2020高考数学(文)一轮复习对数与对数函数

1、第五节对数与对数函数 考纲要求 1 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常 用对数了解对数在简化运算中的作用. 2理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点， 会画底数为 2,10, *的对数函数的图象. 3体会对数函数是一类重要的函数模型.了解指数函数 y= a 与对数函数 y= log.x 互 为反函数（a0，且 1） 突破点一对数的运算 抓牢双基自学回扣 基本知识 1 对数的概念、性质及运算 概念 如果 ax= N（a0，且 a丰1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x =logaN，其中 a 叫做对数的底数，

2、N 叫做真数，logaN 叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：ax= N? x= logaN loga1 = 0， logaa= 1， alogaN = N 运算法则 loga(M N) = logaM + logaN a0，且 a 丰 1， M0， N0 M logaN = logaM logaN logaM n= nlogaM(n R) 2.重要公式 基本能力 一、判断题( (对的打，错的打“X” ) (1) ( - 2)3=-8 可化为 log(- 2)( 8)= 3.( ) (2) log2X2= 2log2x.( ) (3) 存在这样的 M , N 使得 log2( (MN)=

3、log?M log?N.( ) 答案：(1)X (2)X V 、填空题 （1）换底公式： logcb 一 一 logab= logca(a0，且 a丰 1，c0，且 CM 1，b0)； logab logbc logcd= logad. 1 sgab= lOgba，推广 1.已知 log；2= p, log65= q,贝 U lg 5= _ (用 p, q 表示) ) 解析：lg 5= log65 = q = q . log610 log62 + lo*5 p+ q 答案： p+q log/ 1 2计算:2 2 10 罰+ lg 8+ 2|g 25+ 卷 = 1 5 解析：原式=3+ 3(lg

4、 2 + lg 5)+ 3 = 5. 答案：5 3.已知 4a= 2, lg x= a,贝 V x= _ . 答案：,10 4. log225 log34 lo*9 = _ 原式=lg_25 lg4 lg_9 = 2lg5 2lg2 2lg_3= 8 原 lg 2 lg 3 lg 5 lg 2 lg 3 lg 5 答案：8 研透高考深化提能 典例感悟 计算下列各式的值: (1) log535+ 2logi 2 logsO logs14; 2 2 (2) (1 log 63) + log 62 log 618 4og64. 解：(1)原式=log535 + log550 log514+ 2log

5、1 2 2 2 35 X 50 3 =g14 + log2 2= log55 1 = 2. 2 2 2 (2)原式=(log 66 log 63) + log 62 log 6(2 X3 )勻 og64 = Jog6； / + log62 (log62 + log632 (時 og622 =(log 62)2+ (log 62)2 + 2log 2 log 6 3切 oge2 =log62+ log63= log6(2 X 3) = 1. 方法技巧 解析： .4a= 22a= 2,.a= 1. 飞x=2 解析: 解决对数运算问题的常用方法 (1) 将真数化为底数的指数幕的形式进行化简. (2)

6、 将同底对数的和、差、倍合并. (3) 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆 用及变形应用. (4) 利用常用对数中的 lg 2+ lg 5= 1. 针对训练 1 .计算： 4 灯 25 卜 100 = _ . 解析：原式=X 100 2 = lg 10_ 2X 10= 2 x 10= 20. 諂 25 丿 答案：20 2 .计算：lg 5(lg 8 + lg 1 000) + (lg 2 3)2+ lg 1 + lg 0.06 = _ . 解析：原式=lg 5(3lg 2 + 3) + 3(lg 2)2+ lg 6x 0.06 = 3lg 5 lg 2+

7、3lg 5 + 3(lg 2)2 2 = 3lg 2(lg 5 + lg 2)+ 3lg 5 2= 3lg 2+ 3lg 5 2= 1. 答案：1 3. (2019 宁波期末) )已知 4a= 5b= 10,则 +1= _ . 解析： 1 1 12 4a= 5b= 10,.a= log410, ：= M 4, b= log510, &= lg 5,二-+ ?= lg 4+ 2lg 5 =lg 4+ lg 25= lg 100= 2. 答案：2 突破点二 对数函数的图象及应用 抓牢双基咱学回扣 基本知识 2.底数的大小决定了图象相对位置的高低 渐变大，如图，0cd1a0 且 a丰1)与对

8、数函数 y= logax(a0 且 a* 1)互为反函数,它们的图象 关于直线 y= x 对称. 基本能力 、判断题( (对的打“V” ，错的打“x” ) 象不在第二、三象限.( ( ) ) 函数 y= log2( (x+ 1)的图象恒过定点(0,0).( 答案：“V 二、填空题 1 .已知函数 y= loga(x-3) - 1 的图象恒过定点 解析：y= logax 的图象恒过点(1,0)，令 x 3= 1,得 x= 4，贝 U y=- 1. 答案：(4, - 1) 1 2.函数 y= log3|2x m|的图象关于 x= ?对称，则 m = 答案: f(x)= log2X,则 f(x)0

9、的 x 的范围是 研透高考深化提能 全析考法 考法一 对数函数图象的辨析 例 1 (2019 海南三市联考) )函数 f(x)=|log4x + 1)|的大致图象是( ( ) )(1)对数函数 y= logax(a0 且 a* 1)的图象过定点 (1,0)，且过点(a,1), ，- 1，函数图 P,则点 P 的坐标是 3.若 答案: (1, ) 不论是 解析法一：函数 f(x)= |loga(x+ 1)1 的定义域为x|x 1，且对任意的 X,均有 f(x) 0, 结合对数函数的图象可知选 C. 法二：|y= logax + 1 |的图象可由 y= logax 的图象左移 1 个单位，再向上翻

10、折得到，结 合选项知选 C. 答案C 方法技巧 研究对数型函数图象的思路 研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、 对称变换得到特别地，要注意底数 a1 或 ova1 这两种不同情况. 考法二对数函数图象的应用 例 2 (2019 辽宁五校联考) )已知函数 f(x) = |ln x|若 0ab,且 f(a)= f(b),则 a+ 4b 的 取值范围是( ( ) ) A. (4 ,+s ) C . (5,+s ) 解析由 f(a)= f(b)得|ln a|= |ln b|, 1 根据函数 y= |ln x|的图象及 0ab,得一 ln a= ln b,0a1g

11、(1) = 5. 答案C 易错提醒 应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求解错误，要记准记牢图象的变换 规律. 集训冲关 1.考法一函数 f(x)= loga|x|+ 1(0a0 时，g(x)的图象，然后根据 g(x)的图象关于 y 轴对称画出 x0 时x) 的图象，最后由函数 g(x)的图象向上整体平移一个单位即得 f(x)的图象，结合图象知选 A. 2.考法二已知函数 f(x)= |logi x|的定义域为 2, m ,值域为0,1，则 m 的取值范围为 2 解析：作出 f(x)= |log1 x|的图象( (如图) )，可知 f 1 = f(2) = 1, f(1)= 2 0,由

12、题意结合图象知： K m0，且 a* 1) a1 0a1 时，y0; 当 x1 时，y0 ;当 0 x0 =log2 019 .2 018，贝 y a, b, c 的大小关系为( ( ) ) 当 0 x1 时，y1 时，IOgaX0.( ) 函数 y= lg(x+ 3) + lg(x 3)与 y= lg(x + 3)(x 3)的定义域相同.( ( ) ) 对数函数 y= logax(a0，且 a* 1)在(0,+ )上是增函数.( ( ) ) 答案： X (2)X (3) X 二、填空题 1. _ 函数 y=寸 log2X 1 的定义域为 . 答案：2,+ ) 2. _ 函数 y= log1

13、(3x 1)的单调递减区间为 _ . 2 答案： i,+m 3.函数 y= logax(a0, a* 1)在2,4上的最大值与最小值的差是 1,贝 U a= _ , 答案：2 或1 研透高考深化提能 全析考法 例 1 (2018 西安二模) )若函数 y= log2(mx2 2mx+ 3)的定义域为 R,则实数 m 的取值 范围是( ( ) ) A. (0,3) C. (0,3 D. 0,3 解析由题意知 mx2 2mx+ 30 恒成立.当 m= 0 时，30，符合题意；当 m* 0 时, 只需严0， 2 A= ( 2m 2 12m0,且 a * 1)的定义域为 R，求参数范围时，要注意分 p

14、 =0, p* 0 讨论.同时 p* 0 时应结合图象说明成立条件. 考法二 与对数有关的比较大小问题 1 考法一 与对数有关的函数定义域问题 B. 0,3) 解得 0vm3.综上 0W mbc B. acb 例 2 (2019 湖北华中师大第一附属中学期中 ) )设 a= 2 018 2019 , b= log2。佃，2 019 , cA. abc B. acb C. bac i 解析I a = 2 018 2019 2 018= 1,1= log?( (m2 018 b= log2 018 2 019log2 018 .2 018 = _ _ 1 c= |og2 019 ,2 018 0,

15、 例 3设函数 f(x)= log1 ( xxv 0.若 f(a) f( a),则实数 a 的取值范围是( ( ) ) 2 A. ( 1,0) U (0,1) B. ( s, 1) U (1,+ ) C . ( 1,0) U (1 ,+s ) D . ( s, 1) U (0,1) a 0, 解析由题意得 og2a log2a a v 0, log2 a log2 a 解得 a 1 或1 v av 0 故选 C. 答案C 方法技巧 简单对数不等式问题的求解策略 (1) 解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对 数函数的单调性转化为一般不等式求解. 对数函数的单调

16、性和底数 a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按 0a1 进行分类讨论. (3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考法四对数函数性质的综合问题 例 4 若函数 f(x)= log1 ( x2+ 4x+ 5)在区间(3m 2, m+ 2)内单调递增，则实数 m D. cba 1 2, abc.故选 A. A. abc B. acb 的取值范围为( ( ) ) 解析 由一 x2+ 4x+ 50,解得一 1 v XV 5. 二次函数 y= x2+ 4x + 5 的对称轴为 x= 2.由复合函数单调性可得函数 f(x)= log1( ( 2 x2 + 4x + 5)

17、的单调递增区间为( (2,5).要使函数 f(x)= log1 ( x2 + 4X+ 5)在区间(3m 2, m + 2 3m22, 2)内单调递增，只需 m+ 2W 5, i3m 2v m+ 2, 4 解得 30, 1 解析：选 B 由 解得 x 1且 x 工 0，故选 B. |Jn(3x + 1 产 0, 3 2. 考法二设 a = log50.5, b= log20.3, c= logo.32，贝 U a, b, c 的大小关系是( ( ) ) A. bac B. bca C. cbbc 、 10 解析：选 B a= log50.5log50.2= 1, b= log20.3logo.3

18、3 = lg 2 lg 0.5 lg 2 lg 2 lg 2 lg 2 1, log .32= lg0.3, log50.5= lg5=-lg5=lg0.2.代灯叱呦。出0lg 0.3lg 0.2 即 ca,故 bca.故选 B.B. J，2 D.J， -pm 3 3. _ 考法三(20 佃湛江模拟) )已知 Ioga41，那么 a 的取值范围是 _ . 3 3 解析：/ Ioga41 = logaa，故当 0a1 时，y= logax 为减函数，01 时，y= logax 为增函数，a4，A a1.综上所述，a 的取值范围是 0, 4 u (1, + ). 答案：0, 4 u (1,+ )

19、1 一 x 4. 考法四(20 佃 盐城中学月考) )已知函数 f(x) = loga (0va1)为奇函数，当 x (- 1, b+ x a时，函数 f(x)的值域是( (一3 1,贝 U a+ b 的值为 _ . 1 一 x 解析：由 b 一？0,解得b0).又奇函数定义域关于原点对称， 故 b= 1 所以 f(x) 1 一 x 1 一 x 2 =loga (0va1)又 g(x) = = 1 +一 在( (1, a上单调递减，0a 0? 02x K 1? _x bc B. a c b 1. (log29)(log32) + loga”* loga ?( a0,且 a丰1)的值为( 2.

20、(2018 衡水名校联考) )函数 y= log 2 2x 1 的定义域是( ( B. 1,2) C. b a cD . b c a 1 b mog? 解析：选 A 因为 a = logj n log33 = 1, b= log 绡/3v log22 = 1，所以 a b;又 c=1 ?log32 =(log23)2 1, c 0,所以 b c.故 a b c. 4. (2019 武汉调研) )函数 f(x) = loga(x2 4x 5)(a1)的单调递增区间是( ( ) ) A. ( rn, 2) B. ( m, 1) C . (2 ,+m ) D . (5,+m ) 解析：选 D 由函数

21、 f(x)= loga(x2 4x 5)得 x2 4x 50,得 x5.令 m(x)= x2 4x 5,贝 U m(x)= (x 2)2 9, m(x)在2,+m)上单调递增，又由 a1 及复合函数的单 调性可知函数 f(x)的单调递增区间为(5, + m)，故选 D. 5. _ 已知 a0，且 1,函数 y= loga(2x 3) + . 2 的图象恒过点 P.若点 P也在幕函数 f(x) 的图象上，贝U f(x)= . 解析：设幕函数为 f(x) = x:因为函数 y= loga(2x 3) + 2 的图象恒过点 P(2, 2),则 1 1 - 2“= 2，所以a=-，故幕函数为 f(x)

22、 = x 2 . 1 答案：x2 6. _ 函数 y= log2|x+ 1|的单调递减区间为 _ ，单调递增区间为 _ . 解析：作出函数 y= log2x 的图象，将其关于 y 轴对称得到函数 y= log2|x| 的图象， 再将图象向左平移 1 个单位长度就得到函数 y= log2|x+ 1|的图象( (如 图所示) )由图知，函数 y= log2|x+ 1|的单调递减区间为( (一m, 1)，单调 递增区间为( (一 1,+ m ). 答案：( (一m, 1) ( 1,+m ) B 级 保分题一一准做快做达标 1. (2019 东普通高中学业水平考试 ) )对任意的正实数 x, y,下列

23、等式不成立的是( ( ) ) A. lg y lg x= lg y B. lg(x+ y) = lg x+ lg y 3 和 , ln X C. lg x = 3lg x D. lg x= ln 10 解析：选 B 由对数的运算性质可知 lg x + lg y= lg(xy)，因此选项 B 错误. 2. 若 函数 y= f(x)是函数 y= ax(a0，且 a* 1)的反函数，且 f(2) = 1,则 f(x)=( ) A. log2x B.?x C. log1 x D. 2x 2 2 解析：选 A 由题意知 f(x)= logaX( (a0,且 a 工 1).2 f(2) = 1,二 Iog

24、a2 = 1. a = 2. f(x)= log2x. 3.已知函数 f(x)= lg( 1 + 4x2 + 2x) + 2，则 f(ln 2) + f In 弓=( ) A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 解析：选 A 由函数 f(x)的解析式可得： f(x) + f( x)= lg(_! 1 + 4x2+ 2x) + 2+ lg/1 + 4x2- 2x) + 2= lg(1 + 4x2 4x2) )+ 4 = 4, f(ln 2) + f ln* = f(ln 2) + f( ln 2)= 4.故选 A. 项符合.故选 B. a 的取值范围是（ ） A. (0,1) B. (0,1)

25、U (1,2) C. (1,2 D. 2,+ ) 解析：选 C 当 xw 2 时，f(x) 6, + )，所以当 x2 时，f(x)的取值集合 A? 6, + m).当 0a1 时，A= (loga2 + 5, + ), 若 A? 6, + )，则有 loga2 + 56，得 1aw 2.综上所述，选 C. 6.设 a, b, c 均为正数，且 2a= log 1 a, /= log1 b, /= log2c,则 a, b, c 的大 2 2 小关系是（ ） A. av b c C. c a 1,.log1a 1,二 0a0 时，y= ln x,只有 B 5. （2019 荷泽模拟）若函f(x

26、)= x + 8, x2 （a0, a丰1）的值域为6,+s ），则 B. c b a D. b a 0， 2 c 0，. log2c 0，.c 1. 0v av v bv 1 v c，故选 A. 7已知函数 f(x)= loga(2x a)在区间 2, | 上恒有 f(x)0，则实数 a 的取值范围是( ( ) A. J, 1 4 14 1 1 2 03 a1，解得a4，故a1 时，函数 f(x)在区间?, 3 上是增函数，所以 loga(1 a)0，即 1 a1，解得 a0 ,且 a丰1),若 f(x)1 在区间1,2上恒成立，则实数 a 的取值范围是 . 解析：当 a1 时,f(x)=

27、loga(8 ax)在1,2上是减函数，由 f(x)1 在区间1,2上恒成立， 得f(x)min = loga(8 2a)1，解得 1冰善当 0a1 在区 间1,2上恒成立，得 f(x)min= loga(8 a)1，解得 a4，且 0a0，且 a丰1)有最小值*，则实数 a 的值等于 解析：令 g(x)= x2 2 6x + a，则 f(x) = logag(x).若 a 1，由于函数 f(x)有最小值， 则g(x)应有最小值 a，而 g(x) = x2 2 6x + a= (x , 6)2 + a 6，当 x= ,6 时，取最小值 a 6，因此有* 解得 a= 9.若 0v av 1，由于

28、函数 f(x)有最小值1，则 g(x)应有 Na = a 6， 2 - b 0， 0 v 1 bv 1， 二 0 v log1 bv 1， 2 1V bV 1. 1 B1， D. 2, 1 解析：选 A 当 Ovavl 时，函数 f(x)在区间 是减函数，所以 loga4-a 0, 即 最大值 a,而 g(x)不存在最大值，不符合题意.综上，实数 答案：9 11.已知函数 f(x)= lg x + X_ 2，其中 a 是大于 0 的常数. (1)求函数 f(x)的定义域； 当 a (1,4)时，求函数 f(x)在2,+ )上的最小值; 若对任意 x 2,+ )恒有 f(x)0，试确定 a 的取

29、值范围. 2 a x 2x+ a 9 解：( (1)由 x+- 20,得 0，当 a1 时，x 2x + a0 恒成立，定乂域为(0, x x + g);当 a= 1 时，定义域为 x1 + 1 a. x|x0 且 x丰 1;当 0a1 时，定义域为x|0 x0.因此 g(x) a 在2 ,+s )上是增函数，二 f(x)在2 ,+s )上是增函数.则 f(x)min= f(2) = lg： 对任意 x 2,+ g)，恒有 f(x)0.即 x+ a 21 对 x 2,+ )恒成立.二 a3x x2.令 h(x)= 3x x2, x 2, + g).由于 h(x)= x 号 2+ 在2, +)上是减函数,/ h(x)max =h(2)