2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：54抛物线Word版含解析

1、课时作业54抛物线 一、选择题 1. 已知抛物线 x2 = 2py(p0)的准线经过点(1,1)，则抛物线的 焦点坐标为(A ) A . (0,1) B. (0,2) C. (1,0) D. (2,0) 解析：由抛物线 x2 = 2py(p0)的准线为 y= p= 1,得 p = 2, 故所求抛物线的焦点坐标为(0,1). 2. (2019 河北五名校联考)直线 I 过抛物线 y2 = 2px(p0)的焦点， 且与该抛物线交于 A, B 两点，若线段 AB 的长是 8, AB 的中点到 y 轴的距离是 2,则此抛物线的方程是(B ) A . y2= 12x B. y2= 8x C. y2= 6

2、x D. y2= 4x 解析：设 A(X1, y1), B(x2, y2),根据抛物线的定义可知|AB| = X1 + X2 (X1 + X2)+ p= 8又 AB 的中点到 y轴的距离为 2,二一一 = 2,二刘 + X2= 4,Ap= 4,.所求抛物线的方程为 y2= 8x.故选 B. 3. 设抛物线 C: y2=4x 的焦点为 F，准线 I 与 x 轴的交点为 A, 过抛物线 C 上一点 P 作准线 I 的垂线，垂足为 0.若厶 QAF 的面积为 2,则点 P的坐标为(A ) A . (1,2)或(1 , 2) B. (1,4)或(1, 4) C . (1,2) D . (1,4) 1

3、解析：设点 P 的坐标为(X。，y).因为QAF 的面积为 2,所以？ x 2X |y匸 2,即|yo|= 2,所以 x = 1,所以点 P 的坐标为(1,2)或(1 , -2). 4. （2019 福州四校联考）已知抛物线 C 的顶点为坐标原点， 对称 轴为坐标轴，直线 I 过抛物线 C 的焦点 F，且与抛物线的对称轴垂直， l与 C交于 A, B 两点，且|AB|= 8, M 为抛物线 C 准线上一点，则 ABM 的面积为（A ） A . 16 B. 18 C. 24 D. 32 解析：不妨设抛物线 C： y2 = 2px（p0）,如图，因为直线 I 过抛物 线 C 的焦点，且与抛物线的对

4、称轴垂直，所以线段 AB 为通径，所以 2p = 8, p= 4,又 M 为抛物线 C 的准线上一点，所以点 M 到直线 AB 1 的距离即焦点到准线的距离，为 4,所以/ABM 的面积为x 8X4= 16, 故选 A. 5. （2019 陕西质量检测）抛物线有如下光学性质：由焦点射出的 光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴； 反之，平行于抛物线对 称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.若抛物线 y =4x 的焦点为 F, 一平行于 x 轴的光线从点 M（3,1）射出，经过抛物线 上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则直线 AB 的斜率 为（B ） 4 B - 3

5、16 D - 9 1 i 光学性质可知，直线 AB 过焦点 F(1,0),所以直线 AB 的斜率 k = 4 =4故选 B. 6 .抛物线 y2 = 2px(p0)的焦点为 F，点 N 在 x 轴上且在点 F 的 右侧，线段 FN 的垂直平分线 I 与抛物线在第一象限的交点为 M，直 线 MN 的倾斜角为 135 ,0 为坐标原点，则直线 0M 的斜率为(A ) A . 2 2 2 B. 2 2 1 C. 2 1 D. 3 2 4 2 解析：解法 1:设点 M(mp, m)(m0),因为点 M 在 FN 的垂直平 分线上且点 N 在焦点 F 的右侧，所以 N(2m2E, 0),又 MN 的倾斜

6、 角为 135 :所以-fPm= 1,解得 m= ( 2 + 1)p,所以点 “(3+； 2 p m 2 p, ( 2+ 1)p)，所以直线 0M 的斜率为2 2+ 1 = 2 2 2,故选 A. 3+ 2 寸 2 解法 2:如图，设直线 L 为抛物线的准线，过点 M 向准线引垂线, 垂足为 A,交 y轴于点 B,设|MF 匸 t,因为点 M 在 FN 的垂直平分线 上，且直线 MN 的倾斜角为 135 ,所以直线 MF 的倾斜角为 45由 抛物线的定义得 t = |MA|= p+ _22t, 即卩 t=(2+ 2)p,所以|OB|1 1 4 A.3 解析：将 y= 1 代入 y2=4x,可得

7、 x= 4,即A(4，1).由抛物线的 2 _ p 3+ 2 2 p = -t= ( 2 + 1)p,BM|= t 2= 2 ，设直线 OM 的倾斜角为 0, |OB| 2(羽+ 1) 则/OMB =0,所以直线 OM 的斜率为 tan 0= MRI = r = 2/2 一 |MB| 3+ 2y2 2,故选 A. 7. 如图，过抛物线 y2= 2px(p0)的焦点 F 的直线依次交抛物线 及其准线于点 A, B，C,若|BC|= 2|BF|,且|AF|= 3,则抛物线的方程 解析：如图，分别过点 A, B 作准线的垂线，交准线于点 E, D,y2=|x y2= 9 2x D. y2= 9x 由

8、抛物线的定义得，|BD| = a, 故 ZBCD= 30 在直角三角形 ACE 中，因为 |AE|=|AF|= 3, |AC| = 3+ 3a, 2|AE| =AC|, 所以 6= 3 +3a,从而得 a= 1, 因为 BD /FG，所以黑 =iBq. 1 2 3 即 p=3,解得 p=2, 因此抛物线方程为 y2= 3x. 二、填空题 8. 已知点 P 在抛物线 y2=4x 上，且点 P 到 y 轴的距离与其到焦 1 点的距离之比为 3,则点 P 到 x 轴的距离为 3. 解析：设点 P 的坐标为(Xp, yP),抛物线 y2 = 4x 的准线方程为 x =-1,根据抛物线的定义，点 P 到

9、焦点的距离等于点 P 到准线的距 离，故 = 1,解得 Xp= 1, Xp-(-1) 2 所以 yP = 4,所以|yp|=2. 9. (2019 合肥市质量检测)抛物线 E: y2 = 4x 的焦点为 F，准线 I 与 设 |BF|= a, x 轴交于点 A,过抛物线 E 上一点 P(在第一象限内)作 I 的垂线 PQ, 垂足为Q.若四边形 AFPQ 的周长为 16,则点 P 的坐标为(4,4). 解析：设 P(x, y),其中 x0, y0,由抛物线的定义知|PF|= |PQ| x+1根据题意知 |AF|= 2, |QA| = y, 2 x + 1 +2 + y= 16, x= 4, x=

10、 9, 则2 ? 或 (舍去). ly2= 4x y= 4 y= 6 所以点 P 的坐标为(4,4). 10. (2019 潍坊市统 考试 )已知抛物线 y2= 4x 与直线 2x y 3 =0 相交于 A, B 两点，O 为坐标原点，设 OA, OB 的斜率分别为 ki, 11 i k2,则订+込的值为1 2 2 4 4 解析：设 A(41, y1), B(y2, y2)，易知 妁汀 0,则 k = , k2 = , y+ 3 2 2 将 x= 2 代入 y = 4x,得 y -2y 6 = 0, 1 1 1 所以屮+ y2 = 2,订+ k；=夕 三、解答题 11. 过抛物线 C: y2

11、= 4x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 I 交抛物线 C于 A, B 两点，且|AB|= 8. (1)求直线 I 的方程； 若 A 关于 x 轴的对称点为 D，抛物线的准线与 x 轴的交点为 E, 求证：B, D, E 三点共线. 解：(1)F 的坐标为(1,0),贝 S l的方程为 y= k(x 1)，代入抛物线 1 所以 k1+ y1 + y2 4 , 方程 y2 = 4x 得 k2x2 (2k2 + 4)x + k2 = 0, 由题意知 kz0,且(2k2 + 4)2 4k2 k2= 16(k2 + 1)0. 设 A(xi, yi), B(x2, y2), 2 k2 + 4 Xi +

12、 X2 = k , X1X2 = 1 , 由抛物线的定义知|AB|= Xi +X2+ 2 = 8, 2 k2 + 4 2 k2 = 6,K= 1,即卩 k= 1, 二直线 l的方程为 y=x1). 证明：由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(xi, yi)，又 E( 1,0), . y2 yi -J0)的焦 点，曲线 C2是以 F 为圆心，号为半径的圆，直线 4x 3y2p = 0 与曲 线 Ci, C2从上到下依次相交于点 A, B, C, D，则煨尸(A ) A . 16 B. 4 厂 8 5 C.3 D.3 解析：解法 1:因为直线 4x 3y 2p= 0 过 Ci的焦点 F(C2的圆 心

13、)，故 |BF| = |CF| = p, 由抛物线的定义得|AF| p= XA, |DF| 2= XD. 4x 3y 2p= 0, 由 2 整理得 8x2 17px + 2p2 = 0, y2= 2px p 即(8x p)(x 2p)= 0,可得 XA = 2p, XD = 8, JAB XA 2P 故 |CD| = XD = p = 16.故选 A. 8 p |AF| 2 |DF| J 过 A, D 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A1, D1,该直线 AF 所以 |CD|- |AF|-p 解法 2:同解法 1 得 |AB| |CD| 力提升练 交准线于点 E,准线交 x 轴于点 N,则由

14、FN /AA1 得 |EF|_ |NF| 得 |EA|AAi|， 由直线 AF 的斜率为 3 得 tanZAiAF = |, 故AE|= 5.又 |AAi|= |AF|, 故 _NF1 _ JEFJ_ 2 故 |AAi|EA| 5， 5 5 所以 |AF|= |AAi|= 2NF| = 2P. 同理可得 JDFF(ED，又 lDDi|= |DF|， 5 阿=3 阳-|DDi| |NF| = 5 ， II 3|NF| 5 5 故 |DF| = |DDi|= 8NF|= 8P, 5 P |AB| 2P_2 2 丄 故 ICDI=rp=z= 16.故选代 8p 2 8 13. (2019 河北名校联

15、考)如果点 Pi, P2, P3，Pio是抛物线 y2= 2x上的点，它们的横坐标依次为 Xi, X2, X3,，Xio, F 是抛物 线的焦点，若 Xi + X2 + X3 + Xio= 5,则|PiF| +时|+时|+ |PioF| = 10. 解析：由抛物线的定义可知，抛物线 y2= 2pX(P0)上的点 P(Xo, yo)到焦点 F的距离|PF|= Xo+ p,在 y2 = 2X中， p= 1,所以时| + 时| + + |P1oF|= X1 + X2+ X10 + 5p= 1o. 14. (2019惠州市调研考试)在平面直角坐标系 xOy中， 过点 C(2,0) 的直线与抛物线 y2

16、 = 4X相交于 A, B 两点，设 A(X1, yj, B(X2,讨、. (1)求证：y2为定值； (2)是否存在平行于 y轴的定直线被以 AC 为直径的圆截得的弦长 为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理 由. 解：(1)证法 1:当直线 AB 垂直于 x 轴时，不妨取 yi = 2 2, y =2 .2,所以 所以 yiy2= 8(定值). 当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB 的方程为 y= k(x 2), y=kx2 , 2 由 2 得 ky2 4y 8k= 0, y2= 4x, 所以 yiy2= 8. 综上可得，yiy2= 8 为定值. 证法 2:设

17、直线 AB 的方程为 my= x 2. my= x 2, 由 2 得 y2 4my 8 = 0, y = 4x 所以 yiy2= 8. 因此有 yiy2 = 8 为定值. (2)存在.理由如下： 设存在直线 I: x= a 满足条件， Xi + 2 y1 则 AC 的中点,才), |AC|= : xi 2 2+ yi, 因此以 AC 为直径的圆的半径 r =|AC| = $ xi 2 2 + y2=1 x2 + 4, Xi + 2 点 E 到直线 x= a 的距离 d =二一 a|, 所以所截弦长为 2；r2 d2 =*4+4 (筈2-a)2 =.X2 + 4 Xi + 2 2a 2 =”；一 4 1 a Xi + 8a 4a2, 当 1 a= 0,即 a= 1 时，弦长为定值 2,这时直线的方程为 x = 1. 尖子生小题库一一供重点班学生使用，普通班学生慎用 1 15. (2019 福州市测试)已知圆 C: (x 5)2 + (y刁2 = 8,抛物线E: x2= 2py(p0)上两点 A( 2,如)与 B(4, yj， 若存在与直线 AB 平行的 一条直线和 C 与 E 都相切，则 E 的准线方程为(C ) 1 A . x= 2 B. y = 1 1 C. y= 2 D. x= 1 8 2 2 8 p p 1 解析：由题意知，