多元函数微分学解题技巧

1、多元函数微分学多元函数微分学一、一、重极限、连续、偏导数、全微分重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论）（概念，理论）二、偏导数与全微分的计算二、偏导数与全微分的计算四、应用四、应用（极值、切线、切平面）（极值、切线、切平面）三、方向导数和梯度三、方向导数和梯度Ayxfyyxx),(lim00),(),(00yxyx一、重极限、连续、偏导数、全微分一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论）（概念，理论） 是以是以“任意方式任意方式”1重极限重极限 题型一：求极限题型一：求极限常用方法：常用方法：1）四则运算法则及复合函数运算法则；）四则运算法则及复合函数运算法则；2）等价无穷小代换；

2、）等价无穷小代换；3）利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量）利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量. 4）夹逼定理；）夹逼定理；例例1. 求求22),(),(limyxyxyxyx 0例例4 .(江苏江苏2000竞赛竞赛) ( )sin(lim)0,0(),(yxyxyxA. 等于等于1； B.等于等于0； C.等于等于-1； D.不存在不存在D例例2. 求求).ln(lim2222)0,0(),(yxyxyx0 例例3. 求求yxxayxx 2)11(lim),(),(=e 练习练习 求求)(22),(),()(lim)1(yxyxeyx=021)cos(1lim)2(22)0,0(),(yx

3、xyyxexxyyxyx1),(),(2)11(lim)3(题型二：题型二：证明重极限不存在证明重极限不存在 常用方法：常用方法：沿不同路径极限不同（如：沿过点沿不同路径极限不同（如：沿过点),(00yx的直线）；的直线）；2) 2) 沿某一路径极限不存在沿某一路径极限不存在. .)0 , 0(),()0 , 0(),(),(22yxayxyxxyyxf例例5 5 判断函数判断函数)0 , 0(在在点的连续性点的连续性. .练习练习 证明重极限不存在证明重极限不存在;lim2200yxxyyx),(),(lim0000yxfyxfyyxx2. 连续连续3.3.偏导数偏导数0d),(d),(),

4、(lim),(00000000 xxxxxyxfxyxfyxxfyxf 0d),(d),(),(lim),(00000000yyyyyyxfyyxfyyxfyxf 例例6 ).0 , 1(),1 , 1(,)(),(yxxyffyxyxf求求设设 . 0)0 , 1(, 2ln21)1 , 1( yxff练习：练习：).1 ,(,arcsin)1(),(xfyxyxyxfx求求设设 1 答答案案：几何意义几何意义例例7., 0),(, 0),( yyxfxyxf设设在在全全平平面面上上有有则在下列则在下列. ),(),(2211）（的的是是yxfyxf A. B. 2121 ,yyxx 212

5、1 ,yyxx C. D. 2121 ,yyxx 2121 ,yyxx C条件中能保证条件中能保证)(),(),(0000oyBxAyxfyyxxfz4.4.全微分全微分1) 1) 定义定义: : 若若2) 2) 判定判定: :必要条件必要条件: : ),(00yxfx),(00yxfy与与都存在都存在; ;充分条件充分条件: : ),(yxfx),(yxfy),(00yx和和在在连续连续; ;是否都存在？是否都存在？与与),(),()0000yxfyxfiyx是否为零是否为零?ii）用定义判定可微性：用定义判定可微性：.dddyyzxxzz则则3) 3) 计算：计算： 可微，可微，若若),(

6、yxf2200)0 , 0(limyxyfxfzyxyx 5.5.连续、偏导存在和可微的关系连续、偏导存在和可微的关系题型三题型三 讨论连续性、可导性、可微性讨论连续性、可导性、可微性例例8.) ()0 , 0(),(是是处处可可微微的的一一个个充充分分条条件件在在点点函函数数yxf; 0)0 , 0(),(lim.)0,0(),(fyxfAyx0)0 , 0(), 0(lim0)0 , 0()0 ,(lim.)0 ,0(),()0 ,0(),(yfyfxfxfByxyx且且; 0)0 , 0(),(lim.22)0,0(),(yxfyxfCyx0)0 , 0(), 0(lim0)0 , 0(

7、)0 ,(lim.00yyyxxxfyffxfD且且C D 且且的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在点点已已知知函函数数,)0 , 0(),(yxf. )0 , 0(),(, 1),(lim22)0,0(),(）（处处在在则则yxfyxyxfyx 例例9. 0)0 , 0( fA. 极限存在但不连续极限存在但不连续B. 连续但偏导数不存在连续但偏导数不存在C. 偏导存在但不可微偏导存在但不可微D. 可微可微例例10的的某某邻邻域域内内有有定定义义，且且在在点点设设),(),(00yxyxfz )()()(),(),(0000 oyybxxayxfyxfz 求求其其中中.)()(2020yyxx

8、 .),(),(lim00000 xyxxfyxxfx a2 答答案案：例例11.,)0 , 0(),(0,0)( 0,(0,0)( ,1arctan),(22可导性与可微性可导性与可微性的连续性的连续性在点在点试讨论试讨论设设yxfx,yx,yyxyyxf.| ),(d,)0 , 0(),(0,0)( 0,(0,0)( ),tan(),()0,0(2222yxfyxfx,yx,yyxyxyxyxf并求并求处可微处可微在点在点证明证明设设yxdd 练习练习),(|),(yxyxyxf),(yx)0 , 0(),(yx)0 , 0(xf )0 , 0(yf )0)0 , 0(),(yxf设设,

9、,其中其中在点在点的邻域内连续的邻域内连续, ,问问1) 1) 应满足什么条件才能使应满足什么条件才能使和和都存在都存在? ? 2) 2) 在上述条件下在上述条件下在在(0,0)(0,0)点是否可微点是否可微? ? （可微）（可微）练习练习2二二 偏导数与全微分的计算偏导数与全微分的计算根据结构图，根据结构图， “分线相加，连线相乘分线相加，连线相乘” “分路偏导，单路全导分路偏导，单路全导”对抽象或半抽象函数，注意对抽象或半抽象函数，注意.,),(的函数的函数求完偏导后仍然是求完偏导后仍然是对对vuvuvuf1. 复合函数求导复合函数求导),(vufz 有有连连续续偏偏导导数数，),( ),

10、(yxvyxu 2.全微分形式不变性全微分形式不变性vvzuuzzdddyyzxxzzddd则则3.隐函数求导法隐函数求导法方法方法: :（b b）两边求偏导）两边求偏导0 xzFFzx0yzFFzyzxFFxz zyFFyz （c c）利用微分形式不变性）利用微分形式不变性: : 0dddzFyFxFzyx0),(zyxF).,(yxzz 确定确定(1)（a）公式）公式:0),(0),(vuyxGvuyxF(2).,(),(yxvvyxuu确定确定方法：两边求偏导；方法：两边求偏导；利用全微分形式不变性利用全微分形式不变性 例例12 12 设设),(yxf)0 , 0(),(0)0 , 0(

11、),()sin(|2222yxyxyxyxx0)0 , 0()0 , 0(yxff不不存存在在，)0 , 0(xf )0 , 0(yf 求求和和.题型一题型一 求一阶偏导数与全微分求一阶偏导数与全微分)2(2()2(yxeeyxx)2(yxfezx0y2xz .xz设设, ,且当且当 时时, ,则则例例13. 例例14 .(江苏江苏06竞赛竞赛) ) ()0 ,(d),( ezyxzzzexzy则则可可确确定定已已知知由由yxed21d21练习：练习：yxdd ).1 , 1 , 1(d,),(1fyxzyxfz求求设设dyyxxbydxxyaxy)3sin1 ()cos(2223ba,已知已

12、知是某一函数的全微分是某一函数的全微分, ,则则 取值分别为（取值分别为（ ）; 22)(和和A; 22)(和和B; 33)(和和C; 33)(和和DB练习：练习：例例15. ) (,)(dd)(2 ayxyyxayx则则为某函数的全微分为某函数的全微分已知已知. 2 . ; 1 . ; 0 . ; 1 .DCBA D题型二题型二 复合函数的偏导数与高阶偏导数复合函数的偏导数与高阶偏导数练习练习. (07数一数一)._),(, 0)0 , 0(),( xzyxfzfyxfxy则则可可微微，设设211 lnfyyfyxxy，可可微微，设设 )0 , 0(,)0 , 0(, 0)0 , 0(),(

13、nfmffyxfyx . )0( ),(,()( 求求ttftft)(nmnm 练习练习., ,),(,)(222yzyxzhfyxhyxfz 求求均均为为二二阶阶可可微微函函数数偏偏导导数数具具有有二二阶阶连连续续其其中中已已知知 22212112)()()( )()()()( fyhfyhyxhfyhxyhxfxyxz 2222121122)()()(2 fyhxfyhxfyhxfyz 练习练习.),(vuf)(21,),(22yxxyfyxg设设具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ,且满足且满足又又, ,求求, 12222vfuf.2222ygxg22yx 例例1606,222222

14、 yzyxzxzayxvyxu可把方程可把方程设变换设变换., 02avuz求常数求常数化简为化简为 3 a例例17.注：注： 偏导数的坐标变换偏导数的坐标变换-看作复合函数求偏导数看作复合函数求偏导数或全导或全导 2：.),()2(,),()(2yxzxyxgyxfzvugtf 求求二二阶阶连连续续可可导导二二阶阶可可导导，设设. 0),(2222 yukxukyuxuyxuu满足方程满足方程已知已知.,数数项项消消去去新新方方程程中中一一阶阶偏偏导导把把方方程程变变形形，通通过过变变换换试试选选择择参参数数byaxuezba 2,2kbka 例例18.(江苏江苏08竞赛竞赛)._,)1 ,

15、2(nnyzyxxz则则设设!2 n._,2)1 ,2(22nnyzyxxz则则设设练习练习1：13)1(1!nnn3：题型三题型三 隐函数的偏导数与全微分隐函数的偏导数与全微分 例例19. 存在存在由隐函数存在定理由隐函数存在定理设设, 1ln xzeyzxy）在此邻域内该方程（在此邻域内该方程（的一个邻域的一个邻域点点 ,)1 , 1 , 0(A. 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数只能确定一个具有连续偏导数的隐函数B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数可确定两个具有连续偏导数的隐函数C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数可确定两个具有连续偏导数的隐函数D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数可确

16、定两个具有连续偏导数的隐函数);,( yxzz );,(),(yxzzzyxx );,(),(yxzzzxyy ).,(),(zxyyzyxxD例例20.dd,0),(),(xyyxtyxFttxfy求求的函数的函数所确定的所确定的是由方程是由方程而而设设ytxtFfFFffF221例例21. ,sin, 0),(),(2xyzexzyxfuy 设设.dd, 0,xuzf求求且且都具有一阶连续偏导数都具有一阶连续偏导数其中其中 )cos2(1cosdd213 xexfxffxuyzyx练习练习. 例例22 (99数一数一). .dd,0),()()(),( xzFfzyxFyxxfzxzzxy

17、y求求导导数数连连续续导导数数和和一一阶阶连连续续偏偏分分别别具具有有一一阶阶和和其其中中所所确确定定的的函函数数和和是是由由方方程程设设)0( ,)(ddzyzyxyFfxFFfxFFfxFfxfxz.dd,cos,tan,),(022txztztytxetyxezyxyxzz求求满满足足的的函函数数均均为为而而确确定定由由设设813 题型四题型四 已知偏导数，求函数已知偏导数，求函数.).,(), 0(,)0 ,(22yxzzyyzxxzyxyxz 的解的解满足条件满足条件求方程求方程2222xyyxyxz 例例23例例24.).0()()(),( ,),(2 uyuxuyxuuygxfy

18、xuyxu的的充充要要条条件件是是证证明明具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导设设例例25.证证明明存存在在具具有有连连续续偏偏导导设设 ,),(yxfz 的的使使得得可可微微函函数数)0)(),(),( abbyaxgyxfug.),(yzaxzbyxfz 满满足足充充要要条条件件是是_,sin,0;sin,0, 02 zxzyyzxyxz则则时时时时若若xyzsinsin 练习：练习：有有证证明明对对任任意意正正数数具具有有连连续续偏偏导导设设tyxf ,),(欧欧拉拉方方程程满满足足的的充充要要条条件件是是),(),(),(yxfyxfttytxfk ).,(yxkfyfyxfx 例例26.

19、三、三、 方向导数和梯度方向导数和梯度1.方向导数方向导数1)定义定义:.)()(lim0000txftexflfltx.),()cos,cos(lim00000tyxftytxft ),(yxfz 可微可微, ,则则2)计算计算: 若若 coscosyfxflf .,的方向角的方向角为为其中其中l 2.梯度梯度计算计算jiyfxfzgrad).,(yxfz 其中其中0lel22yxzA)A)不连续不连续; B); B)偏导数存在偏导数存在; ; C)C)沿任一方向的方向导数不存在沿任一方向的方向导数不存在; ; D)D)沿任一方向的方向导数均存在沿任一方向的方向导数均存在; ;在在点点(0,

20、0)处处例例27 27 函数函数( )DD( )例例2828yxyxfd2d| ),(d)0, 0(2)0 , 0(, 1)0 , 0(yxff 设设, ,则则A) f( (x, ,y) )在在(0,0)点点连续连续; ; l为任一方向为任一方向的方向余弦的方向余弦. .B) cos2cos)0, 0(lfcos,cos, ,其中其中C),(yxf)0 , 0(x1在在点沿点沿 轴负方向的方向导数为轴负方向的方向导数为. .D)练习练习. _M2)1 , 1 , 1( 22222MnunyxzMzyxu的的方方向向导导数数处处的的外外法法线线方方向向在在点点处处沿沿曲曲面面在在点点函函数数31

21、练习：练习：的方向导数为的方向导数为弧度方向上弧度方向上处处在点在点函数函数4)1 , 1(222Pyxz23_d,17, 6),(34,43 PPPfvfufPyxfjivjiu则则处处有有在在点点且且二二元元可可微微函函数数设设向向量量yxd15d10 例例29.2 2222的梯度方向的方向导数的梯度方向的方向导数沿沿求求yzxzyxu 22222zyxyzx 练习：练习：四、四、 多元函数微分学的应用多元函数微分学的应用1. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线2. 曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面, ,1,yxffn,zyxFFFn, ,法向量法向量: : ),(yxfz 2) 曲

22、面曲面0),(zyxF1) 曲面曲面0),(0),(zyxGzyxF2)曲线曲线21nn, ,切向量切向量: : , ,法向量法向量: : ,1ZyxFFFn,2zyxGGGn其中其中)()()(tyztyytxx1)曲线曲线, , 切向量切向量: : )(),(),(000tztytxT练习：练习：._)2 , 2, 1(2132 222法法线线方方程程为为的的在在点点曲曲面面zyx624211zyx024 zx题型一题型一 建立曲面的切平面和法线方程建立曲面的切平面和法线方程 531zyxzyx或或例例30. 满满足足对对任任意意若若可可微微函函数数tyxyxf,),(._P, 4)2,

23、1(),(1,-2,2).P),(),(002处处的的切切平平面面方方程程为为则则曲曲面面在在且且上上一一点点，是是曲曲面面 xfyxfzyxfttytxf.)1, 1, 1(74253,2 2522222的的切切线线在在点点：使使之之过过的的切切平平面面求求Mzyxzyxzyx例例31. .431221)1 , 2 , 5(,4 22平平行行且且与与直直线线经经过过点点使使曲曲面面在在这这点点的的切切平平面面上上求求点点在在曲曲面面 zyxyxz)13, 1, 3()5 , 1 , 1( 或或练习练习 练习练习 .)1 , 5, 1(040 2处处的的法法平平面面上上点点求求曲曲线线yxzx

24、题型二题型二 建立空间曲线的切线和法平面方程建立空间曲线的切线和法平面方程2, 1 , 1, ,ttxsin2sin4,cos1tzty2t练习练习 求曲线求曲线在点在点处的切线方程和法平面方程处的切线方程和法平面方程. .练习练习(03数一数一) ._042 22平平行行的的切切平平面面方方程程是是与与平平面面曲曲面面zyxyxz. 0)5()2(4)1(2zyx3. 3. 极值与最值极值与最值1).1).无条件极值无条件极值；定义定义:),(),(00yxfyxf极大极大),(),(00yxfyxf极小极小必要条件必要条件 0),(, 0),(0000yxfyxfyx充分条件充分条件2).

25、 条件极值与拉格朗日乘数法条件极值与拉格朗日乘数法3).最大最小值最大最小值极值点极值点 驻点驻点题型一题型一 求无条件极值求无条件极值 )2, 1, 1 (),6 , 1, 1 ()6 , 1, 1 ( , 041, 01612ABAC; 6) 1, 1 (1z)2, 1, 1 (, 041, 01612ABAC; 2) 1, 1 (1z16)2() 1() 1(222zyx22) 1() 1(162yxz010422222zyxzyx),(yxzz 例例3232求由方程求由方程所确定函数所确定函数的极值的极值. .1) 1) 在点在点处处, ,极大值极大值2) 2) 在点在点处处, ,极小

26、值极小值解解2 配方配方 解解1 ： 驻点驻点.1),(222)()(212的的极极值值点点求求函函数数byaxyeyyxf.)2,(),(为极大值点为极大值点baba 例例33. D注：注： 通过变形（如取对数通过变形（如取对数,去根号）去根号）,把复杂函数把复杂函数转化为简单函数是极值问题的常用技巧。转化为简单函数是极值问题的常用技巧。例例34.?),(,2243),( 22唯一的极小值唯一的极小值有唯一的极大值有唯一的极大值满足什么条件时满足什么条件时试问试问设设yxfbabxyayaxyxyxf 例例35) )(0 , 0(,ddd),( 则则点点的的全全微微分分为为设设函函数数yyx

27、xzyxfz.),(. ),(.),(. ),(.的的极极小小值值点点是是的的极极大大值值点点；是是的的极极值值点点；不不是是的的连连续续点点；不不是是yxfDyxfCyxfByxfA例例3600M22M22000,),(M),(yfxfyxyxf 且且处处取取极极大大值值在在点点设设) (,则则存存在在; 0, 0.00M22M22 yfxfA; 0, 0.00M22M22 yfxfB; 0, 0.00M22M22 yfxfC; 0, 0.00M22M22 yfxfDB例例37的的某某邻邻域域内内连连续续，在在点点已已知知函函数数)0 , 0(),(yxf）则则（ , 1)cos(1),(l

28、im)0 , 0(),( yxyxfyx;),(0,0) A.的的驻驻点点不不是是yxf;(0,0) B.是是驻驻点点但但不不是是极极值值点点;(0,0) C.是是驻驻点点且且是是极极小小值值点点;(0,0) D.是是驻驻点点且且是是极极大大值值点点解法解法1:保号性保号性 解法解法2:排除法排除法 解法解法3：特殊函数：特殊函数D练习练习（03数一）数一）的某邻域内连续，的某邻域内连续，在点在点已知函数已知函数)0 , 0(),(yxf）则（则（ , 1)(),(lim222)0,0(),(yxxyyxfyx;),(0,0) A.的极值点的极值点不是不是yxf;(0,0) B.是是极极大大值值点点;(0,0) C.是极小值点是极小值点.(0,0) D.是否是极值点是否是极值点无法判断无法判断A题型三题型三 求最大最小值求最大最小值 题型二题型二 求条件极值求条件极值3),(22yxyxf01 yx练习练习 求函数求