矩阵的特征值与特征向量专题讲解

1、矩阵的特征值与特征向量专题讲解一、内容提要一、矩阵的特征值和特征向量1基本概念设A为n阶方阵，若存在数和n为非零向量a = 0,使Aa a，则称是A的特征值，a是属于&的特征向量；矩阵扎EA称为A的特征矩阵；入E-A是的n次多项式，称为A的特征多项式；- A =0称为A的特征方程；2、特征值、特征向量的求法（1）计算A的特征值，即解特征方程|kE-A=0;（2）对每一个特征值-0，求出相应的齐次线性方程组 ，oE-A X = 0一个基础解系：，2，.,3,则属于'0的全部特征向量为k! ! . ks s，其中ki,.,ks为不全为零的任意常数；3、特征值、特征向量的性质（1）a

2、与at的特征值相同（但特征向量一般不同）；（2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量；（3）属于不同特征值的特征向量线性无关；（4）设A a a -0，则kA,Am,P A的特征值分别为k , m, ，其中P x为任一多项式，而a仍为相应的特征向量；（5） 若A可逆，Aa aa=0，则丄是A的特征值；是A*的特征值，九九a仍为相应的特征向量；nn（6） 设'1，'2,n是n阶方阵的特征值，则有 ；八aH二tr A （迹）；i=1i=1nn人=A；推论：A可逆当且仅当A的特征值全不为零；i =1（7）若A为实对称阵，则A的所有特征值均为实数，且属于不同特征

3、值的 特征向量彼此正交。、相似矩阵1、定义设A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆阵P，使PAP二B,称A与B相似，记为AB ;2、AB的性质ATBT,kA kB, Am Bm,P(A P(B )其中 P 为任一多项式；r(A)=r(B), A = B,扎 EA=|九 E-B=特征值相同，tr A=tr B ;若A可逆，则B也可逆，且AB。三、矩阵对角化的条件及方法1、若矩阵A与对角阵相似，则称A可对角化，(1) n阶方阵A可对角化的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量；(2) 若A的特征值两两不同，则必可对角化。2、实对称阵A必可对角化，且存在正交阵P，使实对称矩阵正交对角化具体计算步骤如下

4、：(1) 求出实对称矩阵A的全部特征值；(2) 若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化； 若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特 正交化方法化为正交组，再单位化；(3) 将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵P二、典型例题 题型1 :求数字矩阵的特征值与特征向量,z-3-12、例1(87,6分)求矩阵 A= 0-1 4的实特征值及对应的特征向量。I-1 0 bOO /I1 X-2 ,|4九+31-2h+310入E -A0上+ 1Q +2c20丸+12九-2= (& 1 X扎2 +4 + 5 ),10丸110九一1E-A=

5、9;-12 45 所以实特征值为 =1，1 E -AOOO丿OO1，基础解系a =故属于特征值"的所有特征向量为k 0,2,1, k为任意非零常数。例2 设向量二ai,a2,an ，:二bibx.rbn都是非零向量，且满足条件:T =0，记矩阵 A=.d''求：（1） A2 （2）矩阵A的特征值和特征向量。（98, 9分）解 （1）人2=（。俨丫0（0）=進T）o（ J 因为 a T0 =0,所以:T： =0,= a2=o；(2)设 Axx, x =0,则 A2x 二 Ax = 2x，而 A2 =0，故 2x = 0,而 x = 0 ,故彊=0 ,解齐次线性方程组0E

6、不妨设a 0,b 0,d-ab2_albnb2 .bn、a?b1a?b2- a2bn00 .0a-aT-m<_anb1-anb2.bn j1°0 .°,可得基础解系-A 二r b3bn=一 ，1,o,.,o< b1丿,"2 ,01、b1.,0)匚_7 7-nA -/ ,0,0,.,1ib丿于是iA的属于特征值一 0的全部特征向量为Ci 1 C2 2 . Cn_i n,其中C|,C2,.,Cn4是不全为零的任意常数。勺0 0例3（09,4 ）设G =（1,1,1丨，B =（1,0,k T ,若矩阵詡T相似于000<0 0 0贝 y k =r1 (1

7、,0,k 戶0 k0 k ,由题意,0 ktr T =1k= 3 0 0 即k =2z-122、例 4 设 A = 2-1-2<2-211）求A的特征值；（2）求E+A-1的特征值。02丸+1-2-2九+1-2ZE-A =-2Z+12 r2+r1Z-1丸-1-22九+1-22解-20丸+1所以A的特征值为1,1 ,5 ;由特征值性质可知，AJ的特征值为1,1_1，5，设Aaa(a=0),则P A的特征值为P ，其中P x为任一多项式，而:仍为相应的特征向量。于是E+A的特征值为2,2,题型2特征值、特征向量的逆问题例1 (9(1 y2-12、1疋矩阵A=5a3厂1丿厂1b一2丿7,6分，

8、数一)已知 二的一个特征向量,1)试确定参数a,b及特征向量所对应的特征值;(2) 问A能否相似于对角阵？说明理由。广2-12、广1、广1、f5a31=打1C1b一21 一1L1解(1)2 _1 _2 = 05 a 7 =，0 =，0 = -1,a = -3,b = 01 b 2 _ _ -0(2) A =25-1-1 2-330-2'-31-2 '01、E A =-52-3T011<101丿<00° = -1是二重特征根,秩为2,所以只有一个线性无关的特征向22量，故A不可对角化。例2 设矩阵A=-1b0,其行列式A=-1，又A的伴随矩阵A*有一22个特

9、征值o，属于o的一个特征向量为二-1,-1,求a,b,c和o的值。解 由题设，AA = A E =E, A a = %a, AA a =入0 Aa,a= &0Aa,即有a-1c、5、r入05b3-1=1J c0七JJ-(1)-(3)得打=1，代入（2)得.o - a c 1 二 1 :o (-b- 2)=1 o i c - a -1 1b - -3 ,a-1aa-1aaa -1aA=5-33 =5-33=5231 -a0一a1-1 0100入 | A = -1类题（+08,10分)设矩-1a_0(1)代入（1）得a = c ,再代=a - 3 = -1，所以 a = c = 2。cl3

10、 ,其行列式|A = -1，又A的b伴随矩阵A*有一个特征值 叽，属于入的一个特征向量为a=（-1,1,-1$，求a,b, c和'o的值。答案 a = 3,b = c - -4, 0 =1 .题型3:相似矩阵的判定及其逆问题例1（ 9 2,7分）设矩阵 AB，其中A =f-200r-100'2x2,B =020<31b<00yPAP =B。（1）求x与y的值；（2）求可逆矩阵P，使得解因为AB，所以扎E-A =(&+2 )汇 _(x+1)九+(x_2KE-B，即)=(丸+1/-2 卩-y)令 =0,得 2 x-2 =2y，令 =1,得y - -2,所以x =

11、 0。，Z-200、Z-100 '202,B =020<311<002)(2) A二，对应于A和B的共同特征值-1，2,-2的特征向量分别为勺=（0,2,-1»,£=（0,1,1亍&3=（1,0,-1亍，得可逆矩阵S 01、P= 210 ，满足 PAP = B。L 1 -b2 8例2 （+05, 7分）已知矩阵A= 2 20 0xl0相似于对角阵A，试求常数x，并6求可逆阵P,使PJAP二乙九-2-x-A=-2扎-20=（盒00人6=6,扎3 = -2,_4-8x |f'1-20-240T00_x'.00 0 一L000 J6E-

12、A二解AE26）（九+ 2）=0得A得特征值因为A相似于对角阵上，所以r 6E - A =1，即x=0,基础解系14801 2 00,-2 =1,打=-2,-2E -A =-2 -40T0 0 1©10 0-8-0 0 0902-21_600 1基础解系-3 =1，取 P= 011，A = 060，使 PAP "。1°丿J00 一02一题型4:可对角化的判定及其逆问题巾0 例 1（94，8 分）设 A= x 1J 0足的条件。1y有三个线性无关的特征向量，求0>x禾口 y应满九0入 E - A = X 九一1-10-112 y=（九1）（九+1）=0 ，得A

13、的特征值为人、2=1,対=T，只要对应 人、2=1有两个线性无关的特征向量即可，即矩阵广10-1、广10-11 E - A =-X-yT_y _ x01丿卫001E A的秩等于1 ,只要满足x y二0即可。5、正定二次型与正定矩阵若对-X =0,有f(X)=XTAX 0，称f(X)为正定二次型， A正定的充分必要条 件；(1) A的正惯性指数等于n ;(2) A与E合同，即存在可逆阵D，使A = DtD ；(3) A的特征值全正；(4) A的顺序主子式全正；A正定的必要条件：an 0,i =1,2,.n;| A 0 ； 若A是正定矩阵，则AT,A,A*,Am,P(A)均为正定阵，其中P(x)为

14、系数全正的 多项式；若 代B均为正定阵，则 kA lB(k,l 0)也是正定阵；但 AB正定=AB二BA其他类似还有负定、半正定、半负定等。典型例题题型1： 二次型的矩阵、秩和正负惯性指数2 2 2例 1 ( 04，4 分)二次型 f(X1,X2,X3)=X1X2亠X2-X3 亠X3 X1的秩为2 2 2解f(X1,X2,X3)= X1 X2X2-X3X3 X1211、1-12、1-12、于是二次型的矩阵为A=12-1T03-3T03-3<1-12><03一3<00°=2x：222x2 2X3 2x.(x2 2曲3 -2x2x3，r(A) =2，即原二次型的秩

15、为 2.题型2：化二次型为标准型例1求一正交变换化二次型f = 2 4x； ' 4xf -4x1x2 4x3 - 8x2x3 为标准形。-2解二次型的矩阵为A二-24-4 ,-4-E-A-12-22-44-24-42C3C29 ,'1,2 = 0, '3 = 9,对 恥=0，求得线性无关的特征向量 8 =(2,1,0几g =(-2,0,1亍再正交化得01 =%, % =(2,4,5)T，对九3 = 9，求得线性无关的特征向量口3 =(1, - 2,1)再单位化得斗1T斗1T斗1T1 ： 一5 2,0 ，2=35 2,4,5，3 = 3 簽，2，P=-2/3.51/ 34

16、/3、5-2/35/3、. 52/3'251/5作正交变换x = Py 标准形f = 9y；类题(95,10 分）已知二次型 f （xx2,x3） = 4x；-3xf 4%x2 rx" 8x2x3(1)写出二次型f的矩阵表达式(2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵广02答案 f （X1,X2,怡）=（X1, x2,X3）24124-2YX2'2馬17301 、51P =030恵，122i 45730V6f（X1,X2,X3）= y； -6y； -6y；题型3:化二次型为标准形的逆问题例 1 (93, 9 分)设二次型f (%,屜,x3)= X； x

17、；x3 22x2x3'2x1x3经正交变换x二Py化成f 2yf，试求常数:J 0【分析】经正交变换(注意不是非退化线性变换)化二次型为标准形，前 后二次型所对应的矩阵必相似，从而有相同的特征多项式，由此可确定参 数。解变换前后二次型的矩阵分别为na1、000 AA =a.1P,b =010JPb1°02>PtAP=B,因为P为正交矩阵，故有 P，AP = B，因此 人E-A=KE-B扎1a-1X00即-a九-1-3=0九-10 ，-1-P& -100k-2解法一：人3 3人2弋2 口2 鬥 屮 口 推 =%2 2比一较系数得:八=02解法二：令丸=1，得2。0

18、 =0 ;令九=2，得) =0，解的a =P =0例 2(09， 11 分)设二次型 f (为必,x3) = ax： ax； (a-1)x： 2x3 - 2x2x3(1)求二次型f的矩阵的所有特征值；(2)若二次型f的规范形为y： + y；，求a的值。fa01 、解二次型f的矩阵a =0a-1J-1a T丸a0-1XE - A=0人- a1=(九_a"-a + 2h-aT)-11丸a +1得 A 得特征值二a-2,，2 二a,，3 = a 1(1)由f得规范形为y12 y|，知A友2个特征值为正，1个为零，所以1 , B= 02丿<0(A)合同，且相似(C)不合同，但相似(B)

19、合同，但不相似(D)既不合同，又不相似题型4:合同变换与合同矩阵V -1例1 (07, 4分)设矩阵A= 12L1-1解由E-A|=0得A得特征值为0, 3, 3,而B得特征值为0，1，1，从而A与B不相似；又r A =r B =2，且A、B有相同的正惯性指数，因此A与B 合同。【答案】应选(B)注：(1)若 A与 B 相似，则 |A=|B|;r( A)=r( B);tr( A)= tr( B); A与 B 有相 同的特征值；(2)若A、B为实对称矩阵，贝U A与B合同的充分必要条件是 r A = r B， 且A、B有相同的正惯性指数。例2设A，B是同阶实对称阵，已知 AB,证明A与B合同。举

20、例说明反之不成立。证 因为A， B均为实对称阵，故均可对角化，且存在正交阵P,Q，使-BQh：2,因为AB，所以A，B得特征值相同，适当排列 P的列，可使= .；2，于是 P-1AP=Q-1BQ= QP-1APQ-1=W-1AW=B，其中 W=PQ-1，因为11例如：A =,B =、4丿、1丿A与B合同，不能推出 AB。P,Q均为正交阵，故W也有正交阵，所以W-1AW=W TAW=B ,即A与B合同，反之,CT A C1 “/ 、1=故BA 与 B合同，但A与B不相<1/2<4l 1 7 2< 1丿存在可逆阵C =",使得1/2丿似，因为它们的特征值不同注：相似的实

21、对称阵必合同，注意条件实对称阵是重要的，对一般矩阵并不成立。'-21、(B)2-r(C)2 1 '(D)1-2一2<-12<12<-21,则在实数域上与A合同的矩阵为例3 ( 08, 4分)设A=(A)解，E-A| =-1 -2=（九+1 X丸一3 ）= 0 ,得矩阵A的特征值为 人=1,k2=3,-2 -1同理计算四个选项的特征值，发现选项（D）的特征值与 A 一致，即它们有相同的秩和正惯性指数，且它们都是对称矩阵，所以他们合同，【答案】应选（D ）。注：（1 ）若A、B为实对称矩阵，则 A与B相似二A与B有相同的特征值；（1） 若A、B为实对称矩阵，则 A与B相似= A与B合同，但反之不一定成立。题型5:正定二次型与正交矩阵例1 （99, 7分）设A为m n实矩阵，已知B= E+atA,求证：当0时,矩阵B为正定矩阵（+08, 7分）证 用定义证 BT = E ATA 丁 = E ATA = B故B为实对称阵；对任意实向量 x = 0，有 xTBx = xTE Aa x - xTx xTATAx - xTx Ax ?Ax , 当x0时，人xTXA0,（Axi AxK0 ,因此，当& >0时，对任意实向量XH0,有xTBx 0，即矩阵