示为，它在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为则梯度可表示为通量：通量： 矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量的面积分称为矢量 A 通过该有向曲通过该有向曲 面面 S 的通量，以标量的通量，以标量 表示，即表示，即 2. 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度S d SA 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞或汇）。闭合的有

4、向曲面的方向该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通通常规定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。闭合面的通量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。 由物理得知，真空中的电场强度由物理得知，真空中的电场强度 E E 通过任一闭合曲面的通量通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量等于该闭合面包围的自由电荷

5、的电量 q q 与真空介电常数与真空介电常数 0 0 之之比，即，比，即，可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。的分布特性。为此需要研究

6、矢量场的散度。 Sq 0dSE散度：当闭合面散度：当闭合面 S S 向某点无限收缩时，矢量向某点无限收缩时，矢量 A A 通过该闭合面通过该闭合面S S 的的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A A 在该在该 点的散度，以点的散度，以 div A div A 表示，即表示，即VSVd limdiv 0SAA式中式中div div 是英文字母是英文字母 divergence divergence 的缩写，的缩写， V V 为闭合面为闭合面 S S 包包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单围的体积。上式表明，散度是一个标

7、量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。位体积闭合面的通量。 直角坐标系中散度可表示为直角坐标系中散度可表示为 zAyAxAzyxAdiv因此散度可用算符因此散度可用算符 表示表示为为AAdivSVV d d div SAA高斯定理高斯定理SVV d d SAA或者写为或者写为 从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V V 中的场和包围区域中的场和包围区域 V V 的闭合面的闭合面 S S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域上的场之间的关系。

8、因此，如果已知区域 V V 中的中的场，根据高斯定理即可求出边界场，根据高斯定理即可求出边界 S S 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。环量：矢量场环量：矢量场 A A 沿一条有向曲线沿一条有向曲线 l l 的线积分称为矢量场的线积分称为矢量场 A A 沿该沿该曲曲 线的环量，以线的环量，以 表示，即表示，即3. 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度l d lA可见，若在闭合有向曲线可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场上，矢量场 A 的方向处处与线元的方向处处与线元 dl 的方的方向保持一致，则环量向保持一致，则环量 0；若处处相反，那么；若处处相反，那么 0 。可见，。可见，环量可以用来

9、描述矢量场的旋涡特性。环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。 由物理学得知，真空中磁感应强度由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线沿任一闭合有向曲线 l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率与真空磁导率 0 的乘积。即的乘积。即 式中电流式中电流 I 的正方向与的正方向与 dl 的方向构成的方向构成 右旋右旋 关系。由此可见，环量关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究线包

10、围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。矢量场的旋度。 Il0 d lB旋度：旋度是一个矢量。若以符号旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量表示矢量 A 的旋度，则其的旋度，则其 方向是使矢量方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对具有最大环量强度的方向，其大小等于对 该矢量方向的最大环量强度，即该矢量方向的最大环量强度，即SlSd limrotmax 0nlAeA式中式中 rot rot 是英文字母是英文字母 rotation rotation 的缩写，的缩写，en en 为最大环量强度的为最大环量强度的方向上的单位矢量，方向上的单位矢

11、量，S S 为闭合曲线为闭合曲线 l l 包围的面积。上式表明，包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。量。 直角坐标系中旋度可用矩阵表示为直角坐标系中旋度可用矩阵表示为 zyxzyxAAAzyxeeeArot或用算符或用算符 表示为表示为AArot 应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，某点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度

12、及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。义的梯度、散度或旋度。 斯托克斯定理斯托克斯定理 lS d d)rot(lASA 同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域 S S 中的场和包围区域中的场和

13、包围区域 S S 的闭合曲线的闭合曲线 l l 上的场之间的关系。因此，上的场之间的关系。因此，如果已知区域如果已知区域 S S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l l 上的上的场，反之亦然。场，反之亦然。lS d d)(lASA或者写为或者写为 散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。矢量场称为无旋场。 4. 4. 无散场和无旋场无散场和无旋场两个重要公式：两个重要公式：0)(A0)( 左式表明，任一矢量场左式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零的旋度的散度一定等于零 。因

14、此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。任何旋度场一定是无散场。 右式表明，任一标量场右式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。者说，任何梯度场一定是无旋场。 5. 格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V V 中具有连续的二阶偏导中具有连续的二阶偏导数，如下图示。数，如下图示。 SV,ne 那么，可以证明该两个标

15、量场那么，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式满足下列等式SVSnV 2dd)(根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面， 为标为标量场量场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 en 方向上方向上的偏导数。的偏导数。nSVV 2d)(d)(S上两式称为标量第一格林定理。上两式称为标量第一格林定理。SVSnnV 22dd)(SVV 22d d)(S基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为标量第二格林定理。上两式称为标量第二格林定理。 设任意两个矢量场设任意两个矢量场 P 与与 Q ，若

16、在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场那么，可以证明该矢量场 P 及及 Q 满足下列等式满足下列等式SVV d d )()(SQPQPQP式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，面元的闭合曲面，面元 dS 的方向为的方向为S 的外法线方向，上式称的外法线方向，上式称为矢量第一格林定理。为矢量第一格林定理。 基于上式还可获得下式：基于上式还可获得下式：SVV dd ()(SPQQPQPPQ此式称为矢量第二格林定理。此式称为矢量第二格林定理。 无论何种格林定理，都是说明区域无论何种格林定理，都是说明区域 V 中的场与边界中的场与边界 S 上的场

17、之间的上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。的求解问题。 此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。场的分布特性。格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。6. 矢量场的唯一性定理矢量场的唯一性定理 位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上位于某一区域中的

18、矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。惟一地确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。 若矢量场若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的，在无限区域中处处是单值的， 且其导数连且其导数连续有界，源分布在有限区域续有界，源分布在有限区域 V 中，则当矢量场的散度及旋中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场度给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为可以表示为 7. 7. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 )()()(rArrFVVd)(41)(rrrFrVVd)(41)(rrrFrA式中式中 可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是